第二章导数与微分教案

第二章导数与微分

知识点:

'导数的定义

导数的概念^导数的几何意义

函数可导与连续的关系

'导数的基本公式

导数的四则运算法则

复合函数的导数

导数的运算^

隐函数的导数

取对数法求导

高阶导数

微分［微分的概念及其几何救

［微分的基本公式与运触则

教学目的要求：

(1)理解导数的概念；熟记导数符号；理解导数的几何意义；了解函数可导与连续的关系。

(2)熟记导数的基本公式；掌握导数的四则运算求导法则；掌握复合函数的求导法则；掌

握隐函数与对数法的求导方法；了解高阶导数的概念；掌握高阶导数的求导方法。

(3)理解微分的概念及其几何意义；熟记微分的基本公式与运算法则。

教学重点：

1.导数的概念

2.导数的几何意义

3.导数的基本公式

4.四则运算求导法则

5.复合函数求导法则

6.隐函数的求导法则

7.一阶微分的形式不变性

教学难点：

1.导数的概念

2.复合函数的求导法则

3.隐函数的求导法则

4.微分的形式不变性

第一节导数的概念

【教学内容】两个引例；导数的定义；导数的几何意义；函数可导与连续的关系。

【教学目的】使学生理解导数的定义，掌握导数的几何意义，会求曲线的切线方程与法线

方程，了解函数可导与连续的关系。

【教学重点】1.导数的定义；2.用导数的定义求函数在某点的导数；3.导数的几何意

义。

【教学难点】L导数的定义；2.函数可导与连续的关系。

【教学时数】2学时

【教学进程】

一、两个引例

弓I例1自由落体运动的瞬时速度。

提问：1.自由落体运动的位移公式；2.自由落体运动的瞬时速度公式；3.自由落体

运动的瞬时速度公式的推导过程(适当讨论)。

由学生回答可知自由落体运动的位移公式为s=s(t)=1gt2,由于物体的位移s是

随时间t连续变化的，因此在很短的时间间隔At内(从4到/()+△£)内，速度变化不大，

可以用平均速度可=丝=s(to+.t)-s(t&)作为时的瞬时速度v(t°)的近似值，即

AtAt

1A、212

5(1。+似)5«°)_2以"+)—2短0

As1A2

v(t)=gt+-gAt-

0AtAtAt0

显然，。越小，诃与V«o)越接近，当。无限变小时，平均速度就无限接近4时的瞬

Ay

时速度.由此，令如果平均速度丝的极限存在,

490,就把它定义为物体在时刻t0的

瞬时速度V«o),即

1,

v(t0)=lim(gt0+-gAt-)=gt0

AtfO2

总结规律：对于一般的变速直线运动的瞬时速度可由以下式子求得:

/、「As「s(?o+△,)-S&)

v(r0)=lim——=lim

A?->0At4foA?

引例2平面曲线的切线斜率

提问：1.什么叫做圆的切线？2.一般的平面曲线的切线怎么定义？(适当讨论)

定义设点P是曲线C上的一个定点，在曲线C上另

取一点Q，作割线PQ，当动点Q沿曲线C向点P移动

时，割线PQ绕点P旋转，设其极限位置为PT,则直

线PT称为曲线C在点P的切线.如右图所示.

设曲线C的方程是y=f(x),记点P的横坐标为

x0,点Q的横坐标为Xo+Ax(Ax可正可负)，PR平行x轴，设PQ的倾角为金，则PQ

的斜率为tane=黑显然tan4)=当=f(x。+-)-f(x。)

PRPRAx

当点Q沿曲线C无限趋近于点P时(这时Ax70),。也趋近于PT的倾角a,这时切

线PT的斜率tana=lim—=lim血。+△x)-f(x°)

故一0AxAx

综上两个引例的结论可知，虽然这两个问题所涉及到的背景知识不同，但是它们可以用

相同的方法求得所需结果，由此引出导数的定义。

二、导数的定义

1.导数的定义。

定义设函数y=f(x)在点X。的某邻域内有定义，当自变量x在点X。处有增量Ax(点

x0+Ax仍在该邻域内)时，相应地函数有增量

Ay=f(x0+Ax)-f(x0)

如果极限lim包存在，则称函数y=f(x)在点X。处可导，并称此极限值为函数

△xfoAx

y=f(x)在点x0处的导数.记作f'(x。)，也可记作y'『x。，兴或限即

#,/、rAyf(x0+Ax)-f(x0)

f(x0)=lim二lim--------------

故―°AxAx->0Ax

这时就称函数y=f(x)在点x0的导数存在，或称函数y=f(x)在点x0可导；如果极限

不存在，则称函数y=f(x)在点X。不可导。

2.由导数的定义求函数的导数。

设函数y=f(x),求该函数在x0处的导数的步骤：

•在X。处给定Ax(AxH0)

•求增量Ay=f(x0+Ax)-f(x0)

•算比值包=>。+人)-蜂。)

AxAx

•取极限yl=lim包

।x-xoAx.0Ax

例1已知函数y=x2,求f'⑴。

解在X。=1处给定Ax(Ax力0)

(1)求增量

Ay=f(1+Ax)-f(1)=(1+Ax)2-I2=2Ax+(Ax)2

/、田士Ay2Ax+(Ax)26

(2)算比值」=-------——=2+Ax

AxAx

(3)取极限y'=lim包=lim(2+Ax)=2

Axf0AxAx-0

因此，f'⑴=2

3.几点说明。

1)函数y=f(x)在点x0处的导数也称为函数y=f(x)在点x0处对自变量的变化率。

2)当极限limf(Xo+-x)—f(x°)与11mf(x0+Ax)—f(x0)存在时,分别称它们为

Ax->0-AxAxfO+AX

X。的左导数与右导数，记为fl(x0)与f；(x。)。且f'(x0)存在当且仅当f[(Xo)与f；(x0)都

存在且相等。(利用极限存在的充要条件理解)

3)函数y=f(x)在点X。处的导数f'(Xo),就是导函数f'(x)在点x=Xo处的函数值，

即f'(Xo)=f'(X)|x=x。。(通过例1中改变X。值的改变进行说明)

4)如果函数f(x)在(a,b)内每一点x处可导，则称函数f(x)在区间(a,b)内可导.显

然导数值f'(x)也是x的函数，我们称它为函数y=f(x)的导函数，今后在不会发生混淆的

情况下，也简称导数.记作f'(x),y',曳或由即

dxdx

、f(x+Ax)-f(x)

rf(x)=lim---------------------

故-°Ax

讨论：函数y=x2的导数是什么？(结论：(x2)，=2x)

思考：函数y=xn(n£N+)的导数是什么？(结论：(xny=nxnT)

拓展：函数丫=乂«01£10的导数是什么？(结论：(Xa)'=axaT)

L-1--11

如(Vx)'=(x2)f=-X2=--f=(xT)'=_l-X-2=_\等

22jxX

5)如果函数f(x)在(a,b)内可导，且在a点右导数存在，在b点右导数存在，则称

函数f(x)在闭区间[a,b]上可导。

三、导数的几何意义

由引例2的分析可知导数的几何意义为：函数y=f(X)在点X=X。的导数f'(X。)表示曲

线y=f(x)在点(X。，f(x°))的切线的斜率。因此有

•当函数y=f(x)在点x=x0处可导时，曲线y=f(x)在点(X。，f(x。))的切线方

,

程为y_y()=f(x0)(x-x0)

•曲线y=f(x)在点(x°,f(x0))的法线方程为

、x=Xo，当f'(Xo)=O时

•如果y=f(x)在点X。连续且导数为无穷大，则曲线在点(X。，f(x0))的切线方程

为x=Xo；法线方程为y=yo

例2求曲线y=人在点(1,1)处的切线和法线方程。

解因为y，=(6)，=),所以y[=L.于是曲线y=4在点(1,1)处的切线方

2Vxx-2

程为y_l=；(x_l/|]x_2y+l=0

曲线y=五在点(1,1)处的法线方程为y—1=—2(x—1)即2x+y—3=0

四、可导与连续的关系

定理如果函数y=f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处必连续.

注：如果函数y=f(x)在点X。处连续，f(x)在点x0处未必可导。

*例3证明函数y=|x|在x=0点连续，但不可导。

证明在x=0处，Ay=|O+Ax01=|Ax|,因此limAy=lim|Ax卜0

Ax->0Ax->0

所以函数丫=Ix|在x=0点连续。

又lim包=lim因

△xf°AxAx-。Ax

AyIAxlAx

而lim△=limJ—1=lim——=1

Ax—>0+0/\xAx—>0+0/\xAxf0+0

lim包=lim四=lim3=-1

Ax-»0-0AxAx-»0-0/\xAx—>0-0y\x

因此lim也不存在，所以函数y=|x|在x=0点不可导。

△x-oAx”

注：出现尖点不可导。

本堂课小结：

主要内容：两个引例；导数的定义；导数的几何意义；函数可导与连续的关系。

重点：1.导数的定义；2.用导数的定义求函数在某点的导数；3.导数的几何意义。

难点：1.导数的定义；2.函数可导与连续的关系。

第二节导数的基本公式与运算法则

【教学内容】导数的基本公式；四则运算求导法则；求导法则应用举例。

【教学目的】使学生熟记与理解导数的基本公式与四则运算求导法则并能熟练应用。

【教学重点】1.导数的基本公式；2.四则运算求导法则。

【教学难点】公式的应用。

【教学时数】2学时

【教学进程】

一、导数的基本公式

提问：1.导数可以由哪一个极限式子表示?

2.根据导数的定义求函数的导数有哪几步？

3.导函数与函数在某点导数之间有什么关系？

例1求函数y=logqx（a＞。且〃w1）的导数。

1x+Ax

log,--------

解)/二lim包=limlog(x+Ax)-logX

fla=lim-----------

Arf0Ax->0AxAx

1AAI

「I1X+Ar「1—

=lim——k)g〃---------=limlog(1+——产

-Axx-x

AxAl1,1

严％

=logalim(Id------=-logae=

Arf0XXxlna

1

由此得到（log.%）'=

xlna

特别（Inx）r=—

x

1.罗列导数基本公式。

C=0（。为任意常数）;(xa)f=axa-l(。为实数);

(〃")'=a"Ina(a>O,awl),特别：(e')'=e'；

f

(logflx)=--—(Q>0,Q，1),特别：(lnx)'='；

xlnax

(sinx)'=cosx；(cosx)'=-sinx；

(tan%)'=-------=sec2x(cotx)r=————=-esc2x

cosxsinx

*(sec%)'=seextanx*(esex)'=-cscxcotx

1

(arcsinx)'=/一(arccosx)'=-

(arctanx)'=------(arccotx)'=---------

1+x~1+x

注：要求学生默记约5分钟。

2.分析部分基本公式特征。

课堂练习：

在下列空格处填上适当的函数使等式成立:

1)»'二;（答案：0）

2)(4)'=；（答案：」尸）

3)(@=；（答案：0）

4)(lnx/=；（答案：一）

X

5)(ln2)'=；（答案：0）

2

6)(―)r=；（答案：T）

XX

7)((%)-o

（答案：—（二）入山2）

二、导数的四则运算法则

定理设函数"="«）与y="（x）在点工处可导，则它们的和（差）函数"（龙）士贝龙）在

X处也可导，且N(x)土v(x)]'=〃'(％)土v'(x).也就是说：两个可导函数代数和的导数等

于各个函数导数的代数和。

推广有限个可导函数代数和的导数等于和个函数导数的代数和，即

[%(X)±“2(九)±…±〃及(X)]'=M(九)±%(%)±…±%(%)

例2已知/(x)=x2+sinx,求「(X)。

解尸(%)=(x2+sin%)'=(/y+(sin%y=2x+cosx

例3已知/(%)=e*—arctan%，求尸(无)及已(0)。

解fr(x)=(ex-arctanx)f=(ex)f-(arctanx)'=ex---r-

1+x

尸(0)=e。-一二=1—1=0

1+02

定理设函数〃="(%)与v=v(x)在点X处可导，则它们的积函数讥(x),v(x)在X处也

可导,且[〃(%»(%)]'=/(x)v(x)+〃(x)v'(%)o

此结论也可以推广到有限个函数的积的情形.如推广到三个函数乘积的情况为

[u(x)v(x)w(x)]f=uf(x)v(x)w(x)+u(x)vf(x)w(x)+〃(x)v(x)M(x)

推论(Cw(x))r=Cu\x)(C为常数).

例4已知yu/ln%,求y'。

2

解y'=(%21nxy=(九之)'in%+%20n%)，=2%Inx+x—=2xlnx+xo

x

例5已知y=arctanx,求y'.

解y'=(Vxarctanx)r=(Vx)rarctanx+Vx(arctanx)r=近。吧x+«

'2Vx1+x2

例6已知y=3e“一xtan%+后，求y'。

解V=3(ex)f-(x)rtanx-x(tanx)'+(V2)r=3ex-tanx-xsec2x

定理设函数M="(x)与v=v(x)在点X处可导，且v(x)wO,则它们的商函数四

V(x)

，

在X处也可导，且⑴S

^v(x))V(X)

'1、-M(x)

推论v(x)w0o

v2(x)

2~「心Inx,

例7已知y-----，求y。

x

x--\nx

x(lnx)'-(x)'lnx1-lnx

解''=X

例8设、=1211%,求y'。

痴，,(sinx)(sinx)rcosx-sinx(cosx)r

解y~-2

<COSX)COSX

cosxcosx+sinxsinx12

=-----------5---------=---；—=SeCX°

COSXCOSX

即(tanx)r=一一=sec2x

cosx

例9设丁=5%%,求V。

(i)-(cosx)一(一sinx)

解y'=(sec%)'=-----=----2——=-----2——=tanxsecx

^cosx)cosXCOSX

即(sec%)'=secxtanx

1+sinx

例10求>=的导数。

1-sinx

1+sinxcosx(l-sin%)—(1+sinx)(-cosx)2cosx

解了二

1-sinx(1-sinx)2(1-sinx)2

例11求丁=-------5%arcsinx的导数。

1-x

解V'=----5arcsinx-5x•/1=---~-5x

-5carcsinx—/

(If71^(1-尤)

例12求y=，2«+5的导数。

X

_3

解因为y=/一2%万+5%T,所以y'=2x+%5—5%一2

­22

7sinx-cosx

例13求y=x-----；-----------的导数。

sinxcosx

•22

cosx

解因为y=27工-smx_,所以y'=（2e）xInZe-sec?x-csc?x

sinxcosx

说明：四则运算的求导法则除了直接应用公式外，有时需要将表达适当变形后再应用公式。

课堂练习：

1.推导公式（cotx），=---\—=-CSC2X与（CSCX），=-cscxcotxo

sinx

2.求下列函数的导数：

y=x3]nx（答案：y'=3x2Inx+x2)

y=2Xcotx（答案：y'=2'In2•cotx-2Xesc2x)

y=J?cosxlnx（答案:：y'=3%2cosxlnx-x3sinxlnx+x2cos%)

sinx,xcosx-sinx、

y一（答案:；＞-2)

XX

1-x2,4x

（答案

)一T7-y-2、2)

1+x(1+x2)2

本堂课小结：

主要内容：导数的基本公式；四则运算的求导法则。

重点：1.导数的基本公式；2.四则运算的求导法则及其应用。

难点：1.四则运算求法则的应用

作业：

第三节复合函数与隐函数的求导法则

【教学内容】复合函数的求导法则；隐函数的求导法则；对数法求导。

【教学目的】使学生掌握复合函数与隐函数的求导法则，会熟练地求复合函数与隐函数的

导数，会用对数法求导。

【教学重点】1.复合函数的求导法则；2.隐函数求导法则。

【教学难点】L复合函数的求导法则；2.隐函数求导法则。

【教学时数】3学时

【教学进程】

一、复合函数的求导法则

引入：

引例1设丁=51112X，求y'。

解法一y'=(sin2x)'=(2sinxcosx)'=2(sin'xcos尤+sin尤cos'x)

=2(cos2x-sin2x)=2cos2x

解法二y=sin2x可看作是由y=sint/与”=2x构成的复合函数。(通过提问写出复合

函数的分解)因此y'x=y'u-u'x=(sina)'"(2x)'=COSH-2=2cos2x

引例2设y=(3x—1尸，求了。

解法一y=［(3x-Ip丫=(9x2-6x+1)'=18x—6

解法二y=(3x—1尸可看作是由＞=/与〃=3x—1构成的复合函数。(通过提问写

出复合函数的分解)因此乂=*"=(r)'(3%—l)'=6〃=6(3x—1)=18%—6

分析：上面两个引例虽然所求导数的函数不同，但他们具有共同点。解法一是应用我们

已学的四则运算求导法则，而解法二是通过复合函数分解以后进行求导，并且两个解法的结

果是相同的，由此我们联想是否复合函数都可以用解法二的方法进行求导。我们的回答是肯

定的，下面给出复合函数求导法则。

定理设函数y=/［。(工力由丁二/(〃)与〃=9(x)复合而成，如果函数〃=9(x)在点

x处可导，函数y=/(〃)在对应点M处可导，则复合函数y=〃9(x)］点x处可导，且

dydydu„,,,

—1=1------1-或”=XV,UX

axauax

即：复合函数关于自变量的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的

导数，该法则可以推广到有多个中间变量的情形.例如：y=f(u),u=夕⑺，v=。(劝

均是可导函数，则复合函数y=/｛例。(切｝可导，且包=包.也.包

dxdudvdx

例1设y=lncosx,求心。

dx

解y=lncosx可看作是由y=ln"与〃=cos%构成的复合函数。因此

—=—•—=(In》y(cos%y=—(-sinx)=一必些=_tanx

dxdudxucosx

例2设y=Vl—x2,求—o

dx

解,=Jl—，可看作是由y=4与M=1-％2构成的复合函数。因此

学=g?=(丽，(1一/)，=；.(3)=--

axauax2\uy/1-x2

注：如果计算熟练，可以不设中间变量，直接求复合函数的导数，如例2的另一种解

法，以后复合函数求导我们常用下面的方法。

另解金二立三（I”"二言"一"?

课堂练习:

1.y=cos2x(答案：/=-2sin2x)

(答案：y'=-esc2M。5)

c1x

3.y=Intan—(答案：y=cscx)

2

4.y=sin3(2x-l)(答案：V=6sin2(2x-1)cos(2x-1))

例3求函数y=产皿/+/的导数。

解y'=[esin%21+[/]，=[y成》],

sinx22rsinx222r2

=e(sinx)=ecosx-(x)=2%cosxo

例4=tan2x+arccoty/1-x,求y'。

解y'=(tan2x+arccotJl-xY=(tan2%)'+(arccotJl-％)'

=2tanx(tanx)r--------J——(Jl-x)’

]+(Vl=%)?

211..

=2tan%secx-------------/•(l一％)

2-x271^

_2A

=2tanxsecx+----------.

2(2-x)“二x

课堂练习：

I.=sin3x-cos4x(答案：y'=3sin2xcosx+4sin4x)

2.y=e~3xtan2x(答案：y'=—3e-3xtan2%+2e-3*sec22%)

2

3.y=ln(x+7x-I)(答案：J7'=i)

二、隐函数的导数

1.隐函数的概念。

通过图象分析表达式丁=匹丁与/+y2=9(y20)中X与y的对应关系，可以

看出y都是关于X的相同函数，但表现的形式不同。

把因变量y写成自变量x的显式表达式y=/(%),这样的函数称作显函数。

把一个由二元方程F(x,y)=0所确定的函数y=/(x)称为隐函数。

2.介绍隐函数的求导法则的原因

•不是任何隐函数都可以转化为显函数

•有些隐函数转化为显函数后求导反而更复杂

•有些显函数转化为隐函数后求导更简捷

3.隐函数的求导法则

把由F(x,y)=0所确定的隐函数y=/(x)代入原方程，得到恒等式F(x,y(x))三0

在等式两端对x求导，把其中的y看作中间变量，运用复合函数求导法，得到一个含了的

方程，解出了，即为所求隐函数y的导数。

例5求由方程必+/=9(丁20)所确定的隐函数,=丁(%)的导数了。

解对方程必+产=9两端同时关于了求导，得2x+2»'=0

于是得y'=-土

y

例6求由方程ey-xy+ex=0所确定的隐函数y的导数了。

解对方程6了一vy+e，=0两端同时关于x求导，得

y—ey

eyy-y-xyf^-ex=0于是得；/=匚^

ey-x

例7求曲线=3孙在点(1,一1)处的切线方程。

解对方程=3盯两端同时工关于求导，得

3/+12力'=3〉+3姗于是得)/=^^4

・x-^y~

,I2-(-1)2

因而切线的斜率为左切=丁［(-1)=：I=-4

J.一4一17。

2

所以切线方程为y+l=—§-（x—1）即2x+3y+l=0

课堂练习：

求下列隐函数的导数：

1.siny+cosx=l（答案：y'=）

cosy

2.ey+xy-e-G（答案：y'=----------）

x+ey

3.y=ln（x+y）（答案：y'=--------）

x+y-1

*三、取对数求导法

由于有些显函数直接求导比较复杂甚至无法用显函数的求导方法，我们可以对其两边

取对数转化为隐函数后再求导。为了求导方便一般采用自然对数。

例8设丁=一，求y'。

解先对y=x*两端同时取自然对数，得lny=xlnx

两端同时对X求导，得=+%•4

于是得y'-y(l+Inx)=(1+Inx)

Iny=§ln(x+l)-jln(jc-l)_§ln(%+2).

两端同时对％求导，得

1,211

---y=-----------------------------------------

>3(%+1)3(%—1)3(%+2)

即

r211

y=y----------------------------------------

“3(x+l)3(^-1)3(%+2)

(X+l)22__________1__________1

(x—l)(x+2)3(x+l)―3(1)—3(x+2)

思考：具有什么特征的显函数用取对数法求导较方便?

本堂课小结：

主要内容：复合函数的求导法则；隐函数的求导法则；对数法求导。

重点：1.复合函数的求导法则；2.隐函数求导法则。

难点：1.复合函数的求导法则；2.隐函数求导法则。

作业：

第四节高阶导数

【教学内容】高阶导数的概念、表示符号及其求法。

【教学目的】使学生理解高阶导数的概念，掌握高阶导数的表示符号及其求法。

【教学重点】高阶导数的求法。

【教学难点】1.”阶导数的求法；2.隐函数的高阶导数。

【教学时数】0.5学时

【教学进程】

一、高阶导数的概念

讨论：在变速直线运动中已知物体的位移函数s«),怎样求物体的加速度?

经讨论后得出结论求加速度可以对5(0求两次导数得到o象这样的问题在实际中会经常

遇到，需要多次对一个函数求导数，我们把连续两次或两次以上对某一个函数求导数，所得

的结果，称为这个函数的高阶导数。

如果函数y=/(%)的导数y'=尸(x)仍是x的可导函数，则称f'(x)的导数为/(%)的

二阶导数，记作：/"(%),吗或学

dxax

类似地，可以定义函数y=/(%)的三阶，四阶，…，孔阶导数，它们分别记作：

y”，y(4),…，y⑺或&¥，W，…，R等等。二阶及二阶以上的导数统称为高阶

dxdxdx

导数。

二、高阶导数的求法

对函数y=/(x)求高阶导数，只需用前面学过的求导方法，对函数多次接连地求导，

即得所求高阶导数。

例1设函数y=4x?+6x-2,求y"。

解V=(4x2+6x-2)，=8x+6；

y"=(8x+6)'=8.

例2设函数丁="—/,求y'"(0)。

解y'=/一3/；>〃="—6x；ym=ex-6；

所以，y〃(O)=l—6=—5。

*例3设丁=%",求y⑺(〃为正整数).

解V=(%")'=〃x"T；

=仆-1)尸；

ym=(n(«-l)x~2y=〃(n-l)(n-2)x,!-3；

由此推得，y（〃）=M。

d〃v

*例4设丁=$山无，求----o

dxn

解@二(sin%)'二cosx=sin(x+—)；

dx2

-[sin(x+—)]Z=cos(x+—)=sin(x+-)；

dx222

d3y.27rIn.3兀、

d3—[sin(xH——)]=cos(%H——)=sin(xH——)；

由此推得，《2=sin（x+竺）.

dxn2

22

*例5求由方程二+==1所确定的隐函数y的二阶导数y〃o

ab

解对方程=+A=1两边同时X求导，得与+莘=0

a1b-a2b2

b2x

于是得y=-

a2y

对上式的两端同时关于x求导，得

〃—a2b2y-a2b2xy'

将了=—竺代入，得

ay

b2b2(a2y2+b2x2)

y"

22

因为j+二=1,将a2y2+32/=“2^2代入，得

a2b2

说明：

求隐函数的二阶导数，只需要在用隐函数求导方法求出隐函数的一阶导数y'后，继续

用隐函数求导方法对x求导即可，此时需注意y与V都是尤的函数.

本堂课小结：

主要内容：高阶导数的概念、表示符号及其求法。

重点：高阶导数的求法。

难点：1.〃阶导数的求法；2.隐函数的高阶导数。

作业：

第五节函数的微分

【教学内容】微分的概念；微分的几何意义；可导与可微的关系；微分的基本公式与运算

法则；一阶函数微分的形式不变性。

【教学目的】使学生理解函数微分的概念及其几何意义，了解函数可导与可微之间的关系，

掌握微分的基本公式与运算法则，理解一阶函数微分的形式不变性。

【教学重点】1.微分的概念；2.微分的基本公式与运算法则；3.一阶函数微分的形式

不变性。

【教学难点】1.微分的概念；2.可导与可微的关系；3.一阶函数微分的形式不变性。

【教学时数】2学时

【教学进程】

一、微分的概念及其几何意义

1.微分的概念

引例一个正方形金属薄片受热膨胀，其边长由X。变到x0+Ax(如图所示)，面积S

22

相应地有一个改变量AS=(x0+Ax)一x；=2x0Ax+(Ax)

分析：AS含有两项，第一项2x°Ax是Ax的线性函

数(图中斜线部分)，第二项(Ax)?是当Ax->0时比Ax

高阶的无穷小量.因此,当Ax很小时，面积S的改变量AS

可以近似地用2x0Ax来代替。

一般地，对于函数y=f(x),当自变量x在X。有一

个改变量Ax时，函数相应的改变量为:

Ay=f(x0+Ax)-f(x0)

如果Ay可以表示成两部分：第一部分A-Ax是Ax的线性函数(A与Ax无关)，第二部分

o(Ax)是Ax的高阶无穷小；当Axf0时，我们将函数增量Ay的线性主部定义为函数的

微分。

定义设函数y=f(x)在某区间内有定义，X。及x0+Ax均在这区间内，如果函数

f(x)在点x0处的增量Ay=f(x0+Ax)—f(Xo)可以表示为Ay=A-Ax+o(Ax)其中A

与Ax无关，o(Ax)是Ax的高阶无穷小，则称函数y=f(x)在点x()处是可微的，称A-Ax

为函数y=f(x)在X。处的微分，记作dy|x=x°，即dy，x。=A-AX

说明：

1)如果y=f(x)在点X。处可微，则有Ay=A-Ax+o(Ax),

于是"=A+*D,所以

AxAx

I、1.Ay「人o(Ax)~|.

f(x)=lim=rlimAd-----二A

n△xf0AxAx-oAx

f

即函数y=f(x)在点x0处可导,且人=尸=0),dyx=x。=f(x0)Axo

2)在y=x中，曳三1；因此对于任何x,这个函数x的微分是Ax,所以函数x的

dx

增量与微分相等，即&=心，因此(1山8=f'(x0)dx,因而有=f'(x°)，因此，

导数我们也称之为微商。

3)如果若函数y=f(x)在点X。处可导，则有lim包=f'(x。)根据极限与无穷小量的

以一。Ax

关系可知AX=f'(Xo)+a(其中a是当Axf0的无穷小量)，于是

Ax

aAx

Ay=fz(x)Ax+aAx,因为lim---=0,则有Ay=A2x+o(Ax),因此函数

"0AxfOAx"

y=f(x)在点x0处可微，且dNx=x。=f'(Xo)Ax=f'(Xo)dx。由1)与3)可得以下定理。

定理如果函数y=f(x)在点X。处可微，则函数y=f(x)在点x0处可导，且

A=f'(x0)；反之，如果若函数y=f(x)在点X。处可导，则y=f(x)在点X。处可微.

例1求函数y=x2在x=3处的微分.

f

解由y'=2x,y|x=3=2-3=6,Mdy|x=3=6dx,«

4)由微分的概念可知Ay“dy[f。(此关系是微分用于近似计算的根据)

5)如果函数y=f(x)在某区间内每一点都可微，则称f(x)是该区间内的可微函数。

函数f(x)在任意点X的微分记为dy或df(x).即dy=f'(x)dx。

例2设函数y=sinx,求dy、dyl与dyk=7r。

解dy=y'dx=cosxdx；

dy|7t=cosjudx=-dx；

xX-=2

dy|x=n=-0.1o

1Ax=0.1

例3求函数y=世、的微分dy。

解dy=y'dx=(xex)'dx=(ex+xex)dx=(1+x)exdx.

2.微分的几何意义

在函数y=f(x)的图象上取两点P(x0,y0)与

P'(x°+Ax,y0+Ay)(如右图所示),并分别过点P与点

P'作平行与X轴与y轴的直线，它们相交于Q；从图中可以得到，PQ=Ax,QP'=Ay；

再过点P作曲线的切线PT与PQ交于R,设PT的倾角为a,则

QR=PQtana=f^xJAx=dy|x=x()

f

所以函数y=f(x)在点x0的微分dy=f(x0)dx的几何意义是曲线y=f(x)在点处切线

P(x0,yo)纵坐标的改变量。

(讲授方法：边提问，边作图，边分析)

二、微分的基本公式与运算法则

根据函数的导数与微分之间的关系，我们可以得到微分的基本公式与运算法则.

1.基本初等函数的微分公式

dC=O(C为常数)；

d(xa)=axa-1dx(a为实数)；

d(ax)=axInadx,特另Ud©)=e'dx；

d(bgaX)\dx(a>0,awl),特别d(lnx)二^dx；

x

d(sinx)=cosxdx；d(cosx)=-sinxdx；

d(tanx)=sec2xdx；d(cotx)=-esc2xdx；

*d(secx)=secxtanxdx；*d(cscx)=-cscxcotxdx；

d(arcsinx)=,dx；d(arccosx)=——.dx；

Vl-X2-x2

d(arctanx)=-rdx；d(arccotx)=-----：-dx。

1+x1+