八年级数学寒假二次根式讲义

第一讲二次根式的认识

模块一

二次根式基本概念

模块二

二次根式的性质

模块三

二次根式的基本运算

模块四

数学广角

【知识背景】

刘徽（约公元225年一295年），汉族，山东滨州邹平县人，魏晋期

间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一。是中国数学史上一个

非常伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是中国最

宝贵的数学遗产。刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观。他

是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。刘徽的一生

是为数学刻苦探求的一生。他虽然地位低下，但人格高尚。他不是沽名钓

誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。

刘徽在数学上的贡献极多，在开方不尽的问题中提出“求徽数”的思

想，这方法与后来求无理根的近似值的方法一致，它不仅是圆周率精确计

算的必要条件，而且促进了十进小数的产生；在线性方程组解法中，他创

造了比直除法更简便的互乘相消法，与现今解法基本一致；并在中国数学

史上第一次提出了“不定方程问题”；他还建立了等差级数前n项和公式；提出并定义了许多数学概念：

如累（面积）；方程（线性方程组）；正负数等等.刘徽还提出了许多公认正确的判断作为证明的前提.他

的大多数推理、证明都合乎逻辑，十分严谨，从而把《九章算术》及他自己提出的解法、公式建立在必然

性的基础之上。虽然刘徽没有写出自成体系的著作，但他注《九章算术》所运用的数学知识，实际上已经

形成了一个独具特色、包括概念和判断、并以数学证明为其联系纽带的理论体系。

【知识要点】

二次根式：形如右（42。）的式子.

二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零（即若&有意义，则。20）

二次根式的性质

l.V«>O（«>O）2.（v«）2=a（a20）3.在=\a\=M?八、

11\-aCa<0）

i

【例题精讲】

类型一二次根式的基本概念

二次根式形如&（a、0）的式子.

二次根式有意义的条件被开方数大于等于零（即若&有意义，则a20）

例1当X取何值时，下列式子有意义?

⑴Q7(2)⑶会⑷，2〃+3⑸一^⑹桐

1—yfx

例2下列各式中：几，卷必诋仄二,其中是二次根式的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

例3下列各式中没有意义的是（）

A.qB.VoC.V2D.7（-O2

例4若代数式J—在实数范围内有意义，则尤的取值范围是（）

A.x>-3B.x>3C.x>3D.x<3

例5要使代数式立过有意义，则x的取值范围是（）

X

A.xw-1B.xwOC.x>0D.x>0

例6若J2x—」+Jl—2x+4在实数范围内有意义,则龙的取值范围是（）

1111

A.冗W—B.x—C.xK—D.x=一

2222

例7使代数式以=+斥右有意义的整数有()

Jx+3

A.5个B.4个C.3个D.2个

2

例8实数a,b在数轴上对应点的位置如下图所示，化简|4+J（a-”的结果是（

A.-2a+bD.b

例9下列各式一定是二次根式的是（）

D--

A.V-^7B.V3mC.73m2+3

Vm

例10下列选项中，是根式有意义的a的取值范围是〃<1的是

A.sja—1B.J1-aC.J（1-a）-

例11下列各式不是二次根式的是（）

22

A.VT6B.J"+ic.y]x+yD.

例12若，幺是二次根式，则a,b应满足的条件是（）

h

A.a,b均为非负数B.a,b同号C.h>0,a>0D.—20

a

【思维探索】

1.当X为何值时，下列各式在实数范围内有意义?

(1)Jx+4(2)y/-x(3)+5)(4)，3-2%

g+Wl(7)叵王(8)叵3

(6)

x+3x

2.在实数0,",、历,-1中，最小的数是—

3.若式子I%是二次根式，则a=

4.若j3+x+J5—x有意义,则x的取值范围是

3

5.下列式子一定是二次根式的是（）.

A.《x2-7B.4x~+7C.Jx+7D.-Jx—7

6,下列下列各式中：后T,叱,荷+3,正一+2》+1一定是二次根式的

有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

7.已知J7T5是二次根式，则1的值可以是（）

A.-8B.-7C.-6D.-5

2

8.代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

y/x~\

A.x<1B.x<1C.x>1D.x>1

如果代数式如+-71=有意义，则点A（x,>）的位置可能是（

9.

J—2x

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

10.已知a,b是等腰三角形的两条边长，且a,b满足匕="4+岳二^+4,求此三角

形的周长.

类型二，二次根式的性质

7（心0）

①G'O（a20）②（&y=a（a，0）③（必考）V?=同=«

-a（。<0）

例1计算:

7^7=痴-母=正—2JC+1=

4

例2⑴己知数a、b、c在数轴上的位置如图所示：

化简：行-|a+c|+J^二城-HI的结果为ca0b

⑵已知Ovavl,化简

⑶化简74A:2-12x+9-(Vl-2x)2得()

A.2B.-4x-4C.-2D.4x-4

(4)^|a-2|+V/?-3+(c-4)2=0>则a-方+c=.

(5)已知实数x、y满足|x-4|+，户=0,则以x、y的值为两边长的等腰三角形的

周长是()

A.20或16B.20C.16D.以上答案均不对

例3若a、b为实数，且|a-l|+Jab-2=0,

求标+(4+1肪+1)+(a+2)(>+2)+(〃+3后+3)+.......+(a+201砥-+201力的值

类型三A二次根式的基本运算

乘法

与积的算术平方根可互相转化：\[a-\[b=\fab(aO,b0)

除法与商的算术平方根可互相转化：境韦(a》Q,h>0)

最简二次根式①被开方数不含分母

②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

同类二次根式被开方数相同的两个最简二次根式.

加减法先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式

混合运算有理式中的运算顺序，运算律和乘法公式等仍然适用

乘法公式的推广

①".疯•向M=a,,®2。,』》。,M"'O)

②(石土G)=a+h±2\[ah+\[b^\fa-\fb^=a-b

5

例1计算：

(2)^1x727

⑴夜⑶瓜X币

⑷卑⑸崂

例2计算下列各式：

(2)2712X^-572

(1)3亚X2回(3)痛+3

4

<(a>0,b>0)

(4)(5)^-y[ahx

⑺J12孙+|4

(6)3

例3判断下列各式是不是最简二次根式，若是，请打J,若不是，请化为最简二次根式.

V12V20x/24V48VL2

娓瓜岳^/500

判断

及化

简

⑵若最简二次根式248-3〃与-3aj2o-2是同类二次根式，则a的值是

⑶若最简二次根式，x+y+1与13x-），+1是同类二次根式,则尤-y=

6

【思维探索】

1.⑴把下列各式中根号外的因式移入根号内

273，.-3垃.，-10N/0J，.

⑵把下列各式中根号外的因式移入根号内：

①旧②("T后

2.计算下列各式

-2

⑴杼旧炳⑵(V10+\/2—5/5)**—(A/10-\[2+5/5)'

7

【数学广角】

(2)已知％=J4-J10+2e，/=也