天津市宁河区2024-2025学年高三数学下学期第一次模拟考试试题含解析

天津市宁河区2024-2025学年高三数学下学期第一次模拟考试试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），考试用时120分钟，共150分.答卷时，将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡上，非选择题的答案写在答题纸上.第Ⅰ卷一、选择题（每小题5分，共45分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】化简集合A，B，求交集并集即可.详解】，，故选：C．2.已知命题，，则命题的否定是A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】依据特称命题的否定，变更量词，否定结论，可得出命题的否定.【详解】命题为特称命题，其否定为，.故选：C.【点睛】本题考查特称命题的否定的改写，要留意量词和结论的变更，属于基础题.3.函数的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先推断函数的奇偶性，解除选项，再推断时，函数值的正负，解除选项.【详解】明显，，解得：且，函数的定义域关于原点对称，且，函数是奇函数，关于原点对称，解除CD；当，，，所以，解除B故选：A．4.为了了解某地区高三学生的身体发育状况，抽查了该地区100名年龄在17～18岁的男生的体重(千克)，将他们的体重按[54.5，56.5)，[56.5，58.5)，…，[74.5，76.5]分组，得到频率分布直方图如图所示．由图可知这100名学生中体重在[56.5，64.5)的学生人数是（）A.20 B.30C.40 D.50【答案】C【解析】【分析】计算[56.5，64.5)的频率为0.4，然后样本人数100×0.4=40人.【详解】由频率分布直方图可得体重在[56.5，64.5)的学生频率为(0.03＋0.05＋0.05＋0.07)×2＝0.4，则这100名学生中体重在[56.5，64.5)的学生人数为100×0.4＝40.故选：C.【点睛】易错点睛：在频率分布直方图中，小长方形的面积表示频率，而不是纵坐标表示频率.5.已知正方体的全部顶点都在球O的表面上，若球的体积为，则正方体的体积为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出球的半径，再依据正方体的棱长与其外接球半径的关系，求出正方体的棱长，即可求出正方体的体积.【详解】解：球的体积为，即，解得：，设正方体的棱长为，由题意知：，即，解得：，正方体的体积.故选：D.6.在高三下学期初，某校开展老师对学生的家庭学习问卷调查活动，已知现有3名老师对4名学生家庭问卷调查，若这3名老师每位至少到一名学生家中问卷调查，又这4名学生的家庭都能且只能得到一名老师的问卷调查，那么不同的问卷调查方案的种数为A.36 B.72 C.24 D.48【答案】A【解析】【分析】分为两步进行求解，即先把四名学生分为1,1,2三组，然后再分别对应3名任课老师，依据分步乘法计数原理求解即可．【详解】依据题意，分2步进行分析：①先把4名学生分成3组，其中1组2人，其余2组各1人，有种分组方法；②将分好的3组对应3名任课老师，有种状况；依据分步乘法计数原理可得共有种不同的问卷调查方案．故选A．【点睛】解答本题的关键是读懂题意，分清是依据分类求解还是依据分布求解，然后再依据排列、组合数求解，简单出现的错误时在分组时忽视平均分组的问题．考查理解和运用学问解决问题的实力，属于基础题．7.已知是定义在上的偶函数，且在是增函数，记，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据指数函数和对数函数单调性可确定，依据单调性和偶函数定义可比较出函数值的大小关系.【详解】，在是增函数，，又为偶函数，，，即.故选：A.8.如图，已知为双曲线的左焦点，过点的直线与圆于两点（在之间），与双曲线在第一象限的交点为，为坐标原点，若，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】过作，垂足为H，可得，在直角中利用勾股定理可求出，进而得出，利用双曲线定义得出关系即可求出离心率.【详解】圆，故圆心为原点，半径为，过作，垂足为H，则H是AB中点，，则H是中点，，，，则在直角中，，则,是中点，，则由双曲线定义可得，解得.故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键是作出中点H，得出，进而利用双曲线定义求解.9.设函数在上单调递减，则下述结论：①关于中心对称；②关于直线轴对称；③在上的值域为；④方程在有个不相同的根.其中正确结论的编号是（）A.①② B.②③ C.②④ D.③④【答案】D【解析】【分析】利用题干中的已知条件求得，可得出，利用正弦型函数的对称性可推断①②的正误，利用正弦型函数的值域可推断③的正误，求出方程在上的解，可推断④的正误.【详解】，由可得，由于函数在上单调递减，所以，，所以，，解得，由，解得，且，，可得，，则.对于①，，所以，，所以，函数的图象关于点成中心对称，①错误；对于②，，②错误；对于③，当时，，则，所以，，即在上的值域为，③正确；对于④，当时，，令，可得，或或或.所以，方程在有个不相同的根，④正确.故选：D.【点睛】方法点睛：求函数在区间上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式；其次步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.第Ⅱ卷二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对一个给3分）10.设是虚数单位，复数是实数，则实数的值是_________.【答案】##【解析】【分析】利用复数除法运算可化简得到，由实数的定义可构造方程求得的值.【详解】实数，，解得：.故答案为：.11.已知直线被圆截得的弦长为，则的值为_________.【答案】1【解析】【分析】利用圆心到直线的距离，通过勾股定理列方程求解即可.【详解】依题意可得圆心，半径，则圆心到直线的距离，由勾股定理可知，，代入化简可得，且，解得．故答案：．12.设曲线在点处的切线方程为，则___________.【答案】【解析】【分析】求导，依据导数几何意义求出函数在处的导函数值为切线的斜率.【详解】所以函数在处的导函数值为，依据导数几何意义可得故答案为：13.一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为，则_______；______．【答案】①.②.1【解析】【分析】先计算出的分布列，再利用公式可求.【详解】随机变量，对应事务为第一次拿红球或第一次拿绿球，其次次拿红球，所以，对应事务为第一次拿黄球，其次次拿红球，或第一次拿黄球，其次次拿绿球，第三次拿红球，或第一次拿绿球，其次次拿黄球，第三次拿红球，故，故，所以.故答案为：.【点睛】关键点点睛：计算离散型随机变量的分布列，留意随机变量取值时对应的含义，从而正确计算对应的概率，另外留意利用对立事务计算概率.14.已知、都是正数，且，则的最小值是__________．【答案】【解析】【分析】由可得出，依据已知条件得出，将代入所求代数式可得出，利用基本不等式可求得的最小值.【详解】，所以，，，由，解得，则，所以，，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故答案为：.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要留意其必需满意的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必需为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必需把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必需把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必需验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最简单发生错误的地方.15.在中，，，，在边上，若，，则实数的值为______________.【答案】【解析】【分析】依据向量数量积定义可求得，利用表示出，利用平面对量数量积的运算律可构造方程求得的值.【详解】，，解得：.故答案为：.三、解答题（本题共5小题，共75分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.在中，角所对边分别为，，，且，，.（1）求边及的值；（2）求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先由求得，再利用三角形面积公式可得，结合条件可得，的值，从而利用余弦定理求得，利用正弦定理求得；（2）由（1）可知，从而求得，，再结合二倍角公式与余弦的和差公式求解即可.【小问1详解】因为，，所以，因为，所以，又，即，所以，即，解得（负值舍去），则，所以，则，因为，即，所以.【小问2详解】在中，，由（1）可得，则，所以，，则，，所以.17.如图，四棱锥的底面为正方形，底面，是线段的中点，设平面与平面的交线为.（1）证明∥平面BCM（2）已知，为上的点，若与平面所成角的正弦值为是，求线段的长.（3）在（2）的条件下，求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】(1)先证明∥平面，结合线面平行的性质定理可证∥平面；(2)建立空间直角坐标系,设,计算出平面的一个法向量为，结合与平面所成角的正弦值为是解出，进而可得的长；(3)分别计算二面角两个半平面的法向量，结合空间角的向量求法即可求解.【小问1详解】在正方形中，，因为平面，平面，所以∥平面，又因为平面，平面平面，所以，因为平面，平面，所以∥平面【小问2详解】如图建立空间直角坐标系，因为，则有，，，，，设，则有，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以平面的一个法向量为，则因为与平面所成角的正弦值为是，所以，解得.所以.【小问3详解】由（2）可知平面的一个法向量为因为是线段的中点，所以于是，，设平面的法向量则，即.令，得，，，所以二面角的正弦值为.18.已知等差数列的公差为正数，，前项和为，数列为等比数列，，且，.（1）求数列、的通项公式；（2）令，求数列的前项的和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）干脆利用等差数列和等比数列的性质，列出方程组即可求出通项公式；（2）利用错位相减和分组求和进行求和.【小问1详解】设的公差为，的公比为，因为且，所以，所以，所以，；【小问2详解】因为，所以；所以记所以所以所以.19.已知椭圆的离心率为，一个顶点A在抛物线的准线上，其中为原点.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆的右焦点，点满意，点在椭圆上（异于椭圆的顶点）.（i）直线与以为圆心圆相切于点，且为线段的中点，求实数的取值范围；（ii）若点在第四象限，且，求直线的斜率.【答案】（1）；（2）（i）；（ii）.【解析】【分析】（1）求出抛物线的准线方程，从而得到，结合离心率列出方程组，求出椭圆方程；（2）（i）解法1：设出直线的方程为，联立椭圆方程，求出点的坐标，点的坐标，依据，斜率乘积为，得到，，利用基本不等式求出的取值范围，结合异于椭圆的顶点，所以，最终求出范围；解法2：设，得到，由，得到，列出方程，结合，得到，结合且，求出的取值范围；（ⅱ）解法1：分与两种状况，依据差角正弦公式得到或，直线的倾斜角为，从而求出直线方程，进而联立椭圆方程，求出点坐标，从而求出直线斜率.解法2：由，，得到，结合（ⅰ）中所求点的坐标，表达出到直线的距离为，从而表达出，，从而列出方程，求出.小问1详解】的准线方程为，由已知，得，而，，∴，，故；【小问2详解】（ⅰ）解法1：因为直线与以为圆心的圆相切于点，所以，依据题意可知，直线和的斜率均存在，设直线的斜率为，则直线的方程为，即，联立与得：，解得或.将代入，得，所以，点的坐标为，因为为线段的中点，点A的坐标为，所以点的坐标为，由，得点的坐标为，所以直线的斜率为，又因为，所以，整理得，因，所以且，当且仅当，即时取得等号.因为异于椭圆的顶点，所以，解得的取值范围是.解法2：因为，而得，设，即，∵，则，∴，整理得，①而，有，代入①中得，∴，由椭圆方程知：且，∴，（ⅱ）解法1：不妨令，如图1所示：因为，所以，由点在第四象限，∴，而，，∴，而，有，即直线的倾斜角为，∴直线为，代入椭圆方程得，得，，∴由知：；若，如图2，因为，所以，由点在第四象限，∴，而，，所以，而，有，即直线的倾斜角为，∴直线为，代入椭圆方程得，得，，∴由知：；（ⅱ）解法2：由，且，得，即由（ⅰ）知，点的坐标为，且点在轴的下方，则.设到直线：的距离为，.，.从而，解得：.【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．20.已知函数，.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，证明；（3）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（1）在单调递增，在单调递减；（2）证明见解析（3）【解析】【分析】(1)把函数写成分段函数，再推断每一