2023-2024学年广东省湛江市高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省湛江市高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.过(−2,0)和(0,2)两点的直线的斜率是(

)A.1 B.−1 C.π4 D.2.用最小二乘法得到一组数据(x,y)(i=1,2,3,4,5,6)的线性回归方程为y=2x+3，若i=16xiA.11 B.13 C.63 D.783.若圆C：(x−a)2+(y−4a)2=4被直线l：A.12 B.1 C.32 4.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图像如图所示，以下命题正确的是(

)A.f(−1)是函数的最小值

B.f(−1)是函数的极值

C.y=f(x)在区间(−3,1)上不单调

D.y=f(x)在x=0处的切线的斜率大于05.某学校对本校学生的课外阅读进行抽样调查，抽取25名女生，25名男生调查，结果形成以下2×2列联表，通过数据分析，认为喜欢课外阅读与学生性别之间(

)喜欢课外阅读不喜欢课外阅读合计男生52025女生151025合计203050参考数据及公式如下：K2P(0.0500.0100.001k3.8416.63510.828A.不能根据小概率的α=0.05的χ2独立性检验认为两者有关

B.根据小概率的α=0.01的χ2独立性检验认为两者有关

C.根据小概率的α=0.001的χ2独立性检验认为两者有关

D.根据小概率的α=0.05的6.学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙2名同学每人从中选一种或两种，且两人之间不会互相影响，则不同的选法种数为(

)A.20 B.25 C.225 D.4507.如图，在三棱锥P−ABC中，PA=PB=PC=2，∠APB=90°，∠BPC=∠APC=60°，M为BC的中点，Q为AM的中点，则线段PQ的长度为(

)A.2

B.52

C.38.定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差.设{an}是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，a5=3，则数列{2A.322 B.3 C.3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若a1+A.a1=14 B.q=3 C.10.已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同.先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球.记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件A1、A2，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的是(

)A.P(A1)=34 B.P(B|A11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P是线段ADA.存在点E，使得A1E⊥平面AB1D1

B.当点E为线段CC1的中点时，点B1到平面AED1的距离为2

C.点E到直线BD1的距离的最小值为22三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(x−2x)613.已知f(x)=mex−x2，若f′(x)为奇函数，则14.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

记递增的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S5=85，且a6=7a1．

(Ⅰ)求an和Sn；

(16.(本小题15分)

四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB=2，点E是棱PC上一点．

(1)求证：平面PAC⊥平面BDE；

(2)当E为PC中点时，求二面角A−BE−D的正弦值．17.(本小题15分)

已知F1，F2分别为椭圆W：x24+y2=1的左、右焦点，M为椭圆W上的一点．

(1)若点M的坐标为(1,m)(m>0)，求△F1MF218.(本小题17分)

为营造浓厚的全国文明城市创建㞣围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二(1)班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动．

(1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；

(2)记参加活动的女生人数为X，求X的分布列及期望E(X)；

(3)若志愿活动共有卫生清洁员、交通文明监督员、科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为12；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为12.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为Y，求Y的期望19.(本小题17分)

已知函数f(x)=(x−a)ex−x，(a∈R)．

(1)若曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线为x轴，求a的值；

(2)在(1)的条件下，判断函数f(x)的单调性；

(3)g(x)=(x2−ax+1)ex−(1答案和、解析1.A

【解析】解：由题意得：直线的斜率k=2−00−(−2)=1．

故选：2.D

【解析】解：∵i=16xi=30，∴x−=16×30=5，

∵线性回归方程y=2x+3一定过点3.D

【解析】解：由题意得圆心(a,4a)在直线l：3x−y+2=0上，

则3a−4a+2=0，解得a=2．

故选：D．

4.D

【解析】解：由图可知，当x∈(−∞,−3)时，f′(x)<0，当x∈(−3,+∞)时，f′(x)≥0，

故f(x)在(−∞,−3)上单调递减，在(−3,+∞)上单调递增，

故f(−3)是函数的最小值，也是函数的极小值，

y=f(x)在区间(−3,1)上单调递增，

y=f(x)在x=0处的切线的斜率大于0，即A、B、C错误，D正确．

故选：D．

5.B

【解析】解：由数表知，χ2=50×(5×10−15×20)220×30×25×25=253，

而6.635<253<10.8286.C

【解析】解：甲和乙的选择方法分别有C51+C52=15种方法，

所以甲和乙不同的选择方法有7.C

【解析】解：由题意得PQ=12PA+12PM=12PA+14PB+8.D

【解析】解：依题意，an+12−an2=2，即{an2}是公差为2的等差数列，而a5=3，

于是an2=a52+2(n−5)=2n−19.BD

【解析】解：依题，a1(1+q2)=5a1q3(1+q2)=135，解得a1=12q=3，故A错误，10.ACD

【解析】解：对于A，由于甲口袋中装有4个球，其中有3个红球，所以P(A1)=34，故A正确；

对于B，若从甲口袋中取出的球是白球，则此时乙口袋中有2个红球，2个白球，从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为P(B|A2)=24=12，故B错误；

对于C，若从甲口袋中取出的球是红球，则此时乙口袋中有3个红球，1个白球，从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为P(B|A1)=34，所以P(A1B)=P(A1)P(B|11.ABD

【解析】解：对A选项，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建系如图：

则根据题意可得D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，A(2,0,0)，

设E(0,2,a)(0≤a≤2)，

所以AD1=(−2,0,2)，AB1=(0,2,2)，A1E=(−2,2,a−2)，

假设存在点E，使得A1E⊥平面AB1D1，

则AD1⋅A1E=4+2(a−2)=0，AB1⋅A1E=4+2(a−2)=0，解得a=0，

所以存在点E，使得A1E⊥平面AB1D1，此时点E与点C重合，故A正确；

对于B，点E为线段CC1的中点时，E(0,2,1)，AE=(−2,2,1)，AD1=(−2,0,2)，

设平面AED1的一个法向量为m=(x,y,z)，

则AD1⋅m=−2x+2z=0AE⋅m=−2x+2y+z=0，取x=2，则m=(2,1,2)，又AB1=(0,2,2)，

故点B1到平面AED1的距离为|AB1⋅m||m|=2+43=2，故B正确；

对C选项，E(0,2,a)(0≤a≤2)，BE=(−2,0,a),BD1=(−2,−2,2)，

则点E到直线BD1的距离为BE2−(BE⋅BD1|BD1|)2=4+a2−(4+2a23)212.30

【解析】解：(x−2x)6展开式的通项公式为Tr+1=(−1)rC6rx6−r(2x)r13.0

【解析】解：根据题意，f(x)=mex−x2，则f′(x)=mex−2x，

若f′(x)为奇函数，则me−x−2(−x)=−me14.2【解析】解：如图，在ΔABF2中，2sin∠ABF2=3sin∠BAF2，设|AF2|=t，

由正弦定理得|AF2|sin∠ABF2=|BF2|sin∠BAF2，则|BF2|=23t，

所以由双曲线的定义可知|AF1|=t−2a，|BF1|=2a+15.解：(Ⅰ)设数列{an}的公差为d(d>0)，

因为S5=5a3=85，所以a3=17，

由a6=7a1得，a3+3d=7(a3−2d)，

所以17+3d=7(17−2d)，解得d=6，

所以a1=a3【解析】(Ⅰ)结合等差数列前n项和的性质与通项公式，求出公差d与a1，再由等差数列的通项公式与前n项和公式，得解；

(Ⅱ)采用裂项求和法，即可得解．16.(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

所以PA⊥BD，

因为底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC，

又PA∩AC=A，PA、AC⊂平面PAC，

所以BD⊥平面PAC，

因为BD⊂平面BDE，

所以平面PAC⊥平面BDE．

(2)解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，D(0,2,0)，E(1,1,1)，

所以BE=(−1,1,1)，AB=(2,0,0)，BD=(−2,2,0)，

设平面ABE的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅BE=−x+y+z=0m⋅AB=2x=0，

取y=1，则x=0，z=−1，所以m=(0,1,−1)，

设平面BDE的法向量为n=(a,b,c)，则n⋅BE=−a+b+c=0n⋅BD=−2a+2b=0，

取a=1，则b=1，c=0，所以n=(1,1,0)，

所以cos【解析】(1)由PA⊥平面ABCD，知PA⊥BD，结合BD⊥AC，可证BD⊥平面PAC，再由面面垂直的判定定理，即可得证；

(2)以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角，即可得解．

17.解：(1)因为点M(1,m)在椭圆上，

所以14+m2=1，

因为m>0，所以m=32，

因为a=2，b=1，所以c=a2−b2=3，所以F1(−3,0)，F2(3,0)，

所以S△F1MF2=【解析】(1)代入法求得m值，然后求出焦点坐标后可得三角形面积；

(2)由余弦定理可得．

18.解：(1)设“有女生参加活动”为事件A，“恰有一名女生参加活动为事件B，

则P(AB)=12C41CC62=815，P(A)=12C41C+C22C6X012P281所以E(X)=0×25+1×815+2×115=23；

(3)设一名女生参加活动可获得工时数为X1，一名男生参加活动可获得工时数为X2，

则X1的所有可能取值为3，6，X2的所有可能取值为6，9，

P(X1=3)=P(X1=6)=12，E(【解析】(1)根据条件概率公式可求出结果；

(2)根据超几何分布概率公式可求出结果；

(3)先求出一名女生和一名男生参加活动可获得工时的数学期望，再根据期望的性质可求出结果．

19.解：(1)根据题意，由已知f′(x)=(x−a+1)ex−1，则f′(0)=(−a+1)e0−1=−a，

由于曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线为x轴，

所以−a=0，

所以a=0；

(2)当a=0时，f′(x)=(x+1)ex−1，令ℎ(x)=(x+1)ex−1，

则ℎ′(x)=(x+2)ex，

当x<−2时，ℎ′(x)<0，f′(x)单调递减，当x>−2时，ℎ′(x)>0，f′(x)单调递增，

又当x<−2时，f′(x)<0恒成立，f′(−2)=−e−2−1，f′(0)=e0−1=0，

所以当x<0时f′(x)<0，x>0时，f′(x)>0，

所以f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增；

(3)由已知g′(x)=(x2−ax+1+2x−a)ex−(x+1)=(x+1)[(x−a+1)ex−1]，

令v(x)=(x−a+1)ex−1，则v′(x)=(x−a+2)ex，

当x<a−2时，v′(x)<0，v(x)单调递减，当x>a−2时，v′(x)>0，v(x)单调递增，

又当x<a−2时，v(x)<0恒成立，且v(a−2)=−ea−2−1<0，

当x→+∞时，v(x)>0，即v(x)在(a−2,+∞)上有且只有一个零点，