高考数学考前30天回归课本知识技法精细过（9）：解析几何（直线与圆）

高考数学考前30天回归课本知识技法精细过（九）第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程一、必记2个知识点1．直线的倾斜角和斜率(1)直线的倾斜角的定义当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴①________与直线l②________之间所成的③__________α叫做直线的倾斜角．当直线和x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°，因此，直线倾斜角α的取值范围是④____________.(2)斜率的定义倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的⑤________叫做这条直线的斜率，常用k表示，即⑥________.倾斜角是90°的直线，斜率k不存在．(3)斜率公式当直线l经过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)时，l的斜率k＝⑦____________.(4)直线的方向向量经过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线的方向向量的坐标可记为⑧____________，当直线的斜率k存在时，方向向量的坐标可记为⑨________.2．直线方程的几种基本形式名称方程适用范围斜截式⑩____________不能表示垂直于x轴的直线点斜式⑪____________不能表示垂直于x轴的直线两点式⑫____________不能表示垂直于坐标轴的直线截距式⑬____________不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线一般式⑭____________能表示平面上任何直线二、必明4个易误点1．利用两点式计算斜率时易忽视x1＝x2时斜率k不存在的情况．2．用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论，否则会造成失误．3．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式．4．由一般式Ax＋By＋C＝0确定斜率k时易忽视判断B是否为0，当B＝0时，k不存在；当B≠0时，k＝－eq\f(A,B).三、技法1.斜率的求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tanα求斜率．(α≠90°)(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)求斜率．2．斜率取值范围的三种求法(1)数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定．(2)构建不等式法：利用不等式所表示的平面区域的性质，转化为线线、线面的位置关系，构造不等式求范围．(3)利用斜率关于倾斜角的函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可.3.求直线方程的关注点在求直线方程时，应选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.4.直线方程的综合应用(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过两条定直线交点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.参考答案①正向②向上方向③最小正角④0°≤α＜180°⑤正切值⑥k＝tanα⑦eq\f(y2－y1,x2－x1)(其中x1≠x2)⑧(x2－x1，y2－y1)⑨(1，k)⑩y＝kx＋b⑪y－y0＝k(x－x0)⑫eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)⑬eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1⑭Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)第二节两条直线的位置关系与距离公式一、必记3个知识点1．平行与垂直若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则：(1)直线l1∥l2的充要条件是①____________.(2)直线l1⊥l2的充要条件是②____________.若l1和l2都没有斜率，则l1与l2平行或重合．若l1和l2中有一条没有斜率而另一条斜率为0，则l1⊥l2.2．两直线相交(1)交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一一对应．(2)相交⇔方程组有③________，交点坐标就是方程组的解．(3)平行⇔方程组④________.(4)重合⇔方程组有⑤________.3．三种距离(1)两点间的距离平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝⑥____________.特别地，原点(0,0)与任意一点P(x，y)的距离|OP|＝⑦________.(2)点到直线的距离点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝⑧______.(3)两条平行线的距离两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝⑨____________.二、必明2个易误点1．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x，y的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．三、技法1.由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)l1与l2垂直的充要条件A1A2＋B1B2＝0l1与l2平行的充分条件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)≠eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)l1与l2相交的充分条件eq\f(A1,A2)≠eq\f(B1,B2)(A2B2≠0)l1与l2重合的充分条件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)＝eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)2.处理距离问题的3种方法(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求，注意直线方程为一般式．(2)动点到两定点的距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便．(3)两平行直线间的距离①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式．提醒：在应用两条平行线间的距离公式时，应把直线方程化为一般形式，且使x，y的系数分别相等.3.中心对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于点对称：若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2a－x1，y＝2b－y1，))进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．4．轴对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于直线的对称：若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．(2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.参考答案①k1＝k2且b1≠b2②k1·k2＝－1③唯一解④无解⑤无数个解⑥eq\r(x1－x22＋y1－y22)⑦eq\r(x2＋y2)⑧eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))⑨eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))第三节圆的方程一、必记3个知识点1．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，方程表示圆心为①________，半径为②________的圆．2．圆的一般方程对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(1)当D2＋E2－4F＞0时，表示圆心为③____________，半径为④____________________的圆；(2)当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点⑤____________；(3)当D2＋E2－4F＜0时，它不表示任何图形．3．点与圆的位置关系圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径r，若点M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝⑥________；若点M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2⑦________；若点M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2⑧________.二、必明1个易误点对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F>0这一成立条件．三、技法1.求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．2．确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．提醒：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质.3.与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x，y)有关的代数式的最值的常见类型及解法．①形如u＝eq\f(y－b,x－a)型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离的平方的最值问题.参考答案①(a，b)②r③eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))④eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)⑤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))⑥r2⑦＞r2⑧＜r2第四节直线与圆、圆与圆的位置关系一、必记4个知识点1．直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：(1)代数法：利用判别式eq\o(→,\s\up7(判别式),\s\do5(Δ＝b2－4ac))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0⇔①,Δ＝0⇔②,Δ＜0⇔③))(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系d＜r⇔④______；d＝r⇔⑤______；d＞r⇔⑥______.2．圆的切线方程若圆的方程为x2＋y2＝r2，点P(x0，y0)在圆上，则过P点且与圆x2＋y2＝r2相切的切线方程为⑦____________.3．直线与圆相交直线与圆相交时，若l为弦长，d为弦心距，r为半径，则有r2＝⑧____________，即l＝2eq\r(r2－d2)，求弦长或已知弦长求解问题，一般用此公式．4．两圆位置关系的判断两圆(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r＞0)，(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2＞0)的圆心距为d，则(1)d＞r1＋r2⇔两圆⑨________；(2)d＝r1＋r2⇔两圆⑩________；(3)|r1－r2|＜d＜r1＋r2(r1≠r2)⇔两圆⑪________；(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆⑫________；(5)0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆⑬________.二、必明2个易误点1．对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在情形．2．两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．三、技法1.判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．注：上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.2.求过圆上一点(x0，y0)的切线方程的方法先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－eq\f(1,k)，由点斜式可写出切线方程．3．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的两种