高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)2.1等式与不等式的性质(精讲)(原卷版+解析)

2.1等式与不等式的性质（精讲）考点一用不等式（组）表示不等关系【例1-1】(2023·全国·高一课时练习）完成一项装修工程，请木工共需付工资每人400元，请瓦工共需付工资每人500元，现有工人工资预算不超过20000元，设木工人，瓦工人，则工人满足的关系式是A． B． C． D．【例1-2】(2023·福建）有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输量如表：轮船运输量飞机运输量粮食300150石油250100现在要在一天内至少运输2000粮食和1500石油.写出安排轮船艘数和飞机架数所满足的所有不等关系的不等式组.【一隅三反】1．(2023·江苏淮安）某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案为一次性投资万；方案为第一年投资万，以后每年投资万.下列不等式表示“经过年之后，方案的投入不大于方案的投入”的是（

）A． B．C． D．2．(2023·山东）如图，在一块长为22m，宽为17m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪的面积不小于300m2.设道路宽为xm，根据题意可列出的不等式为（

）A． B．C． D．3．(2023·青海）用不等式或不等式组表示下面的不等关系:(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位:m)从地面算起不能超过4m;(2)a与b的和是非负实数;(3)如图,在一个面积小于的矩形地基的中心位置上建造一个仓库,仓库的四周建成绿地,仓库的长L(单位m)大于宽W(单位:m)的4倍.考点二实数式比较大小【例2】(2023·江苏·高一）已知，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．无法确定【一隅三反】1．(2023·江苏·高一）若，，则与的大小关系为（

）A． B． C． D．不能确定2．(2023·湖南·高一课时练习）若y1＝2x2－2x＋1，y2＝x2－4x－1，则y1与y2的大小关系是（

）A．y1>y2 B．y1＝y2C．y1<y2 D．随x值变化而变化3．(2023·湖南·高一课时练习）已知0<a1<1，0<a2<1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是（

）A．M<N B．M>NC．M＝N D．无法确定考点三不等式的性质【例3】(2023·江苏·高一）若，则下列说法正确的是（

）A．若，，则 B．若，则C．若，则 D．若，则<【一隅三反】1．(2023·内蒙古）下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则2．(2023·浙江）（多选）下列命题是真命题的是（

）A．若，则B．若，且，则C．若，则D．若，则3．(2023·湖南张家界·高一期末）（多选）下列命题为真命题的是（

）A．若，则B．若，，则C．若，则D．若，则考点四利用不等式求范围【例4】(2023·江苏·高一）已知，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．(2023·江苏·高一）已知，则的取值范围为（

）A． B． C． D．2．(2023·吉林延边·高一期末）已知，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．3．(2023·山西太原·高一开学考试）已知，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．考点五不等式的证明【例5】(2023·湖南·高一课时练习）利用不等式的性质证明下列不等式：(1)若，，则；(2)若，，则．【一隅三反】1．(2023·浙江）证明下面的结论：（1）如果，，且，那么；（2）如果，，那么；（3）如果，，那么；（4）如果，，，那么.2．(2023·福建·永安市第三中学高中校高一阶段练习）（1）求证：；（2）求证：.2.1等式与不等式的性质（精讲）考点一用不等式（组）表示不等关系【例1-1】(2023·全国·高一课时练习）完成一项装修工程，请木工共需付工资每人400元，请瓦工共需付工资每人500元，现有工人工资预算不超过20000元，设木工人，瓦工人，则工人满足的关系式是A． B． C． D．答案:A解析：由题意，可得，化简得，故正确答案为A.【例1-2】(2023·福建）有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输量如表：轮船运输量飞机运输量粮食300150石油250100现在要在一天内至少运输2000粮食和1500石油.写出安排轮船艘数和飞机架数所满足的所有不等关系的不等式组.答案:解析：设需安排艘轮船和架飞机，则，即.【一隅三反】1．(2023·江苏淮安）某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案为一次性投资万；方案为第一年投资万，以后每年投资万.下列不等式表示“经过年之后，方案的投入不大于方案的投入”的是（

）A． B．C． D．答案:D解析：经过年之后，方案的投入为，故经过年之后，方案的投入不大于方案的投入，即故选：D2．(2023·山东）如图，在一块长为22m，宽为17m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪的面积不小于300m2.设道路宽为xm，根据题意可列出的不等式为（

）A． B．C． D．答案:B解析：把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，设道路的宽应为x米，草坪面积为（22﹣x）（17﹣x），因为草坪的面积不小于300m2，所以(22－x)(17－x)300，故选：B．3．(2023·青海）用不等式或不等式组表示下面的不等关系:(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位:m)从地面算起不能超过4m;(2)a与b的和是非负实数;(3)如图,在一个面积小于的矩形地基的中心位置上建造一个仓库,仓库的四周建成绿地,仓库的长L(单位m)大于宽W(单位:m)的4倍.答案:(1);(2);(3)解析：（1）；（2）；（3）由题,则矩形地基的长为,宽为,则考点二实数式比较大小【例2】(2023·江苏·高一）已知，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．无法确定答案:B解析：，因为，所以，又，所以，即.故选：B【一隅三反】1．(2023·江苏·高一）若，，则与的大小关系为（

）A． B． C． D．不能确定答案:B解析：因为，所以，故选：B2．(2023·湖南·高一课时练习）若y1＝2x2－2x＋1，y2＝x2－4x－1，则y1与y2的大小关系是（

）A．y1>y2 B．y1＝y2C．y1<y2 D．随x值变化而变化答案:A解析：,故，故选：A3．(2023·湖南·高一课时练习）已知0<a1<1，0<a2<1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是（

）A．M<N B．M>NC．M＝N D．无法确定答案:B解析：∵0<a1<1，0<a2<1，∴－1<a1－1<0，－1<a2－1<0，∴M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)>0，∴M>N，故选：B.考点三不等式的性质【例3】(2023·江苏·高一）若，则下列说法正确的是（

）A．若，，则 B．若，则C．若，则 D．若，则<答案:C解析：对于A，若，则，所以A错误，对于B，若，则，所以B错误，对于C，因为，所以由不等式的性质可得，所以C正确，对于D，因为，所以，所以，即，所以D错误，故选：C【一隅三反】1．(2023·内蒙古）下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则答案:D解析：对于A，若，由可得：，A错误；对于B，若，则，此时未必成立，B错误；对于C，当时，，C错误；对于D，当时，由不等式性质知：，D正确.故选：D.2．(2023·浙江）（多选）下列命题是真命题的是（

）A．若，则B．若，且，则C．若，则D．若，则答案:BD解析：对于A，若，当时，，故A错误；对于B，若，且，则，所以，所以，故B正确；对于C，若，当时，，故C错误；对于D，若，则，所以，故D正确.故选：BD.3．(2023·湖南张家界·高一期末）（多选）下列命题为真命题的是（

）A．若，则B．若，，则C．若，则D．若，则答案:ACD解析：由不等式性质知若，则，即，A对，取，则，，，B错，因为，所以，所以(当且仅当时等号成立)，而，故，C对，因为，所以，，所以，D对，故选：ACD.考点四利用不等式求范围【例4】(2023·江苏·高一）已知，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．答案:D解析：因为，，所以，，所以，所以的取值范围是，故选：D.【一隅三反】1．(2023·江苏·高一）已知，则的取值范围为（

）A． B． C． D．答案:C解析：，故，，得故选：C2．(2023·吉林延边·高一期末）已知，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．答案:A解析：因为，所以，由，得.故选：A.3．(2023·山西太原·高一开学考试）已知，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．答案:D解析：设，，解得，，，，，由不等式的性质可得，即，因此，的取值范围是，故选D.考点五不等式的证明【例5】(2023·湖南·高一课时练习）利用不等式的性质证明下列不等式：(1)若，，则；(2)若，，则．答案:(1)证明见解析(2)证明见解析解析：(1)证明：，，又，；(2)证明：，，又，．【一