高一数学下学期知识点汇编

高一下数学知识点总结及练习

一、解三角形

（一）正弦定理：J=-'=2R（其中R表示三角形的外接

sinAsinBsinC

圆半径）

适用情况：（1）已知两角和一边，求其他边或其他角；

（2）已知两边和对角，求其他边或其他角。

变形：①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

②sinA=-"sinB=",sinC

2R2R2R

_____a+.+c=2R

sinA+sinB+sinC

（4）a:6:c=sinA:sinB:sinC

（二）余弦定理：b2=a2+c2-2accosB（求边）

c2b2

cosB=^-（求角）

lac

适用情况：（1）已知三边，求角；

（2）已知两边和一角，求其他边或其他角。

（三）三角形的面积：

S-—a.,ha=♦♦.；

2

（2）S=：besinA=...•

乙

③S=2R2sinAsinBsinC;

④5=-abc;

4R

⑤S=p（p-a）（p-b）（p-c）;

⑥s=pr（其中p=a+'+c,r为内切圆半径）

2

〃+--c斜

（四）三角形内切圆的半径：r=」SA，特别地,一直=

a+b+c2

（五）^ABC射影定理：方=ecosC+c・cosA,…

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(六)三角边角关系：

(1)在AA8C中，A+B+C=n；

sin(A+B)=sinC;

cos(a+/?)=-cosc

・A+BC

sm------=cos-

22

A+8,c

cos------=sm-

22

(2)边关系：a+b>c,b+c>a,c+a>b,a—b<c,b—c

<a,c—a>b；

(3)大边对大角：a>boA>B

考点剖析：

(-)考查正弦定理与余弦定理的混合使用

例在1QABC中，已知A>B>C,且A=2C,b=4,a+c=8,求a、c

的长.

例1、解：由正弦定理，得-"=-C

sinAsinC

・・cac

•a=2c.•一=-

sin2CsinC

/.a=2ccosC又〃+c=8cocC=~~~①

2c

由余弦定理，得c2=a2+b2_2abcosC②

=4c2cos2C+16-16cos2C

入②，得或Jc=4(舍).％=丝，c=4

,a=24[a=455

5

变式1、在AABC中，角A、B、C对边分别为S,c,已知

222

b=ac,且a-c=ac-bc9

(1)求NA的大小；

(2)求运逑的值

c

变式1、解(1)b2=ac,a2-c2=ac-bc.b1+c1-a1=be

在AABC中，由余弦定理得

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,bi+C2-aibe1

cosA=—=-=,・・NA=60()

2bc2bc2

(2)在^ABC中，由正弦定理得sin3=妙n60。

a

2

，2・bsinBftsin60°3

/b=ac9ZA=60°--=—=sin60°=■

cca2

变式2、在AABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为〃、b、c

口”5.16

且sin4=•,sinB--

510

(I)求A+5的值；

(II)若a-b=2-1,求a、8、c的值。

、、.-4in

变式2、解(I),「A、B为锐角，sinA=-5，sinB=I。

.'~.2"5,—310”

••cosA=4-sin2A=•,cosB=~1—sin?B="

510

(•«•..(■••

,,An.一n2-53105-102“

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=-x---x-=-.

5105102

,/0<A+B<n

A+B=71

4

(II)由(I)知C=初，sinC=•2

42

由-〃=-'=J得15a=.'W=：2c,

sinAsinBsinC

即Q=2〃,c=5b

又「a-b=2-1

/.-2b-b=2-1：.b=\

a=29C=5

(二)考查正弦定理与余弦定理在向量与面积上的运用

例2、如图，半圆O的直径为2,A为直径延长线上的一点，OA=2,

B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC。问：点B在

什么位置时，四边形OACB面积最大？

例2、解：设乙4O6=a,在aAOB中，由余弦定理得:

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AB2=OA2+。"-2xOAxOBcosZAOB

=l2+22-2xlx2xcosa=5-4cosa

于是，四边形0AC8的面积为

j-3

S=S牟AOB-qABC=AB2

24

13/

=-x2xlxsina+-(5-4cosa)

24

=sina-•3cosa+—=2sin(a-—

434

因为0<a<7i,所以当a』=•九，a=§冗，

326

即ZAOB=^时，四边形OACB面积最大.

6

变式2、已知向量江=(a+c,b),〃力-a),且m•於=0,其中A,B,C

是AABC的内角，a,A,c分别是角A,5,C的对边.

(1)求角C的大小；

(2)求sinA+sin8的取值范围.

变式2、解:(1)由方.7=0得(〃+c)(a-c)+/?S-〃)=0=>〃2+/?2-C2

由余弦定理得cosC0bLa="=」

lablab2

,/0<C<7ic=K

3

(2)：cJ：.A+B=^n

33

..2兀2兀2兀

sinA+sinB=sinA+sin(-A)=sinA+sin・cosA-cos—smA

333

33**

=•sinA+・cosA=“3(-3sinA+」cosA)

=-&sin(A?)

冗

2n5K5TU

V0<A<..A+.<.

3

•・..・36v”32n(A+)<-3

6

.•即<3n(A+7c)41-~

1626

<sinA+sinB^3.

2

(三)考查三角形形状的判断

例在3QABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=acosC,且

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△ABC的最大边长为12,最小角的正弦值为1。

3

(1)判断^ABC的形状；

(2)求aABC的面积。

例3、解：(1)b=acosC,由正弦定理得sinB=sinAcosC(1)

vB=n-(A+C)

sinB=sin(A+C),从而(1)式变为sin(A+C)=sinAcosC,

...cosAsinC=0,又A,Ce(o,K).\cosA=0,A=K,

2

2ABC是直角三角形。

(2)•.•△ABC的最大边长为12,由(1)知斜边°=12,又

ABC最小角的正弦值为1,.\RfABC的最短直角边为

3

12x1=4,另一条直角边为82

3

/.△ABC=1x4x&>2=162

2

变式在3QABC中，若sinA+sinb=siiiacosA+cos3).

(1)判断AABC的形状；

(2)在上述aABC中，若角C的对边c=i,求该三角形内切圆半径的

取值范围。

变式3、解：(1)由sinA+sin5=sinC(cosA+cos8)

可得2sin2-=iAcosC=0即C=90°

2

..△ABC是以C为直角顶点得直角三角形

(2)内切圆半径/-4〃+5一)

2

二」(sinA+sinB-1)

2

二：2sinfx+^K1412-1

2I2

内切圆半径的取值港南是〉&2-1

2

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二、数列

知识点一：通项或与前n项和S*的关系

任意数列｛aJ的前n项和£*=/+%+--+/；

_45=1)

(«>2)

注意：由前n项和号求数列通项时，要分三步进行：

(1)求为=风，

(2)求出当n22时的许，

(3)如果令*2时得出的即中的n=l时有a1=s［成立，贝！］最后

的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式.

知识点二：常见的由递推关系求数列通项的方法

1.叠加累加法：

若=冷,5之2),

则叼-⑵，a3-a2=f(3),...»an-anA=/(«)

=>ax-a1=/(2)+/(3)+...+/(«)

2.叠乘累乘法：

若"=g⑸，

—

则”=g⑵，—=g(3),3-=g5)

ala2%

=>—=g(2)g(3)...g(»)

%

知识点三：数列应用问题

1.数列应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要

内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利

率(复利)以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.

2.建立数学模型的一般方法步骤.

①认真审题，准确理解题意，达到如下要求：

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⑴明确问题属于哪类应用问题；

⑵弄清题目中的主要已知事项；

（3）明确所求的结论是什么.

②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量

或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学

式子表达.

③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意

列出满足题意的数学关系式（如函数关系、方程、不等式）.

规律方法：

1.由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要

思想；

2.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.

如通项公式、前n项和公式等.

3.加强数列知识与函数、不等式、方程、对数、立体几何、三角

等内容的综合.解决这些问题要注意：

（1）通过知识间的相互转化，更好地掌握数学中的转化思想；

（2）通过解数列与其他知识的综合问题，培养分析问题和解决

问题的综合能力.

经典例题：

类型一：叠加法求数列通项公式

1.在数列｛/｝中，/=-1,%+i=a*+2万，求乐.

总结升华：

1.在数列4｝中，%+「*=/伽），若/⑸为常数，则数列是等

差数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是

等差数列.

2.当数列的递推公式是形如原“=4+/伽）的解析式，而

〃1）+/⑵+…/（%）的和是可求的，则可用多式累（迭）加法得出.

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举一反三：

【变式1】已知数列faJ,=2,%+i=%+3«+2,求斯.

【变式2】数列口）中公=1,―-4=2",求通项公式a*.

类型二：叠乘法求数列通项公式

2.设是首项为1的正项数列，且

求它的通项公式的.

总结升华：

1.在数列⑸｝中，％=〃吟见』，若/⑺为常数且a#0,贝！）数歹U

（aJ是等比数列；若了⑺不是一个常数，而是关于〃的式子，则数列（即）

不是等比数列.

2.若数列有形如%=/伽）4_］的解析关系，而“1）/⑵…/㈤的积

是可求的，则可用多式累（迭）乘法求得a..

举一反三：

【变式1】在数列｛%｝中，/=:，%=_1伽22）,求即.

2M+1

【变式2］已知数列⑸）中，，=2,=g（%e葡+）,求通项

a»+1、-a»N

公式a”.

类型三：倒数法求通项公式

3.数列中，%=3,%一怎+1=5%4+1伽6犷），求

总结升华：

1.两边同时除以%%”可使等式左边出现关于/和的相同代

数式的差，右边为一常数，这样把数列4｝的每一项都取倒数，这又

构成一个新的数列%’，而％恰是等差数列.其通项易求，先求怎

的通项，再求的通项.

2.若数列有形如〃％怎“）=°的关系，则可在等式两边同乘

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11

以4%-1,先求出％,再求得时.

%+1=-^-伽6犷）

举一反三：【变式1】数列4）中，叼=1,'/+2,求盘.

【变式2】数列&）中，％=1/*一％+1=2—%+1伽6犷），求鬼.

类型四：待定系数法求通项公式

=2

4.已知数列&｝中，%=1,--铲*+,求明.

总结升华：

1.一般地，对已知数列的项满足的=。，%+i=c%+d（c，d为

常数，"0,1）,则可设1+£=«/+£）得%+i=%+>—,利用已知得

d

以T=d即i,从而将数列d）转化为求等比数列4一。的通项.

第二种方法利用了递推关系式作差，构造新的等比数列.这两种方法

均是常用的方法.

2.若数列有形如怎+广匕％+占（k、b为常数）的线性递推关系,

则可用待定系数法求得即.

举一反三：

=14

【变式1】已知数列4｝中1=5,噎=/+,求久

an

【变式2】已知数列4）满足小=初3,而且旬=】，求这个数

列的通项公式即.

类型五：4和%的递推关系的应用

5.已知数列怎）中，E是它的前n项和，并且心=4%+25=123,…）,

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%=1.

(1)设4=*-2『5=123,…),求证：数列④是等比数列；

(2)设*一>5=123,…)，求证：数列©｝是等差数列；

(3)求数列4｝的通项公式及前n项和.

总结升华：该题是着眼于数列间的相互关系的问题，解题时，要注意

利用题设的已知条件，通过合理转换，将非等差、等比数列转化为等

差、等比数列，求得问题的解决利用等差(比)数列的概念，将已知

关系式进行变形，变形成能做出判断的等差或等比数列，这是数列问

题中的常见策略.

举一反三：【变式1】设数列4｝首项为1,前n项和W满足

3tSs-(21+3)3^=31(1>e.

(1)求证：数列是等比数列；

(2)设数列4｝的公比为处,作数列出｝,使4=1,

b=/(—)(»=2,3,4,-)

k,求间的通项公式.

类型六：数列的应用题

6.在一直线上共插13面小旗，相邻两面间距离为10m,在第一面小

旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小

旗，要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是

多少？

总结升华：本题属等差数列应用问题，应用等差数列前〃项和公式，

在求和后，利用二次函数求最短路程.

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三、一元二次不等式及其解法

一元二次不等式的解集：

二次函数y=ax2+bx+c的图象、一元二次方程ax2+bx+c=0

的根与一元二次不等式ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0的解集的关

系，可归纳为：

判别式4ac△>0△=0△<0

y

2

二次函数y=ax+bx\1

+c(a>0)的图象V

0£

2有两相异实根X有两相同实

一元二次方程ax+bx

=X1或根无实根

+c=O(awO)的根

X=X2X=X1

一元ax2+bx+

{x|x<xi或X>X2}{x|xwxi}R

二次c>0(a>0)

不等2

ax+bx+

式的{X|X1<X<X2}00

c<0(a>0)

解集

若a<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解.

解一元二次不等式应注意的问题：

(1)在解一元二次不等式时，要先把二次项系数化为正数.

(2)二次项系数中含有参数时，参数的符号会影响不等式的解集,

讨论时不要忘记二次项系数为零的情况.

(3)解决一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号.

(4)一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及

相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标相同.

一元二次不等式的解法

［例1］解下列不等式：

(l)0<x2—X—2<4；

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(2)x2—4ax—5a2>0(aw0).

(1)原不等式等价于

X2—x—2>0,X2—X—2>0,

X2—X—2<4X2—X—6<0

X—2x+1>0,x>2或xV—1,

♦O

x—3x+2<0—2<x<3.

借助于数轴，如图所示，

原不等式的解集为x|-2wxv—l,或2VXW3.

⑵由X2—4ax—5a2>0知(x—5a)(x+a)>0.

由于a/0故分a>0与aVO讨论.

当aVO时，xV5a或x>—a；

当a>0时，xV—a或x>5a.

综上，aVO时，解集为x|xV5a,或x>-a；a>0时，解集

为x|x>5a,或xV—a.

1.解一元二次不等式的一般步骤：

(1)对不等式变形，使一端为。且二次项系数大于0,即ax2+bx

+c>0(a>0),ax2+bx+c<0(a>0)；

(2)计算相应的判别式；

(3)当AN0时，求出相应的一元二次方程的根；

(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集.

2.解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解，再对根的大小进

行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要

不重不漏.

1.解下列不等式：

(l)-3x2-2x+8>0；(2)ax2-(a+l)x+l<0(a>0).

解：(1)原不等式可化为3x2+2x—8w0,

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即(3x—4)(x+2)40.

4

解得一2<x<,

3

I-2<x<4

所以原不等式的解集为x|3

(2)原不等式变为(ax—l)(x—l)vO,

1

因为a>0,所以x―a(x—l)〈O.

1

所以当a>1时，解为vxvl；

a

当a=l时，解集为。；

1

当Ovavl时，解为lvxv.

a

解集为。；

综上，当Ovavl时，不等式的解

当

集为x|

a।

当a>l时，不等式的解集

1为xa<x<1

时

不

等

式

的

1<X<1

a；

一元二次不等式恒成立问题

［例2］已知f(x)=x2-2ax+2(a£R),当+8)时,f(x)>a

恒成立，求a的取值范围.

法一：f(x)=(x—a)2+2—a2,此二次函数图象的对称轴为x=a.

①当2£(—8,-1)时，f(X)在［-1,+8)上单调递增，f(X)min

=f(-l)=2a+3.要使f(x)za恒成立，只需f(x)minNa,BP2a+3>a,

解得一3wav-l；

②当a£［—1,+8)时,f(x)min=f(a)=2—a2,i2—a2>a,解

得一1wawl.综上所述，a的取值范围为［-3,1］.

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法二：令g(x)=x2—2ax+2—a,由已知，#x2—2ax+2—a>0^[—

△>0,

1,+8)上恒成立，即A=4a2—4(2—a)40或aV—l,

g—INo.

解得一3wawl.所求a的取值范围是[-3,1].

由题悟法

1.对于二次不等式恒成立问题，恒大于。就是相应的二次函数的图

象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的

图象在给定的区间上全部在x轴下方.

2.一元二次不等式恒成立的条件：

(l)ax2+bx+c>0(aw0)(x£R)恒成立的充要条件是：

a>0且b2—4ac<0.

(2)ax2+bx+cV0(aw0)(xwR)恒成立的充要条件是：

a<0且b2—4ac<0.

以题试法

3.若关于x的不等式x2—ax—a>0的解集为(-8,+oo),则实数a

的取值范围是；若关于x的不等式x2—ax—aw—3的解集不

是空集，则实数a的取值范围是.

解析：由Ai<0,即a2—4(—a)vO,得一4<a<0；

由如之0,即a2—4(3—a)之0,得aW—6或aN2.

答案：(一4,0)(-oo,-6]U[2,4-oo)

一元二次不等式的应用

[例引某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100

8

件.若售价降低x成(1成=10%),售出商品数量就增加x成.要

5

求售价不能低于成本价.

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(1)设该商店一天的营业额为y,试求y与x之间的函数关系式y

=f(x),并写出定义域；

(2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范

围.

x8

X

［自主解答］Q)由题意得y=1001—10」001+50.

因为售价不能低于成本价，

x

所以10()1—10-8020.

所以y=f(x)=20(10-x)(50+8x),定义域为［0,2］.

(2)由题意得20(10-x)(50+8x)N10260,

化简得8x2—30x+13w0.

11।

12

解得］x/.所以*的取值范围是？.

由题悟法

解不等式应用题，一般可按如下四步进行：

(1)认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；

(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系；

(3)解不等式；

(4)回答实际问题.

第15页共21页

三、基本不等式

1.基本不等式：/ab^+b

2

(1)基本不等式成立的条件：a>0,b>0.

(2)等号成立的条件：当且仅当巨=b时取等号.

2.几个重要的不等式

(I)a2+b212ab(a,beR)；

ba

(2)+>2(a,b同号)；

ab

a+b

(3)ab<22(a,beR)；

a+b

22----------

(4)a+b>22(a,beR).

3.算术平均数与几何平均数

设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为a+b「

2,几何平均数为ab,

基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平

均数.

4.利用基本不等式求最值问题

已知x>0,y>0,贝!)

(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时，x+y有最小值是

2.p.(简记：积定和最小)

(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时，xy有最大值是P?

-4.(简

记：和定积最大)

第16页共21页

一个技巧：运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的

逆用，例如a2+bt2ab逆用就是ab482+b2a+b••

2；2>ab(a,b>

a+b

0)逆用就是abv22伯，b>0)等.还要注意"添、拆项"技巧和

公式等号成立的条件等.

两个变形

a+b

22----------

(l)a+b>22>ab(a,bGR,当且仅当a=b时取等号)；

I一?

ma2+b2a+b''-

(21、------->,1(a>0,b>0,当且仅当a=b时

2>2>ab>A+1

ab

取等号).这两个不等式链用处很大，注意掌握它们.

三个注意：

(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、

二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一

不可.

(2)在运用基本不等式时，要特别注意"拆""拼""凑"等技巧，

使其满足基本不等式中"正""定""等"的条件.

(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的

字母取值存在且一致.

利用基本不等式求最值：

11

【例1】(1)已知x>0,y>0,且2x+y=l,贝!j+的最小值为

xy

(2)当x>0时一，则f(x)=^办(1的最大值为-

第17页共21页

11

第(1)问把+-中的"1"代换为"2x+y”，展开后利用基本不等式;

xy

第(2)问把函数式中分子分母同除"X"，再利用基本不等式.

解析(l)\x>0,y>0,且2x+y=L

112x+y2x+y

.•|•__—AI

xyy

=3+丫+弟3+2「2.

X

当且仅当丫=学时，取等号.

X

(2)/x>0,

2

••.f(x)=i奔1=逅丫2=1,

x

1

当且仅当乂=,即X=1时取等号.

X

答案(1)3+2'2(2)1

利用基本不等式证明不等式

【例2】已知a>0,b>0,c>0,求证:力斗饪出2a十b+c.

［审题视点］先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质相加得到.

证明va>0,b>0,c>0,

.•用+蟠2Jgs=2c；

^2巳、■沙=2b；

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caab，引池=2a.

b+4*

becaab

以上三式相加得：2a+b+c>2(a+b+c),

即电斗组曲>a+b+c.

利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思

路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关

定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题.

【例3】若对任意x>0,工土米+iwa恒成立，则a的取值范围是

x

［审题视点］先求——x

x2+3x+l(x>0)的最大值，要使露^+3x+i%(x

>0)恒成立，只要X2+券<+l(x>0)的最大值小于等于a即可.