江苏专版2024-2025学年新教材高中数学第6章空间向量与立体几何6.3空间向量的应用6.3.4空间距离的计算分层作业苏教版选择性必修第二册

6.3.4空间距离的计算基础达标练1.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满意PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是()A. B. C. D.2.已知A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),则点A到直线BC的距离为()A. B.1 C. D.23.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1,则平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为()A. B. C. D.4.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),则两平面间的距离是()A. B. C. D.35.(多选题)已知空间直角坐标系中,O为坐标原点,点P的坐标为(1,2,3),则下列说法错误的是()A.点P到原点O的距离是B.点P到x轴的距离是C.点P到平面xOy的距离是3D.点P到平面yOz的距离是36.设A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),则点D到平面ABC的距离为.

7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是CC1,A1D1的中点,求点A到直线EF的距离.实力提升练8.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则平面α外的点P(-2,1,4)到平面α的距离为()A.10 B.3 C. D.9.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=5,AB=12,则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是()A.5 B.8 C. D.10.若Rt△ABC的两条直角边BC=3,AC=4,PC⊥平面ABC,PC=,则点P到斜边AB的距离是()A.3 B. C. D.11.(多选题)如图,在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在棱DC上运动(不与顶点重合),则点B到平面AD1P的距离可以是()A. B.C.2 D.12.(多选题)已知空间中四个点D(0,2,0),N(2,1,0),M(1,0,0),P(0,1,1),则下列结论正确的是()A.·=0B.与的夹角为C.平面PDM的一个法向量为n=(2,1,1)D.点N到平面PDM的距离为13.如图所示,在直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,△AEB是等腰直角三角形,其中∠AEB=90°,则点D到平面ACE的距离为.

14.已知在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,AB=2,CC1=2,E为B1C1的中点,F为C1D1的中点,则直线BD与EF之间的距离为.

15.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°,M为BB1的中点,N为BC的中点.(1)求点M到直线AC1的距离;(2)求点N到平面MA1C1的距离.拓展探究练16.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,BB1的中点,M为棱A1B1上的一点,且A1M=λ(0<λ<2),设点N为ME的中点,则点N到平面D1EF的距离为()A.λ B. C.λ D.17.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,CA=2,侧棱AA1=2,D是CC1的中点,则在线段A1B上是否存在一点E(异于A1,B两点),使得点A1到平面AED的距离为.6.3.4空间距离的计算1.D以P为坐标原点,PA,PB,PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1).可以求得平面ABC的一个法向量为n=(1,1,1),则d==.2.A∵A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),∴=(1,0,0),=(-1,2,-2),∴cos<,>=-,sin<,>=,∴点A到直线BC的距离d=||sin<,>=.3.B建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(1,0,0),C1(0,1,0),D(0,0,1),A(1,0,1),所以=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(-1,0,0).设平面A1C1D的法向量为m=(x,y,1),则即解得故m=(1,1,1),明显平面AB1C∥平面A1C1D,所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d===.4.B∵两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),=(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),∴两平面间的距离d===.5.AD由题可知,|OP|==,A中说法错误;由点P的坐标可知,点P到x轴的距离为=,B中说法正确;由点P的坐标可知,点P到平面xOy的距离为3,C中说法正确;由点P的坐标可知,点P到平面yOz的距离为1,D中说法错误.故选AD.6.设平面ABC的法向量为n=(x,y,z).∴n·=0,n·=0.又=(2,-2,1),=(4,0,6),∴即令z=-2,则n=(3,2,-2).又=(-7,-7,7),∴点D到平面ABC的距离d====.7.解以{,,}为正交基底,建立空间直角坐标系D-xyz,如图.设DA=2,则A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),∴=(1,-2,1),=(1,0,-2).设<,>=φ,则cosφ===-.∴sinφ=,∴点A到直线EF的距离d=||·sinφ=.8.D由题意可知=(1,2,-4).设点P到平面α的距离为h,则h===.9.C以D为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,12,0),D1(0,0,5).设B(x,12,0),B1(x,12,5)(x>0).设平面A1BCD1的法向量为n=(a,b,c),由n⊥,n⊥,得n·=(a,b,c)·(-x,0,0)=-ax=0,n·=(a,b,c)·(0,-12,5)=-12b+5c=0,所以a=0,b=c,所以可取n=(0,5,12).又=(0,0,-5),所以点B1到平面A1BCD1的距离为=.因为B1C1∥平面A1BCD1,所以B1C1到平面A1BCD1的距离为.10.A以C为坐标原点,CA,CB,CP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(4,0,0),B(0,3,0),P0,0,,∴=(-4,3,0),=-4,0,.设φ=<,>,则cosφ==,∴sinφ=,∴点P到AB的距离d=||·sinφ=×=3.11.CD以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(3,0,0),B(3,3,0),D1(0,0,3).设P(0,t,0),所以=(-3,t,0),=(-3,0,3),=(0,3,0).设n1=(x1,y1,z1)为平面AD1P的法向量,则有令y1=3,可得n=(t,3,t),则点B到平面AD1P的距离d==.因为0<t<3,所以所求距离的取值范围是(,3).故选CD.12.ACD由D(0,2,0),N(2,1,0),M(1,0,0),P(0,1,1),得=(1,-1,-1),=(0,1,-1),=(-1,-1,0).·=0,故A正确;因为cos<,>===-,又<,>∈[0,π],故与的夹角为,故B错误;设平面PDM的法向量为n=(x,y,z),由得不妨令z=1,则n=(2,1,1),设点N到平面PDM的距离为d,则d==,故C,D正确.故选ACD.13.设AB的中点为O,CD的中点为F,连接OE,OF,易知OE,OF,OB两两垂直.以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz(其中z轴平行于BC),则A(0,-1,0),E(1,0,0),D(0,-1,2),C(0,1,2),=(0,0,2),=(1,1,0),=(0,2,2).设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),则即令y=1,得n=(-1,1,-1).故点D到平面ACE的距离d===.14.以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,2,0),E(1,2,2),F(0,1,2),=(-2,-2,0),=(-1,-1,0).因为=2,所以BD∥EF,所以直线BD与EF之间的距离即为点D到直线EF的距离.又=(0,1,2),设<,>=θ,则cosθ==-,所以sinθ=,所以直线BD与EF之间的距离d=||sinθ=3×=.15.解(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),A1(0,0,2),M(2,0,1),C1(0,2,2),直线AC1的一个单位方向向量为s0=0,,,=(2,0,1),设<,s0>=θ,故点M到直线AC1的距离d=||·sin<,s0>=.(2)设平面MA1C1的法向量为n=(x,y,z),则即取x=1,得z=2,故n=(1,0,2)为平面MA1C1的一个法向量.因为N(1,1,0),所以=(-1,1,-1),故N到平面MA1C1的距离d===.16.D以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系(图略),则M(2,λ,2),D1(0,0,2),E(2,0,1),F(2,2,1),=(-2,0,1),=(0,2,0),=(0,λ,1).设平面D1EF的一个法向量为n=(x,y,z),则取x=1,得n=(1,0,2),所以点M到平面D1EF的距离d===.因为N为ME的中点,所以点N到平面D1EF的距离为.17.解假设存在点E满意题意.以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在的直线分别为x轴、y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),A1(2,0,2),D(0,0,1),B(