四川省内江市2024-2025学年高二数学上学期期中理科试题

Page11Page11四川省内江市2024-2025学年高二数学上学期期中（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则()A. B.1 C.2 D.2.设x，y满意约束条件，则的最小值是()A.－1 B.0 C.1 D.23.过点，且横、纵截距的肯定值相等的直线的条数为(

)A.B.C.D.4.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为(

)

A.10

B.12

C.14

D.165.由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为(

)A.B.C.D.6.已知直线，分别过点，，若它们分别绕点P，Q旋转，但始终保持平行，则，之间的距离d的取值范围为()A. B. C. D.7.已知某几何体的三视图(单位:)如图所示，则该几何体的体积是(

)

A.B.C.D.8、球内接正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积是(

)A.16πB.20πC.24πD.32π9.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，若，则异面直线AB1与C1B所成的角为（）A、B、C、D、10.若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是()A. B.

C. D.11.已知圆和两点，，若圆C上存在点P，使得，则m的最大值为（）A.7 B.4 C.5 D.612.数学中有很多形态美丽、寓意美妙的曲线，曲线就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线C上随意一点到原点的距离都不超过；

③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.

其中，全部正确结论的序号是（）A.① B.② C.①② D.①②③第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡相应位置上.13.已知在三角形ABC中，，点C在直线上.若三角形ABC的面积为10，则点C的坐标为__________.14、一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是，则这个三棱柱的体积为_______.15.在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是

.16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形态多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形态是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的全部顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面，其棱长为.

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，分别是线段的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若点P为线段的中点，平面与平面有怎样的位置关系？并证明．18.(本小题满分12分）已知圆，直线。

（Ⅰ）证明:不论取什么实数，直线与圆恒交于两点;（Ⅱ）求直线被圆截得的弦长最小时的方程.19.(本小题满分12分）已知圆.（Ⅰ）求圆心的坐标及半径的大小；（Ⅱ）已知不过原点的直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，求直线的方程；（Ⅲ）从圆外一点向圆引一条切线，切点为为坐标原点，且，求点P的轨迹方程．20.(本小题满分12分）如图所示，已知ABCD为梯形，AB//CD，，M为线段PC上一点.

（Ⅰ）设平面平面，证明：AB//l.（Ⅱ）在棱PC上是否存在点M，使得PA//平面MBD？若存在，请确定点M的位置；若不存在，请说明理由.21.(本小题满分12分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点设圆的半径为，圆心在直线上.（Ⅰ）若圆心也在直线上，求圆的方程;（Ⅱ）在上述的条件下，过点作圆的切线，求切线的方程;（Ⅲ）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.22.(本小题满分12分）已知圆C经过点，且圆心C在直线上，又直线与圆C相交于两点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若，求实数k的值；（Ⅲ）过点作动直线m交圆C于两点．试问：在以EF为直径的全部圆中，是否存在这样的圆P，使得圆P经过点？若存在，求出圆P的方程；若不存在，请说明理由．

威远中学21—22学年高二第一学期期中考试理科数学（参考答案）1.答案：C解析：分析知直线的斜率存在且不为0.由于直线与直线垂直,且过点所以直线的方程为,因为直线与圆相切,所以,解得,故选C.2.答案：C3.答案：C解析：本题考查直线的方程.①当直线不过原点时,设直线的截距式方程为(其中,分别为直线在轴、轴上的截距)因为直线过点,则有.由题,直线的横、纵截距的肯定值相等,即有.当,时,可得,此直线的方程为;当,时,可得,此直线的方程为当,时,可得,冲突;当,时,可得,冲突;

②当直线过原点时,方程为,在轴、轴上的截距均为,也满意条件.故满意条件的直线共有条.正确答案为C4.答案：B解析：视察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的,且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形,侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形,高为2,如图所示.因此该多面体各个面中共有两个梯形,且这两个梯形全等,梯形的上底长为2,下底长为4,高为2,故这些梯形的面积之和为.故选B5.答案：B解析：要使切线长最小,必需直线上的点到圆心的距离最小,此最小值即为圆心到直线的距离,求出,由勾股定理可求切线长的最小值.要使切线长最小,必需直线上的点到圆心的距离最小,此最小值即为圆心到直线的距离,由点到直线的距离公式得,由勾股定理求得切线长的最小值为.故选B.6.答案：A解析：易知两直线之间的最大距离为P，Q两点间的距离，由两点间的距离公式得.故，之间的距离d的取值范围为.7.答案：B解析：由三视图可知,该几何体是一个长方体截去了一个三棱锥,结合所给数据,可得其体积为,故选B.8.答案：A解析：试题分析:设正四棱锥底面边长为a,由6,得a=,

正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高PO1上,记为O,PO=AO=R,PO1=3,OO1=3-R,在Rt△AO1O中,AO1=AC=,由勾股定理R2=3+(3-R)2得R=2,∴球的表面积S=16π故选A。9.答案：B略10.答案：C解析：如图所示曲线即,表示以为圆心，以2为半径的一个半圆，圆心到直线的距离等于半径2，可得，所以.当直线过点，直线与曲线有两个公共点，此时.结合图像可得.故选C.11.答案：D解析：若，则点P的轨迹是以AB为直径的圆，其方程为.由题意知圆与圆有公共点，所以，易知，所以，故m的最大值为6.12.答案：C解析：由,得,,即,所以可为的整数有0,,1,从而曲线恰好经过六个整点,结论①正确.由,得,,解得,所以曲线上随意一点到原点的距离都不超过.结论②正确.如图所示,易知,则四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.故选C.13.解析：设，由的面积为10，得点C到边所在直线的距离为4.又线段所在直线方程为，即.所以解得或所以点C的坐标为或.14.解析：设球的半径为,∵,∴,∴正三棱柱的高,设正三棱柱底面边长为,则,∴,∴.15.解析：由于圆的方程为,圆心为由题意可知到的距离应不大于2,即.整理得,解得,故的最大值为.16.解析：由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，其次层共有8个面，所以该半正多面体共有个面．如图，设该半正多面体的棱长为x，则，延长与交于点G，延长交正方体棱于H，由半正多面体对称性可知，为等腰直角三角形，,，解析：证明如图，连接，（1分）由F是线段的中点得F为的中点，∴为的中位线，∴.（2分）又∵平面，平面，（4分）∴平面（5分）(2)解平面平面，证明如下：在上取中点P，连接.（6分）∵分别为的中点，∴为的中位线，∴.（7分）又∵平面，平面，∴平面，（8分）又平面，平面，平面，（9分）∴平面平面.（10分）注：用线线平行推面面平行，说明合理也给满分18.解析：（1）.证法1:的方程,（2分）

即恒过定点（4分）

圆心坐标为,半径,,

∴点在圆内,从而直线恒与圆相交于两点。（6分）

证法2:圆心到直线的距离,

,所以直线恒与圆相交于两点。

（2）.弦长最小时,,,,（8分）

（10分）

代入,得的方程为。（12分）19.解析：(1)圆的方程变形为,∴圆心的坐标为,半径为.（3分）(2)∵直线l在两坐标轴上的截距相等且不为零,∴设直线l的方程为,

∴或。∴所求直线l的方程为或。（7分）(3)连接,则切线和垂直,连接,

∴,（9分）

又,

∴（11分）即,∴点P的轨迹方程为.（12分）答案：（1）【证明】因为AB//CD,平面PDC,平面PDC，（2分）

所以AB//平面PDC.（3分）又因为平面平面，且平面PAB，（5分）所以AB//l.（6分）

（2）【解】存在点M，使得PA//平面MBD，此时.（7分）理由如下：

连接AC交BD于点O，连接MO.（8分）

因为AB//CD，所以∆AOB~∆COD.又，所以.（9分）

又因为,所以PA//MO.（10分）又因为平面MBD,平面MBD，（11分）所以PA//平面MBD.（12分）

解析：（1）由得圆心半径为,所以圆方程为（3分）

（2）.由题意知切线的斜率肯定存在,设所求圆的切线方程为,即由得或（5分）所以所求圆的切线方程为或即或（7分）

（3).设由得整理得故点在直线上.（9分）所以点既在圆上又在直线上,即圆和直线有公共点,所以（11分）所以（12分）综上所述,的取值范围为22.解析：(1).设圆心，半径为r．因为圆C经过点，所以，即，（1分）解得，（3分）所以圆C的方程是（4分）(2).因为，（5分）且与的夹角为，所以（6分）所以圆心C到直线的距离