初中数学【截长补短构造全等】专题练习_第1页
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文档简介

【一】如图，中，AB=2AC，AD平分∠BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC解：（截长法）在AB上取中点F，连FD△ADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知DF⊥AB，故∠AFD＝90°△ADF≌△ADC（SAS）∠ACD＝∠AFD＝90°即：CD⊥AC【二】如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC解：（截长法）在AB上取点F，使AF＝AD，连FE△ADE≌△AFE（SAS）∠ADE＝∠AFE，∠ADE+∠BCE＝180°∠AFE+∠BFE＝180°故∠ECB＝∠EFB△FBE≌△CBE（AAS）故有BF＝BC从而;AB＝AD+BC【三】如图，已知在△ABC内，∠BAC=60°，∠C=40°，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP解：（补短法,计算数值法）延长AB至D，使BD＝BP，连DP，则∠D=∠5．∵AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC=60°，∠ACB=40°，∴∠1=∠2=30°，∠ABC=180°-60°-40°=80°，∠3=∠4=40°=∠C，∴QB=QC，又∠D+∠5=∠3+∠4=80°，∴∠D=40°．在△APD与△APC中，∠D=∠D=C，∠1=∠2，AP=AP，∴△APD≌△APC（AAS），∴AD=AC．∴AB+BD=AQ+QC，∴AB+BP=BQ+AQ．【四】已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明：在AE上截取AM=AD，连接CM∵AC平分∠BAD∴∠1=∠2在△AMC和△ADC中，AC=AC，∠1=∠2，AD=AM∴△AMC≌△ADC（SAS）∴∠3=∠D∵∠B+∠D=180°，∠3+∠4=180°，∴∠4=∠B∴CM=CB∵CE⊥AB∴ME=EB（等腰三角形底边上的高线与底边上的中线重合）∵AE=AM+ME∴AE=AD+BE【五】如图已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE证明：延长BE交AC于M∵BE⊥AE，∴∠AEB=∠AEM=90°在△ABE中，∵∠1+∠3+∠AEB=180°，∴∠3=90°-∠1同理，∠4=90°-∠2∵∠1=∠2，∴∠3=∠4，∴AB=AM∵BE⊥AE，∴BM=2BE，∴AC-AB=AC-AM=CM，∵∠4是△BCM的外角∴∠4=∠5+∠C∵∠ABC=3∠C，∴∠ABC

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