十年（2015-2024）高考真题数学分项汇编（全国）专题19 解三角形大题综合（学生卷）

专题19解三角形大题综合考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1求面积的值及范围或最值（10年7考）2024·北京卷、2023·全国甲卷、2023·全国乙卷2022·浙江卷、2019·全国卷、2017·全国卷2016·全国卷、2015·浙江卷、2015·全国卷2015·山东卷掌握正弦定理、余弦定理及其相关变形应用，会用三角形的面积公式解决与面积有关的计算问题，会用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形中的综合问题，会利用基本不等式和相关函数性质解决三角形中的最值及范围问题本节内容是新高考卷的必考内容，一般给以大题来命题、考查正余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用，同时也结合三角函数及三角恒等变换等知识点进行综合考查，也常结合基本不等式和相关函数性质等知识点求解范围及最值，需重点复习。考点2求边长、周长的值及范围或最值（10年8考）2024·全国新Ⅱ卷、2024·全国新Ⅰ卷、2023·全国新Ⅱ卷、2022·全国新Ⅱ卷、2022·全国乙卷、2022·北京卷、2022·全国新Ⅰ卷、2020·全国卷、2020·全国卷、2018·全国卷、2017·全国卷、2017·山东卷2017·全国卷、2016·全国卷、2015·浙江卷2015·山东卷考点3求角和三角函数的值及范围或最值（10年10考）2024·天津卷、2023·天津卷、2022·天津卷、2021·天津卷、2021·全国新Ⅰ卷、2020·天津卷2020·浙江卷、2020·江苏卷、2019·江苏卷2019·北京卷、2019·全国卷、2018·天津卷2017·天津卷、2017·天津卷、2016·四川卷2016·浙江卷、2016·浙江卷、2016·天津卷2016·北京卷、2016·山东卷、2016·四川卷2016·江苏卷、2015·江苏卷、2015·天津卷2015·四川卷、2015·湖南卷、2015·湖南卷2015·全国卷考点4求三角形的高、中线、角平分线及其他线段长（10年几考）2023·全国新Ⅰ卷、2018·北京卷、2018·全国卷2015·安徽卷、2015·全国卷考点5三角形中的证明问题（10年4考）2022·全国乙卷、2021·全国新Ⅰ卷、2016·四川卷2016·浙江卷、2016·山东卷、2016·四川卷2015·湖南卷考点01求面积的值及范围或最值1．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，．(1)求；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．2．（2023·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若，求面积．3．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，已知，，.(1)求；(2)若D为BC上一点，且，求的面积.4．（2022·浙江·高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面积．5．（2019·全国·高考真题）的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．6．（2017·全国·高考真题）的内角的对边分别为已知.（1）求角和边长；（2）设为边上一点，且,求的面积.7．（2016·全国·高考真题）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周长.8．（2015·浙江·高考真题）在中，内角A，B，C所对的边分别为.已知.（1）求的值；（2）若，求的面积.9．（2015·全国·高考真题）已知分别是内角的对边，．（1）若，求（2）若，且求的面积．10．（2015·山东·高考真题）设.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值.考点02求边长、周长的值及范围或最值1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周长．2．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面积为，求c．3．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．(1)若，求；(2)若，求．4．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．(1)求的面积；(2)若，求b．5．（2022·全国乙卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知．(1)证明：；(2)若，求的周长．6．（2022·北京·高考真题）在中，．(1)求；(2)若，且的面积为，求的周长．7．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．8．（2020·全国·高考真题）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.（1）若a=c，b=2，求的面积；（2）若sinA+sinC=，求C.9．（2020·全国·高考真题）中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求周长的最大值.10．（2018·全国·高考真题）在平面四边形中，，，，.（1）求；（2）若，求.11．（2017·全国·高考真题）△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为(1)求;(2)若求△ABC的周长.12．（2017·山东·高考真题）在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,,S△ABC=3,求A和a.13．（2017·全国·高考真题）△ABC的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，△ABC的面积为2，求．14．（2016·全国·高考真题）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周长.15．（2015·浙江·高考真题）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，=.（1）求的值；（2）若的面积为3，求的值.16．（2015·山东·高考真题）中，角所对的边分别为.已知求和的值.考点03求角和三角函数的值及范围或最值1．（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知．(1)求；(2)求；(3)求的值．2．（2023·天津·高考真题）在中，角所对的边分别是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．3．（2022·天津·高考真题）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.4．（2021·天津·高考真题）在，角所对的边分别为，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．5．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.（1）证明：；（2）若，求.6．（2020·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为．已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．7．（2020·浙江·高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（I）求角B的大小；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．8．（2020·江苏·高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．9．（2019·江苏·高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值．10．（2019·北京·高考真题）在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB=．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B–C）的值．11．（2019·全国·高考真题）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．（1）求A；（2）若，求sinC．12．（2018·天津·高考真题）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）求角B的大小；（2）设a=2，c=3，求b和的值.13．（2017·天津·高考真题）在中，内角所对的边分别为.已知，.（I）求的值；（II）求的值.14．（2017·天津·高考真题）在中，内角所对的边分别为.已知，，.（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求的值.15．（2016·四川·高考真题）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若，求tanB．16．（2016·浙江·高考真题）在ABC中，内角所对的边分别为a，b，c.已知b+c=2acosB.（Ⅰ）证明：A=2B；（Ⅱ）若cosB=，求cosC的值．17．（2016·浙江·高考真题）在中，内角所对的边分别为，已知．（1）证明：；（2）若的面积，求角的大小．18．（2016·天津·高考真题）在中，内角所对的边分别为a,b,c，已知.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，求sinC的值.19．（2016·北京·高考真题）在△ABC中，(1)求B的大小；(2)求cosA＋cosC的最大值．20．（2016·山东·高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝.(1)证明：a＋b＝2c；(2)求cosC的最小值．21．（2016·四川·高考真题）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，求.22．（2016·江苏·高考真题）在中，AC=6，（1）求AB的长；（2）求的值.23．（2015·江苏·高考真题）在中，已知.（1）求的长；（2）求的值.24．（2015·天津·高考真题）在中，内角所对的边分别为，已知的面积为．(1)求和的值；(2)求的值．25．（2015·四川·高考真题）如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角.（1）证明：（2）若求的值.26．（2015·湖南·高考真题）设的内角的对边分别为.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，且为钝角，求.27．（2015·湖南·高考真题）设的内角，，的对边分别为，，，，且为钝角.（1）证明：；（2）求的取值范围.28．（2015·全国·高考真题）△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若,求.考点04求三角形的高、中线、角平分线及其他线段长1．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知在中，．(1)求；(2)设，求边上的高．2．（2018·北京·高考真题）在中，．（1）求；（2）求边上的高．3．（2018·全国·高考真题）在平面四边形中，，，，.（1）求；（2）若，求.4．（2015·安徽·高考真题）在中，,点D在边上，，求的长.5．（2015·全国·高考真题）中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，面积是面积的2倍．(1)求；(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．考点05三角形中的证明问题1．（2022·全国乙卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)证明：2．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.（1）证明：；（2）若，求.3．（2016·四川·高考真题）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若，求tanB．4．（2016·浙江·高考真题）在ABC中，内