2024浙江中考数学二轮专题训练 中考重难题型研究 (含答案)

2024浙江中考数学二轮专题训练中考重难题型研究题型一二次函数的图象及性质母题变式练母题已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1＋M2＝0，则称函数y1和y2具有性质P.以下函数y1和y2具有性质P的是()A.y1＝x2＋2x和y2＝－x－1 B.y1＝x2＋2x和y2＝－x＋1C.y1＝－eq\f(1,x)和y2＝－x－1 D.y1＝－eq\f(1,x)和y2＝－x＋1【思维教练】要判断函数y1和y2是否具有性质P，则直接令y1＋y2＝0，若此方程有解，则具有，若无解，则不具有．母题变式【变式角度】题干由两个未知函数及等量关系变为一个已知函数及等量关系，设问变为判断符合条件的一个函数.1.已知y是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值为M，若存在实数m，使得M＝3m－3，则称点(m，M)是函数y的“奇妙点”．以下函数存在2个“奇妙点”的是()A.y＝－eq\f(1,x) B.y＝5x2－xC.y＝x2－3x＋6 D.y＝x2－3x＋1【变式角度】题干变为两个已知的函数，设问变为判断两个函数的大小关系．2.已知抛物线y1＝－x2＋4x和直线y2＝2x＋b均是以x为自变量的函数，当x＝m时，对应的函数值分别为M1和M2，若M1≠M2，取M1和M2中较大者为P；若M1＝M2，记P＝M1＝M2.则以下结论正确的是()A.若b＝1，则P＝M1≠M2B.若b＞1，则P＝M2≠M1C.若b＜1，则P＝M2≠M1D.若b＜1，则P＝M1≠M2题型二几何图形的折叠(杭州4考；台州4考)【思维教练】(1)要求BE的值，则结合矩形及折叠的性质，①利用锐角三角函数及勾股定理求解即可；②利用全等的性质及勾股定理求解即可；(2)要求OC′的值，则结合矩形的性质，利用相似三角形的性质及折叠的性质求解即可．例(一题多设问)如图，是一张矩形纸片ABCD，E为BC上一点，连接AE和DE，将△DCE沿DE折叠，点C恰好落在AE上的C′处．例题图(1)若AB＝3.①BE＝2CE，BE的长为________；②AD＝4，BE的长为________；(2)连接BD交AE于点O，若AD＝4，CE＝1，则OC′的长为________．题型三与三角形有关的证明及计算类型一与全等三角形有关的证明及计算母题变式练母题1(浙教八上P35第2题改编)如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM＝2MB，AN＝2NC，连接DM、DN，求证：DM＝DN.【思维教练】利用角平分线的性质及线段之间的数量关系，结合全等三角形的判定方法，即可得证．母题1题图母题变式【变式角度】改变点M、N的位置，改为DM⊥AB，DN⊥AC.1.在①AD平分∠BAC，②BD＝CD，③AM＝AN，这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC上一点，过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，若________．求证：△BMD≌△CND.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分第1题图【变式角度】△ABC由等腰三角形改为一般三角形，改变点M、N的位置，改为DM＝DN，DE⊥AB，DF⊥AC.2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点M、N分别在AB、AC边上，且DM＝DN.过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F.问题：请补全图形，找出图中的全等三角形，并选择其中一对全等三角形进行证明．第2题图【变式角度】改变AD是∠BAC的平分线的条件，改变点M、N的位置，改为BD＝CN，BM＝CD.3.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，M，N分别在边BC，AB，AC上，且BD＝CN，BM＝CD，连接DM、DN.(1)求证：△BDM≌△CND；(2)若∠A＝80°，求∠MDN的度数．第3题图类型二与相似三角形有关的证明及计算(杭州3考)母题变式练母题2(浙教九上P146第5题改编)如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且DF∥BC，EF∥AB.(1)求证：△FEC∽△ADF；(2)若CF＝eq\f(1,3)AC，S△FEC＝1，求S△ADF的值．【思维教练】(1)利用平行线的性质，找到两角对应相等，即可求证；(2)利用线段数量关系及相似三角形的性质，即可求解．母题2题图母题变式【变式角度】将点D、E、F的位置改为中点，利用中位线得平行．1.如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA边的中点．连接DE、EF和DF.(1)求证：△ABC∽△EFD；(2)若△DEF的周长为10，求△ABC的周长．第1题图【变式角度】改变点D、E、F的位置，条件由平行改为角度相等和线段比例关系．2.如图，在△ABC中，点D，E、F分别在边AB、BC、AC上，∠AFD＝∠B，AE与DF交于点G，且eq\f(AD,AC)＝eq\f(DG,CE).(1)求证：△ADG∽△ACE；(2)若eq\f(AD,AC)＝eq\f(3,7)，求eq\f(AG,GE)的值．第2题图类型三与特殊三角形有关的证明及计算母题变式练母题3(浙教八上P58第5题改编)如图，在△ABC中，点E、F分别在AB、AC上，∠ABC的平分线交EF于点O，连接CO，已知EF∥BC.(1)求证：EO＝BE；(2)若EF＝BE＋CF，∠ACB＝70°，求∠ACO的度数．【思维教练】(1)利用平行线以及角平分线的性质进行角度转化，从而根据等腰三角形等角对等边即可得证；(2)根据线段数量关系，进行等量代换，从而由等腰三角形等边对等角得出角度关系，再进行等角转化，即可求解．母题3题图母题变式【变式角度】改变点E、F的位置，改为∠ABC的平分线与AC的交点F重合，且∠ACB＝2∠A，CE⊥BF.1.如图，在△ABC中，点E、F分别在AB、AC上，∠ABC的平分线交AC于点F，BF与CE交于点M，且∠ACB＝2∠A，CE⊥BF，连接EF.(1)求证：BC＝BE；(2)若AB＝14，CF＝5，求BC的长．第1题图【变式角度】改变点E、F的位置，改为BF不为角平分线，∠ABC＝45°，且CE⊥AB，AE＝EM，BN⊥FE.2.如图，在△ABC中，点E、F分别在AB、AC上，连接BF、CE交于点M，∠ABC＝45°，CE⊥AB于点E，且AE＝EM，过点B作BN⊥FE，交FE的延长线于点N.(1)求证：AC＋MF＝eq\r(2)BN；(2)若∠MBC＝30°，EB＝2eq\r(2)，求△MBC的面积．第2题图题型四反比例函数综合题例(一题多设问)如图，在直角坐标系中，设反比例函数y1＝eq\f(k,x)(k≠0)与一次函数y2＝ax＋b的图象在第一象限交于A(m，3)，B两点(1)若A(1，3)，B(3，1)，请直接写出满足y1≤y2的取值范围；【思维教练】要使y1≤y2，只要一次函数图象在反比例函数图象上方即可；例题图①(2)若k＝3，B(3，1)．①求A点坐标和一次函数的解析式；②若Q为y轴上的一点，使QA＋QB最小，求点Q的坐标；【思维教练】①将A点坐标代入反比例函数解析式中，进而求得m的值，再将A，B代入一次函数解析式中即可；②作点A关于y轴的对称点点A′，连接A′B，与y轴的交点即为Q点，此时QA＋QB最小，根据待定系数法求直线A′B的解析式，进而求得Q点坐标；例题图②(3)当－2≤x≤－1时，y1的最小值为a－2，反比例函数y3＝－eq\f(k,x)(k>0)的最大值为a，求k的值．【思维教练】依据反比例函数y1，y3的增减性列出两个等式，联立求解即可．例题图③针对演练1.已知y关于x的一次函数y＝kx＋k＋6与反比例函数y＝－eq\f(6,x).(1)若一次函数y＝kx＋k＋6与x轴的交点横坐标为－3.①求k的值；②直接写出当x满足什么条件时，－eq\f(6,x)＜kx＋k＋6；(2)试说明：y＝kx＋k＋6与y＝－eq\f(6,x)的图象至少有一个交点．参考答案题型一二次函数的图象及性质母题A【解析】A.令y1＋y2＝0，则x2＋2x－x－1＝0，整理得x2＋x－1＝0，则b2－4ac＝5>0，∴该方程有两个不相等的实根，∴存在两个不同的m，使得M1＋M2＝0，即函数y1和y2具有性质P，符合题意；B.令y1＋y2＝0，则x2＋2x－x＋1＝0，整理得，x2＋x＋1＝0，b2－4ac＝－3<0，方程无解，∴函数y1和y2不具有性质P，不符合题意；C.令y1＋y2＝0，则－eq\f(1,x)－x－1＝0，整理得，x2＋x＋1＝0，b2－4ac＝－3<0，方程无解，∴函数y1和y2不具有性质P，不符合题意；D.令y1＋y2＝0，则－eq\f(1,x)－x＋1＝0，整理得，x2－x＋1＝0，b2－4ac＝－3<0，方程无解，∴函数y1和y2不具有性质P，不符合题意．1.D【解析】A.令－eq\f(1,x)＝3x－3，整理得3x2－3x＋1＝0，Δ＜0，方程无解，即函数y＝－eq\f(1,x)不存在“奇妙点”，不符合题意；B.令5x2－x＝3x－3，整理得5x2－4x＋3＝0，Δ＜0，方程无解，即函数y＝5x2－x不存在“奇妙点”，不符合题意；C.令x2－3x＋6＝3x－3，整理得(x－3)2＝0，即函数y＝x2－3x＋6存在一个“奇妙点”，不符合题意；D.令x2－3x＋1＝3x－3，整理得x2－6x＋4＝0，Δ＞0，方程有两个不相等的实数根，即函数y＝x2－3x＋1存在两个“奇妙点”，符合题意．2.B【解析】令y1＝y2，即－x2＋4x＝2x＋b，整理得x2－2x＋b＝0，∴Δ＝4－4b.当b＝1时，Δ＝0，此时直线y2＝2x＋1与抛物线只有一个交点，令x2－2x＋1＝0，解得x＝1，P＝M1＝M2＝3，故A选项错误；当b＞1时，Δ＜0，此时直线y2＝2x＋b与抛物线没有交点，∵抛物线开口向下，∴直线在抛物线上方，∴P＝M2，故B选项正确；当b＜1时，Δ＞0，∴此时直线y2＝2x＋b与抛物线有两个交点，当x＝m在左交点的左侧及右交点的右侧时，P＝M2，当x＝m在两个交点中间的部分时，P＝M1，故C、D选项错误．题型二几何图形的折叠例(1)①eq\f(6\r(5),5)；【解析】在矩形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD＝3，∠C＝∠B＝90°，AD∥BC，则∠DAE＝∠BEA，如解图，设CE＝x(x＞0)，则BE＝2x，由折叠的性质知，C′E＝CE＝x，C′D＝CD＝3，∠AC′D＝∠DC′E＝∠C＝90°.∴tan∠DAC′＝tan∠BEA，即eq\f(C′D,AC′)＝eq\f(AB,BE).∴eq\f(3,AC′)＝eq\f(3,2x)，则AC′＝2x.在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，即9＋4x2＝(2x＋x)2，解得x＝eq\f(3\r(5),5)(负值已舍去)，∴BE＝2x＝eq\f(6\r(5),5).例题解图②eq\r(7)；【解析】由折叠的性质得，C′D＝CD＝AB＝3，∠DC′A＝∠ABE＝90°，在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA，∴△DC′A≌△ABE(AAS)，∴BE＝C′A，在Rt△AC′D中，∴AC′＝eq\r(AD2－C′D2)＝eq\r(42－32)＝eq\r(7)，∴BE＝eq\r(7).(2)eq\f(5,7).【解析】由题图可得，在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAO＝∠BEO，∵∠AC′D＝∠C＝∠ABE＝90°，C′D＝CD＝AB，∴△AC′D≌△EBA(AAS)，∴AE＝AD＝4.又∵∠AOD＝∠EOB，∴△AOD∽△EOB，∴eq\f(AD,EB)＝eq\f(AO,EO)＝eq\f(AO,AE－AO)＝eq\f(4,3)，解得AO＝eq\f(16,7)，∵C′E＝CE＝1，∴OC′＝AE－AO－C′E＝eq\f(5,7).题型三与三角形有关的证明及计算类型一与全等三角形有关的证明及计算母题1证明：∵AM＝2MB，AN＝2NC，AB＝AC，∴AM＝AN，∵AD平分∠BAC，∴∠MAD＝∠NAD，在△AMD与△AND中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AM＝AN,∠MAD＝∠NAD,AD＝AD))，∴△AMD≌△AND(SAS)，∴DM＝DN.1.解：①，证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMB＝∠DNC＝90°，∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝DN，在△BMD和△CND中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠B＝∠C,∠DMB＝∠DNC,DM＝DN))，∴△BMD≌△CND(AAS)．②，证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMB＝∠DNC＝90°，在△BMD和△CND中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠B＝∠C,∠DMB＝∠DNC,BD＝CD))，∴△BMD≌△CND(AAS)．③，证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵AM＝AN，∴BM＝CN，又∵DM⊥AB，DN⊥AC∴∠BMD＝∠CND＝90°，在△BMD和△CND中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠B＝∠C,BM＝CN,∠BMD＝∠CND))，∴△BMD≌△CND(ASA)．2.解：补全图形如解图，选择△DEM和△DFN，第2题解图证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，∴∠DEM＝∠DFN＝90°，DE＝DF，在Rt△DEM和Rt△DFN中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DE＝DF,DM＝DN))，∴Rt△DEM≌Rt△DFN(HL)．(答案不唯一，合理即可)3.(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BDM与△CND中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BD＝CN,∠B＝∠C,BM＝CD))，∴△BDM≌△CND(SAS)；(2)解：∵∠A＝80°，∴∠B＝∠C＝50°，∵△BDM≌△CND，∴∠BMD＝∠CDN，∵∠MDC＝∠B＋∠BMD＝∠MDN＋∠CDN，∴∠MDN＝∠B＝50°.类型二与相似三角形有关的证明及计算母题2(1)证明：∵DF∥BC，EF∥AB，∴∠FEC＝∠ABE，∠ADF＝∠ABE，∠FCE＝∠AFD，∴∠FEC＝∠ADF，∴△FEC∽△ADF；(2)解：∵CF＝eq\f(1,3)AC，设CF＝x，则AC＝3x，∴AF＝AC－CF＝2x，∴eq\f(CF,AF)＝eq\f(x,2x)＝eq\f(1,2)，由(1)知△FEC∽△ADF，∴eq\f(S△FEC,S△ADF)＝(eq\f(CF,AF))2＝(eq\f(1,2))2＝eq\f(1,4)，∵S△FEC＝1，∴S△ADF＝4.1.(1)证明：∵点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，∴DF、EF、DE是△ABC的中位线，∴DF＝eq\f(1,2)BC，EF＝eq\f(1,2)AB，DE＝eq\f(1,2)AC，∴eq\f(FD,BC)＝eq\f(EF,AB)＝eq\f(ED,AC)＝eq\f(1,2)，∴△ABC∽△EFD；(2)解：∵点D，E，F分别是AB，BC，CA边的中点，∴EF、DE、DF为△ABC的中位线，∴EF＝eq\f(1,2)AB，DF＝eq\f(1,2)BC，DE＝eq\f(1,2)AC，∴AB＝2EF，BC＝2DF，AC＝2DE，∵△DEF的周长为10，∴EF＋DE＋DF＝10，∴2EF＋2DE＋2DF＝20，∴AB＋AC＋BC＝20，∴△ABC的周长为20.2.(1)证明：∵∠AFD＝∠B，∠DAF＝∠CAB，∴△AFD∽△ABC，∴∠ADG＝∠C，又∵eq\f(AD,AC)＝eq\f(DG,CE)，∴△ADG∽△ACE；(2)解：∵△ADG∽△ACE，∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(AG,AE)，∵eq\f(AD,AC)＝eq\f(3,7)，∴eq\f(AG,AE)＝eq\f(3,7)，∴eq\f(AG,GE)＝eq\f(3,4).类型三与特殊三角形有关的证明及计算母题3(1)证明：∵EF∥BC，∴∠BOE＝∠CBO，∵∠ABC的平分线交EF于点O，∴∠EBO＝∠CBO，∴∠EBO＝∠BOE，∴EO＝BE；(2)解：∵EF＝BE＋CF，且EF＝OE＋OF，∴OE＋OF＝BE＋CF，∵EO＝BE，∴OF＝CF，∴∠COF＝∠FCO，∵EF∥BC，∴∠COF＝∠BCO，∴∠BCO＝∠FCO，∴OC平分∠ACB，∴∠ACO＝eq\f(1,2)∠ACB＝35°.1.(1)证明：∵CE⊥BF，∴∠BME＝∠BMC＝90°，又∵BF平分∠CBA，∴∠EBM＝∠CBM，又∵在△BEM和△BCM中，∠BME＋∠EBM＋∠BEM＝180°，∠BMC＋∠CBM＋∠BCM＝180°，∴∠BEM＝∠BCM，∴BC＝BE；(2)解：∵BE＝BC，BF平分∠CBA，∴BF垂直平分CE，∴CF＝EF，∴∠FEM＝∠FCM，∵∠BEM＝∠BCM，∴∠BEF＝∠BCF，又∵∠BCA＝2∠A，∴∠BEF＝2∠A，又∵在△AEF中，∠BEF＝∠A＋∠EFA，∴∠A＝∠EFA，∴EA＝EF，∴AE＝CF.∴BC＝BE＝BA－AE＝BA－CF＝14－5＝9.2.(1)证明：如解图①，取BC的中点O，连接OE，OF.第2题解图①在△BEM和△CEA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(EB＝EC,∠BEM＝∠CEA,EM＝EA))，∴△BEM≌△CEA(SAS)，∴BM＝CA，∠EBM＝∠ECA，∵∠BME＝∠CMF，∴∠CFB＝∠BEM＝90°，∵OB＝OC，∴OE＝OF＝OB＝OC，∴B，E，F，C四点共圆，∴∠EFB＝∠ECB＝45°，∵BN⊥FN，∴∠N＝90°，∴∠NBF＝∠BFN＝45°，∴BF＝eq\r(2)BN，∵AC＋FM＝BM＋FM＝BF，∴AC＋MF＝eq\r(2)BN.(2)解：如解图②，过点M作MT⊥BC于点T.第2题解图②∵BE⊥CE，∴∠BEC＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，∴EB＝EC＝2eq\r(2)，BC＝eq\r(2)BE＝4，∵MT⊥BC，∴∠TCM＝∠CMT＝45°，∴CT＝MT，设CT＝MT＝m，∵∠MBT＝30°，∴BT＝eq\r(3)MT＝eq\r(3)m，∴m＋eq\r(3)m＝4，∴m＝2eq\r(3)－2，∴S△MBC＝eq\f(1,2)BC·MT＝eq\f(1,2)×4×(2eq\r(3)－2)＝4eq\r(3)－4.题型四反比例函数综合题例解：(1)满足y1≤y2的取值范围是x＜0或1≤x≤3；(2)①由题意可知，反比例函数y1＝eq\f(3,x)，∵A(m，3)在反比例函数y1的图象上，∴3＝eq\f(3,m)，∴m＝1，即A(1，3)，将A(1，3)、B(3，1)代入一次函数y2＝ax＋b中，得eq\b\lc\{(