高考数学理科一轮复习第7章立体几何第5讲课后作业

A组基础关1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥β D．AC⊥β答案D解析如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有D不一定成立，故选D.2．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFHC．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF答案B解析根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，∴AH⊥平面EFH，B正确；∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确；∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，∴EF⊥平面HAG，又EF⊂平面AEF，∴平面HAG⊥AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确；已证平面HAG⊥平面AEF，若证HG⊥平面AEF，只需证HG⊥AG，已证AH⊥HG，故HG⊥AG不成立，所以HG与平面AEF不垂直，∴D不正确．故选B.3.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是()A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°答案D解析选项A，B，C显然错误．∵PA⊥平面ABC，∴∠PDA是直线PD与平面ABC所成的角．∵ABCDEF是正六边形，∴AD＝2AB.∵tan∠PDA＝eq\f(PA,AD)＝eq\f(2AB,2AB)＝1，∴直线PD与平面ABC所成的角为45°.故选D.4．(2017·江西南昌摸底)如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么点D在平面ABC内的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部答案A解析因为AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平面ABD，又AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上．故选A.5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为()A．－eq\f(\r(10),5)B.eq\f(\r(10),5)C．－eq\f(\r(15),5)D.eq\f(\r(15),5)答案B解析如图，延长BE与B1C1的延长线交于点F，连接FD1，因为E为C1C的中点，四边形BCC1B1是正方形，所以C1F＝B1C1＝BC，所以∠C1D1F＝∠C1D1B1＝45°，所以FD1⊥B1D1，易证FD1⊥平面BB1D1D.所以∠BFD1是直线BE与平面B1BD所成的角．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则D1F＝B1D1＝eq\r(2)a.BF＝eq\r(2a2＋a2)＝eq\r(5)a，所以sin∠BFD1＝eq\f(D1F,BF)＝eq\f(\r(2),\r(5))＝eq\f(\r(10),5).6．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为()A.eq\f(1,2) B．1C.eq\f(3,2) D．2答案A解析设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可以得A1B1＝eq\r(2)，矩形ABB1A1中，tan∠FDB1＝eq\f(B1F,B1D)，tan∠A1AB1＝eq\f(A1B1,AA1)＝eq\f(\r(2),2).又∠FDB1＝∠A1AB1，所以eq\f(B1F,B1D)＝eq\f(\r(2),2).故B1F＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,2).故选A.7．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，点E，F，G分别是线段DC，D1D和D1B上的动点，给出下列结论：①对于任意给定的点E，存在点F，使得AF⊥A1E；②对于任意给定的点F，存在点E，使得AF⊥A1E；③对于任意给定的点G，存在点F，使得AF⊥B1G；④对于任意给定的点F，存在点G，使得AF⊥B1G.其中正确结论的个数是()A．0 B．1C．2 D．3答案C解析因为DE⊥平面A1D，根据三垂线定理，对于任意给定的点E，A1E在平面A1D的射影为A1D，所以存在点F，使得AF⊥A1D，所以AF⊥A1E，①正确；如果对于任意给定的点F，存在点E，使得AF⊥A1E；那么AF⊥A1D，又AD1⊥A1D，得到过A有两条直线与A1D垂直，故②错误；只有AF垂直B1G在平面BCC1B1中的射影时，AF⊥B1G，所以当G位于D1B的上半部分时，在D1D上不存在F点，使AF垂直B1G在平面BCC1B1中的射影，③错误；对任意给定的点F，存在平面BCC1B1上的线段B1G′和AF垂直，且B1G′为B1G的投影，所以④正确，所以C正确．8．如图，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，则AD＝________.答案a解析作BC中点E，连接AE，DE，则在Rt△ABC中，AB＝AC＝a，由勾股定理得BC＝2AE＝eq\r(2)a，且有AE⊥BC，又平面ABC⊥平面BDC，平面ABC∩平面BDC＝BC且直线AE在平面ABC内，∴由面面垂直的性质定理得AE⊥平面BCD，∵DE⊂平面BCD内，∴AE⊥DE，又在Rt△BCD中，点E是BC的中点，∴DE＝eq\f(BC,2)＝eq\f(\r(2),2)a，∴在Rt△ADE中，AE＝eq\f(\r(2),2)a，由勾股定理得AD＝eq\r(AE2＋DE2)＝a.9．(2016·全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)答案②③④解析对于①，由m⊥n，m⊥α可得n∥α或n在α内，当n∥β时，α与β可能相交，也可能平行，故①错误；对于②，过直线n作平面与平面α交于直线c，由n∥α可知n∥c，∵m⊥α，∴m⊥c，∴m⊥n，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④.10．(2018·兰州实战考试)α，β是两平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β＝EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF.现有下列条件：①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.其中能成为增加条件的序号是________．答案①③解析由题意得，AB∥CD，∴A，B，C，D四点共面．①中，∵AC⊥β，EF⊂β，∴AC⊥EF，又∵AB⊥α，EF⊂α，∴AB⊥EF，∵AB∩AC＝A，∴EF⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴BD⊥EF，故正确；②不能得到BD⊥EF，故错误；③中，由AC与CD在β内的射影在同一条直线上可知平面ABCD⊥β，又AB⊥α，AB⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥α.∵平面ABCD⊥α，平面ABCD⊥β，α∩β＝EF，∴EF⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，∴BD⊥EF，故正确；④中，由①知，若BD⊥EF，则EF⊥平面ABCD，则EF⊥AC，故错误，故填①③.B组能力关1．(2018·静海月考)如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是()A．一条线段 B．一条直线C．一个圆 D．一个圆，但要去掉两个点答案D解析∵平面PAC⊥平面PBC，而平面PAC∩平面PBC＝PC.又AC⊂平面PAC，且AC⊥PC，∴AC⊥平面PBC，而BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC，∴点C在以AB为直径的圆上，∴点C的轨迹是一个圆，但是要去掉A和B两点．故选D.2．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是()A．点P到平面QEF的距离B．三棱锥P－QEF的体积C．直线PQ与平面PEF所成的角D．二面角P－EF－Q的大小答案C解析A中，因为平面QEF也就是平面A1B1CD，显然点P到平面A1B1CD的距离是定值，所以点P到平面QEF的距离为定值；B中，因为△QEF的面积是定值(EF为定长，点Q到EF的距离就是点Q到CD的距离，也是定长，即底和高都是定值)，再根据A的结论，即点P到平面QEF的距离也是定值，所以三棱锥P－QEF的高也是定值，于是其体积固定，所以三棱锥P－QEF的体积是定值；C中，因为Q是动点，PQ的长不固定，而Q到平面PEF的距离为定值，所以PQ与平面PEF所成的角不是定值；D中，因为A1B1∥CD，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，所以二面角P－EF－Q的大小即为二面角P－CD－A1的大小，为定值．3．(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为()A.eq\f(3\r(3),4) B．eq\f(2\r(3),3)C．eq\f(3\r(2),4) D．eq\f(\r(3),2)答案A解析根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AB1D1与线AA1，A1B1，A1D1所成的角是相等的，所以平面AB1D1与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面C1BD也满足与正方体的每条棱所在的直线所成的角都是相等的，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面AB1D1与C1BD中间的，且过棱的中点的正六边形，边长为eq\f(\r(2),2)，所以其面积为S＝6×eq\f(\r(3),4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＝eq\f(3\r(3),4)，故选A.4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝4，过A1作底面ABC的垂线，垂足为BC的中点，D为B1C1的中点．(1)证明：A1D⊥平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．解(1)证明：如图，设E为BC的中点，连接AE，DE，A1E.由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE.因为AB＝AC，所以AE⊥BC.所以AE⊥平面A1BC.由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥BB1，且DE＝BB1，从而DE∥AA1，且DE＝AA1，所以四边形AA1DE是平行四边形，所以A1D∥AE.又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.(2)如图，作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF.因为A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E.因为BC⊥AE，AE∩A1E＝E，所以BC⊥平面AA1DE.所以BC⊥A1F.又因为DE∩BC＝E，所以A1F⊥平面BB1C1C.所以∠A1BF为直线A1B与平面BB1C1C所成的角．由AB＝AC＝2，∠CAB＝90°，得EA＝EB＝eq\r(2).由A1E⊥平面ABC，得A1A＝A1B＝4，A1E＝eq\r(14).由DE＝BB1＝4，DA1＝EA＝eq\r(2)，∠DA1E＝90°，得A1F＝eq\f(\r(7),2).所以sin∠A1BF＝eq\f(A1F,A1B)＝eq\f(\r(7),8).C组素养关1．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1－BCDE.(1)证明：CD⊥平面A1OC；(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1－BCDE的体积为36eq\r(2)，求a的值．解(1)证明：在图1中，连接EC(图略)，因为AB＝BC＝eq\f(1,2)AD＝a，∠BAD＝90°，AD∥BC，E是AD的中点，所以四边形ABCE为正方形，所以BE⊥AC，即在图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，又A1O∩OC＝O，从而BE⊥平面A1OC，又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，又由(1)可知A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE，即A1O是四棱锥A1－BCDE的高，由图1知，A1O＝eq\f(\r(2),2)AB＝eq\f(\r(2),2)a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，从而四棱锥A1－BCDE的体积V＝eq\f(1,3)×S×A1O＝eq\f(1,3)×a2×eq\f(\r(2),2)a＝eq\f(\r(2),6)a3，由eq\f(\r(2),6)a3＝36eq\r(2)，解得a＝6.2．如图，直角三角形ABC中，∠BAC＝60°，点F在斜边AB上，且AB＝4AF，D，E是平面ABC同一侧的两点，AD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，AD＝3，AC＝BE＝4.(1)求证：平面CDF⊥平面CEF；(2)点M在线段BC上，异面直线CF与EM所成角的余弦值为eq\f(1,4)，求CM的长．解(1)证明：连接DE.∵AD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，∴AD∥BE，即AD，BE在同一平面上，且AD⊥AB，B