控制工程基础第三章时间响应分析

第三章时间响应分析

基本要求

(1)了解系统时间响应的组成；

⑵了解时间响应分析中常用的典型输入信号及其特点；

⑶掌握一阶系统的定义和基本参数，能够求解一阶系统的单位脉冲

响应、单位阶跃响应及单位斜坡响应；掌握一阶系统时间响应曲

线的基本形状及意义。掌握线性系统中，输入存在微积分关系，

其输出也存在微积分关系的基本结论；

(4)掌握二阶系统的定义和基本参数；掌握二阶系统单位脉冲响应曲线、

单位阶跃响应曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻尼比之间的

对应关系；掌握二阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之

间的关系；

⑸掌握系统误差的定义，掌握系统误差与系统偏差的关系，掌握误差

及稳态误差的求法；能够分析系统的输入、系统的结构和参数以

及干扰对系统偏差的影响。

a本章重点

⑴一阶系统的定义和基本参数，一阶系统的单位脉冲响应、单位阶跃

响应及单位斜坡响应曲线的基本形状及意义。

⑵二阶系统的定义和基本参数；二阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶

跃响应曲线的基本形状及其与系统阻尼比之间的对应关系，二

阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的关系。

⑶系统误差的定义，系统误差与系统偏差的关系，误差及稳态误差的

求法；系统的输入、系统的结构和参数以及干扰对系统偏差的影

响。

回本章难点

⑴二阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其与

系统阻尼比之间的对应关系；二阶系统性能指标的定义及其与系

统特征参数之间的关系；

⑵系统的输入、系统的结构和参数以及干扰对系统偏差的影响。

3.1时间响应的概念

3.1.1时间响应及其组成

1、时间响应:系统在输入信号的作用下，其输出随时间的变化过

程，即系统的时间响应。它由两部分组成：

(1)瞬态响应:系统在某一输入信号作用下，系统的输出量从初始

状态到稳定状态的响应过程。

(2)稳态响应：时间t趋于无穷大时，系统的输出稳定状态。

时间响应就是系统微分方程的全解。包含通解和特解两个部

分。通解完全由初始条件引起的，工程上称为自由响应，特解只

由输入决定，工程上称为强迫响应。

，控制系统的动态特性可以通过在输

入信号作用下，系统的瞬态响应来

评价的。系统的瞬态响应不仅取决

于系统本身的特性，还与外加输入

信号的形式有关。

2、时间响应函数:时间响应（函数）等于传递函数与输入的拉氏变

换之积再取拉氏逆变换。

—X。（s）=G（s）XMs）

两边取拉氏逆变换

3.1.2典型输入信号

常用的输入信号:单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、

单位抛物线函数（单位加速度函数）.正弦函数和某些随机函数。

1.单位脉冲函数(6函数)

(1)定义：⑺

Ioo004

b(，)=「t—°[“+5⑺力:1

[0t^OJ-oo

(2)L变换：0

iW)]=i

2.单位阶跃函数

(1)定义：1M⑺

flt>01

皿)=<

[0/<。

(2)L变换：

1

〃"«)]=-

s

3.单位斜坡函数

(1)定义:

t>0

X：⑺=<

10t<0

(2)L变换:

1

孙《)]二

,2

4.单位加速度函数

(1)定义：A芍⑺

t>o

毛⑺./2

0t<0

(2)L变换：0

/51

取⑺］一

5.正弦函数

(1)定义：smcot

[X：sincott>0

xt(0=〈

〔0%<。

(2)L变换:

L[Xsincot}-Xj①

i2?

S+4

台选取输入信号应当考虑以下几个方面，

输入信号应当具有典型性，能够反映系

统工作的大部分实际情况，输入信号的

形式，应当尽可能简单，便于分析处

理，输入信号能使系统在最恶劣的情况

下工作。

有在时域分析中，经常采用的典型输入信

号有下面几种，其中阶跃信号使用得最

为广泛。

3.2一阶系统的时间响应

1.一阶系统的数学模型

一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。其典型环节是惯性环节。

X©]

Ts+1

T：一阶系统的时间常数

Xj⑸仆+1

2.一阶系统的单位阶跃响应

11

输出信号拉氏变换为：X°(s)=G(s)X,(s)=

JLI.LJ

时间响应为：兀⑺二厂।[4⑸]二L〔一"j'”演

S{1S+1)

单位阶跃响应曲线：

特点：

⑴瞬态响应为一工稳态值为1；

⑵单调上升的指数曲线；

(3)T表示系统输出以最大初速达到

⑷算商值所需的时间/⑺=0.632

；,过渡过程持续时间变

短，表明系统惯性越小，系统的

快速性能越好。

一阶系统的调整时间4=(3~4)T，以此来评定响应时间的长短。

时间常数T可通过响应曲线求得，可由下述两种方法确定：

1.在响应曲线上，找到稳态值的63.2%的4点，并向时间轴t作

垂线，与其交点值，即为时间常数T。

2.由仁0那一点0(即原点)作响应曲线的切线，与稳态值交于A

‘点。由4’点向时间轴，作垂线，与其交点值即为时间常数T。

此种方法可由下式得到证明。

dy(t)1

即为斜率值，由404'T即可知上述求时间常数的求法是正

确的

3.一阶系统的单位脉冲响应

输出信号拉氏变换为：x(s)=G(s)X(s)=1

0'7\+1

11_t/

时间响应为：x(0=L-1[X(5)]=L-1[――]=-e/TQ20)

ooTs+1T

特点：

当TJ,过渡过程持续时间变短,

表明系统惯性越小，系统的快速

性能越好。

4.一阶系统的单位斜坡响应

输出信号拉氏变换为：X(5)=G(s)X(s)=11

°iTs+1s2

时间响应为：

]-1

x0(t)=L-[Xo(s)]=L[——-------]=t-T+Te-%(/>0)

s2(Ts+1)

5.一阶系统典型信号输入与输出的关系

烦=§(。—►］。“)二'一方二.⑺

1

r(O=^=1=^(0—►%“«)=-=xou(0

输入：单位脉冲=丁单位阶跃=〈单位斜坡

dtdt

,dz/

输出：单位脉冲响应=单位阶跃响应二单位斜坡响应。

dtdt

对于任意线性系统而言，若输入A是输入B的导函数，则输入A所引

起的输出就是输入B所引起输出的导函数；同样地，若输入A是输入B的

积分，则输入A所引起的输出就是输入B所引起输出的积分。

闭环传递函输入信号时

输出响应,SS

数域

3(力-eT(r>0)Q

T

1

1(t)1—ekt>00

T5+1

t-T+TeTt>0

1Lt2-Tt+T2(l-r>0无穷大

22

等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应

的导数；

系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分。

例3-1

试求系统的单位阶跃响应Q21s+1

解：首先求出系统的闭环传递函数

丫⑸_G(s)_20_0.95

X(s)1+G(s)0217+210.01s+1

因此，闭环传递国数仍为惯性环节，由(3-12)式可知

%=0.95T=0.01⑶

因此，单位阶跃响应表达式为

y«)=k(l-e

响应曲线

四图3-8所

7J\0

图3一8卷篝1的单位阶跃响应曲线

例3-2某一系统单位阶跃响应曲线如图3-9所示，试

写出其传递函数

图3-9某系统单位阶跃响应曲线

解：在响应曲线上，找到稳态值（此值为10）的63.2%

（即6.32）点，此点所对应的时间为0.1（s），即为时

间常数，而传递函数的增益k值，可由输出的稳态值10

与输入的阶跃值1的比值得到，即

10

(1/s)

1

因此，系统的传递函数为

10

G(s)=

75+10.15+1

图3-9某系统单位阶跃响应曲线

3.3二阶系统的时间响应

3.3.1二阶系统的数学模型

二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。其典型环节是振荡环节。

1.传递函数：

2

3nXo(,

2+2匏户+

32为无阻尼固有频率，4为阻尼比。

2.特征方程特征根：

S1+2ga+69。=0

X,2Tq

jco■.jco

▲[s]J(D▲[s]

“+如/--ALSjf[s]sgja)H

%,2q

M…:;2-%id4Acr►cr

$2.n]—4sjco

2•-n

0<^<1J=14>14=0

阻尼比与极点的关系

」且尼比极点极点特征

两个不同的实数

4>14,§2=3%土叫1铲T

椭

两个相同的实数极

日4,邑二一弧

八占、、

S],*=3①〃±j①〃戊一42两个共轨的复数极

0<^<1

八占、、

位于虚轴上的共

4=。4,$2=±/以

两个共趣的复数极

4<0I，%=3环±MJ1-"

八占、、

3.3.2二阶系统的单位阶跃响应

1①2

X。(s)=X,(s)G(s)=1①〃1

sC+2窕s+0，

nn

1、当自二1时（临界阻尼）

X。（S）=加=13打_

S（S+CDn）SG+69〃）

x。⑺=Z；IX0（S）］=1—①je"

一，

—1-（l+69/）e

单调上升,没有超调。o51015

2、当己＞1时(过阻尼)，

1①乙

X°(s)=________z_____

壬(s—Si)(S—S2)

“⑺=L[X°(s)]

2

二Lrx\1

s(s+〃)(s+b)二」

=2[i+—^―(―七/"+邑产")1L:

s^S2~Sl051015

①21-at-bta=-s,b=-s

=―-[1+___(be-ae)]------------j

帅”b,t"

=1+?।+e)“c(t)

4-4立

3pS2tS】t

=1+—(-----------)J”.

2J.2-]s?§]

曲线上升缓慢，没有超调。0t

指数衰减的振荡，振荡频率为数;

4、当己二0时

无阻尼时瞬态响应是等幅振荡,

振荡频率为即

x0(r)=1一cos①/

⑶负阻尼情况（4<0）

负阻尼（10）状态

□-|<^<（）:输出表达式与欠阻尼状态相同。

□^<-1:输出表达式与过阻尼状态相同。

二阶系统的单位阶跃响应函数的过渡过程随着阻尼的减小，其振

荡特性表现得愈加强烈，但仍为衰减振荡，当占=0时达到等幅振荡.

在J口和鼻1时，二阶系统的过渡过程具有单调上升的特性.从过渡过

程的持续时间来看，在无振荡单调上升的曲线中，以4二1时的过渡过

程时间最短。工程上通常使。0.4〜0.8之间，其超调不大，过渡过程

较短。

极点与阶跃响应的关系

-1-TTtr»T^r

，阻尼出自极点极点在S平面的位置阶跃响应形式

।jwy(Hf

SSk

“1l^2~一4①〃

MX_____0.°

土叱业SiS2

-10—------

Jljsy(n片

邑凡=-g$22

---------------------a--

占1O(?一'

y(/)

4，§2=-gu1jet?■—>—

0<^<1o。

XS20

±j①袅1-"t

j力KO

si:y^/VX/

乒0Sl，$2=±j①nO-b

*s2.

i巾/

邑,s?=一己叫Xx)[\/

jxzX/\t

O-u

共与r

3.3.3二阶系统的单位脉冲响应

2

X(S)=3n

2

°S+2<^CDnS+C£^

w(Z)=sin(必J]-8上

(1)当0〈e〈1时:IK2

,!CO

n

⑵当e=0时：w(Z)=L[1=consin@j

S?+若

(3)当W=1时:-1°2-cot

n

wQ)=L[(2〃2卜?*〃

(S+(on)

(4)当，＞1时：

卬⑺二年—{exp[_(J__1)回力

24T

-exp[-(^+7^2T)@J]}

欠阻尼系统的单位脉冲响应曲线是减幅的正弦振荡曲线，且之愈

小，衰减愈慢，振荡频率愈大。故欠阻尼系统又称为二阶振荡系统，其

幅值衰减的快慢取决于O

单位斜坡响应

X/)

x(f)=f0<<<1

O

图3-11二阶系统的单位斜坡响应曲线

3.4二阶系统时间响应的性能指标

-用以衡量系统瞬态响应的参数，称为性能指标。

­线性系统的性能指标取决于系统本身的特性而与

输入信号的大小无关。

-评价控制系统动态性能的好坏，常以时间域的特

征量来表示的。

■通过单位阶跃响应来评价控制系统的瞬态响应特

征。

3.4二阶系统时间响应的性能指标

1、上升时间:：响应曲线从初态开始，第一次达到输出稳态值

所需的时间。

%（。）=1

当3n一定，Wt->trt；当己一定,3nf-*trI

2、峰值时间tp:响应曲线达到第一个峰值所需的时间。

dx（'）八

口人。=Q

dt

_71_71

*1-铲①d

当⑴n一定，&tftpt;当&一定，3及f(

3、最大超调量Mp：响应曲线上超出稳态值的最大偏离量。

a%=大。＞)二七勺)x100%

4(°°)

a%=exlOO%

Mp只与自有关

丁调整时间ts:响应曲线稳态值附近取稳态值的±5%或±2%作为误差

带，响应曲线达到并不再超出误差带范围，所需要的最小时间。

X。(?)-Xo(OO)

<A-%0(00)(r>ts)

4

取/=0.02有

3

取/=0.05有八七一

5、兼顾各项性能指标

欠阻尼的单位阶跃响应

1）七T-。htp\,ts\—改善快速性

2*t一场（，Gt——减弱振荡性，改善准确性，但影响快速性

3）工程上：-一般取自=0.707为最佳阻尼比。

、Mp均不大，由Mp确定己,再由ts确定G）n。

例3-3图a是一个机械振动系统。当有8.9N的力（阶跃输入）作用于系

统时，系统中质量M所作运动的响应曲线如图b所示，试求出质量m,

粘性阻尼系数C和弹簧刚度系数k。

解:1、系统的微分方程为：由拉氏变换终值定理得：

*«)=吧NG)

mx'+Bx'+kx(t)=FA(J)>00S-。

limxo(t)=lims•X0(s)=lims•G(s)X,(s)

系统的传递函数为：t—>00s->0sf0

18.98.9=0,03

G(s)=X°(s)=X0(s)1=rlims•__________=

2

Xj(s)F(5)ms2+Bs+ks-°ms+Bs+ksk

2、由响应曲线得：k=297N/m

4(oo)=0.03m

单位阶跃力F=8.9N.fF(S)=8.9/S,则

18.9

X(s)=

ms2+Bs+ks

3、由响应曲线得：

0.029

=------xl00%=9.6%C

17p0.032J例m

k297

M=exlOO%m二-r遗”77.3依

p%

4=0.6

C=2Jconm«182Ns/m

1

con-1.96s~

例3-4设单位反馈闭环二阶系统的单位阶跃响应曲线

如图3-18。试确定其开环传递函数。

图3-18二阶系统的单位

阶跃响应曲线

解：由图3-18可见

吃=30%,tp=0.005(s)

查阅图3-14%%与送系曲线，可得

JI

3==3.14=675.3(rad/s)

n

/pj]g20.005J1-0.362

-4-----------------

因为，系统的闭环传递函数为

丫⑸0)2

n

s2+2^co+C01

X⑸nn

单位反馈时的开环传递函数为

G(s)=加

s(s+2g)

675.32456xlO3

s(s+2x0.36x675.3)s(s+486.2)

3.5稳态误差分析与计算

1.稳态误差定义

误差是希望输出与实际输出之差，是系统的准确性指标。

风s)=X”(s)-X°(s)

e⑺二%「⑺一/⑺1|Xor(S)c?⑶

H⑻

稳态误差为误差的终值。+

e二lime⑺

*3J

一G(s)―f-►

t—>co0——X°(s)

H⑸一

1

=lime⑺=limsE(s)=lims•_______________X(s)

tT8SfO5->OH(s)[l+G(s)H(s)]»

3.三种稳态误差的形式

系统的型次:开环传递函数中包含积分环节的数目成为系统的型次。

V二0时为0型系统;V二1时为I型系统;V二2时为H型系统;

依此类推。

(1)单位阶跃输入(稳态位置误差)

111

e=lims•=vhm

sp2。l+G(s)H(s)sxl+G(s)H⑸

1

e

spo=--------(v=0)

1+(K,尸limG(s)”(s)

0(y>l)

⑵单位斜坡输入(稳态速度误差)

e-]l•ims•--------1------1-----=h1m•-----------1---------

亚s-o1+G(s)”(s)s2sfOs+s♦G(s)H(s)

8(v=0)

<ev=-77-0=1)K=limsG(s)H(s)

SKyVS->0

0(v>2)

⑶单位抛物线输入（稳态加速度误差）

e-lims•-----------------L=lim----------i----------

sas-。1+G(S)H(S)/20/+N•G(s)H(s)

000=o,v=l)

1

<e——(i/=2)

soKaKa=l5i-m»052G(s)”(s)

0(v>3)

控制工程基础

——

表3・2稳态误差ess

输入信号

系统类阶跃斜坡加速度

型

R2

x(t)=Rx(t)=Rtx(t)=r

2

R

0型0000

1+K

R

I型000

~K

R

II型00~K

例3・5某一仿形铳床加工一圆形零件，当仿形指的最高速

度为0.5rad/s时，为使误差不大于0・5。(0.00087rad),

欲达到这一要求，系统应为何种类型？其叫应为多少？