高中数学导数导学案,导数及其应用导学案

第13讲变化率与导数、导数的运算

课前双基巩固

一以嬴薇□识蔚苗赢一

知识聚焦:

1.变化率与导数

（1）平均变化率:

对于函数（x）,—'⑶叫作函数y=久心从小到热的

概念X2』X-

变化率

几何意函数y=f^x）图像上两点（小，/'（W）,（四f（加）连线

义的________

物理意若函数y=fB表示变速运动的质点的运动方程,则T就是该

义质点在[为,对上的速度

⑵导数：

我们称它为函数y=F（x）在

点X0

处的导数，记为f'（x。）或y'lx=x。，即

处

f(x0+x)-f(xo)

概念f'（茄）=

X-*OX

区间当xc（a"）时,/i------------叫作函数在区

（a，》间（a,6）内的导数

函数y=F（*）在点x=x0处的导数6（加就是函数图像在该点处切线

几何

的.曲线y=f[x）在点（旗,人扬））处的切线方程

意义

是__________________

函数y=Hx）表示变速运动的质点的运动方程，则函数在了气）处的导数就是

物理

质点在*=*。时的速度，在（a"）内的导数就是质点在（a,6）内的—

意义

方程

2.导数的运算

原函

导函数特例或推广

数

常数

为常数）

函数

嘉函⑺'=

数（〃WZ）

偶（奇）函数的导数

三角X）'三

奇（偶）函数，周期

函数OS

的导数是周期函数

指数（a?'=

(eO'K

函数(aX),且a/l)

对数（log-x）’

x)=，(ln/x/)'=

函数(a>0,且a#l)

[F(x)土g(x)]'=(4())二

四则[f(x)•g(x)]'=

aw'xr(x)

（g（x）WO）

复合函数y=/tg（x）］的导数与函数

复合函数y=f5,u它（x）的导数之间具有关

求导系/七，这个关系用语言

表达就是“y对x的导数等于y对u

的导数与U对X的导数的乘积”

对点演练:

题组一常识题

1.［教材改编］向气球中充入空气,当气球中空气的体积，(单位:L)从1L增加到2L时,气

球半径r(单位:dm)的平均变化率约为.

2.［教材改编］已知将1吨水净化到纯净度为戏时所需费用(单位:元)为

c(x)嗯丝(80O<100),当净化到纯净度为98%时费用的瞬时变化率为.

3」教材改编］y=ln(x+l)的导数是.

4.［教材改编］曲线y=xe'T在点(1,1)处切线的斜率等于.

题组二常错题

♦索引：平均变化率与导数的区别;求导时不能掌握复合函数的求导法则致错;混淆尸(就与

"(加］/"(ax域与Hax为与'的区别.

5.函数f(x)与在区间［1,2］上的平均变化率为,在xt处的导数为.

6.已知函数y^sin2x,WJy'=.

7.已知Ax)4+3"'⑵，则/>⑵=.

8.已知f{x)贝ijf'(2x+3)-，［/'(2x+3)］.

课堂考点探究

•一二巅尊麻i诞后「冠二…

。探究点一导数的运算

例1⑴若函数F(x)玄・e*H”(l)•/,则尸⑴-.

⑵函数*sin(x+l)-cos丁的导数为.

［总结反思］(1)对于复杂函数的求导，首先应利用代数、三角恒等变换等变形规则对函数解

析式进行化简,之后再求导,这样可以减少运算量,提高运算速度.(2)利用公式求导时要特别

注意除法公式中分子的符号,不要与求导的乘法公式混淆.

变式题⑴已知函数/U)=sin(2则/(§=()

A.V3B.?

C*D.1

⑵已知函数f(*)=ln(axT)的导函数是f'(x),且尸⑵2,则实数a的值为()

19Q

%B.-C.-D.1

。探究点二导数的几何意义

角度1求切线方程

例2［2018•南昌模拟］曲线y^sinx^x+\在点(0,1)处的切线方程为.

［总结反思］⑴曲线y=f^在点(为f(扬))处的切线方程为y-A^o)'(加(x-刘)；⑵求解

曲线切线问题的关键是求切点的横坐标,在使用切点横坐标求切线方程时应注意其取值范

围；(3)注意曲线过某点的切线和曲线在某点处的切线的区别.

变式题已知f(x)与-3x,过点尸(-2,-2)作函数y=f{x)图像的切线,则切线方程

为.

角度2求切点坐标

例3设adR,函数f(x)三*，一是偶函数,若曲线y=f{x)的一条切线的斜率是则切点的横坐

标为.

［总结反思］(Df'(x)=4(A为切线斜率)的解即为切点的横坐标；(2)切点既在曲线上也在切

线上,这个点对于与切点有关的问题非常重要.

变式题曲线尸e"在点/处的切线与直线x-y+lR平行，则点4的坐标为()

A.(-l,e-1)B.(0,1)

C.(l.e)D.(0,2)

角度3求参数的值或范围

例4(1)若/U)-2ev+3ax的的图像在点(0,1)处的切线1与直线x+2yTR垂直,则a+b=

()

A.1B.-1

C.2D.-2

(2)［2018•莆田模拟］已知定义在(0,上的函数f(x)=­?-/»,/?(x)知nxYx,设曲线y=f(x)

与产以x)在公共点处的切线相同，则片()

A.-3B.1

C.3D.5

［总结反思］(D利用导数的几何意义求参数的基本方法:利用切点的坐标、切线的斜率、切

线方程等得到关于参数

的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围.

(2)注意曲线上点的横坐标的取值范围.

变式题已知函数f(x)=ln(x+l)-cosx-ax的图像在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为45°,

则a=()

A.-2B.-1

C.OD.3

第13讲变化率与导数、导数的运算

考试说明1.导数概念及其几何意义

①了解导数概念的实际背景.

②理解导数的几何意义.

2.导数的运算

防自根据导数定义求函数y=c(c为常数)，y=x,y=x,y=^~,y=^一的导数.

②^利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简

单的复合函数(仅限于形如f〈ax+"的复合函数)的导数.

【课前双基巩固】

知识聚焦

1.⑴平均斜率平均⑵/%()斜率广f(x0)=f'(x0)(x-x。)瞬时

速度

2.nx"'cosx-sinxa'lna―■—f'(x)+g)(x)f'(x)•g(x)+f(x)•g'(x)

对点演练

1.0.16dm/L［解析］易知r(^正，故气球中空气的体积从1L增加到2L时,气球半径

r(单位:dm)的平均变化率为鸟斗七0.16(dm/L).

2.1321元4屯［解析］c'(x)T^,代入入田8计算可得.

(100-)

3.4［解析］y'Jxa+l)

4.2［解析］，气'产以小•(x-D，=(户1)产,所以即曲线在点(1,1)处切线的斜

率为2.

5.34［解析］函数/'(x)=。在区间［1,2］上的平均变化率为4=3.因为F'(x)之％所以

f(x)在户2处的导数为2X2N.

6.2cos2x［解析］方法一：y'=(2sinxcosx)，=2(sinx)'cosx+2sinx(cos

x)'=2cos'x-2sin'x之cos2x.

方法二:y'=cos2x,(2x)’之cos2x.

7.-8［解析］因为f'(x)之x+3f'⑵，令户2,得f'⑵=2,所以f(x)r2％于是f⑵y.

8.3(2户3)26(2X+3)2［解析］6(x)=39所以

f'(2*+3)=3(2x+3)；［f(2x+3)］'=［(2户3力'=3(2*+3)2(2X+3)W(2X+3)2.

【课堂考点探究】

例1［思路点拨］⑴对函数f(*)玄•e'+/''⑴•f求导,令x=\,即可求得f'(l)的值；(2)

根据导数的四则运算法则及复合函数的求导法则求解.

⑴-2e(2)cos(^^l)4sin7［解析］(1)'-'f(x)=x*e+f'W•x,

.：f'(x)h+x•e"+2f'⑴x,

和坨*26(1),解得r(l)=-2e.

(2)将函数尸sin(户1)看作yfin"和u=x+\的复合函数，

则yD0・u1=(sinu),•(x+l)，=cosu=cos(x+l).同理可以求出片cos5的导数为/=亭1万

所以所求函数的导数为y'=cos(x+l)^sin—.

变式题(DD(2)B［解析］(1)：'函数/'(x)=sin(2

.：f'(x)=2cos(2-.)，

.：=2cos^-=2cosy=1,故选D.

⑵因为所以⑵解得故选

f'(x)=~-Jf'-2T23B.

例2［思路点拨］先求导，从而得切线的斜率，再由点斜式求得切线方程.

?>x-y+\=0［解析］求导得y'Wcosx-<-x,

当x=0时，可得切线斜率4=3,

所以切线方程为片3+1,即3x-户14.

变式题片-2或片9户16［解析］对函数求导，得f'(x)邙f-3.

当点尸(-2,-2)为切点时，切线斜率A4X(-2)2-3K,

根据点斜式得切线方程为片9户16.

当点必-2,-2)不是切点时,设切点坐标为(勿,/;),

(=3-3,

1n

则I+2_32_3可得A

I+2-''

所以切点为(1,-2),此时切线方程为y=-2.

综上,切线方程为片9户16或y=-2.

例3［思路点拨］先根据Hx)为偶函数求得a=l,再建立方程,解得切点的横坐标.

In2［解析］由题意可得f(x)=f(-x),即e',即(1-a)(e对任意都

成立,所以a=l,所以f(x)mF'"'(x)*.设切点为(x°,㈤，

则尸(加三。逸-哼由于/''(*)是R上的增函数，且f'(ln2)弓所以的=ln2,

即切点的横坐标为In2.

变式题B［解析］设点［的坐标为(x0,e。).因为,三：

所以曲线在点/处的切线斜率公y'|=。三。，

又切线与直线平行，所以e解得Ab4),

所以切点力的坐标为(0,1).

例4［思路点拨］(1)求出原函数的导函数，根据题意列出关于a,人的方程(组)，计算即可得

到结果；(2)先设两曲线的公共切点为(a,6)(aX),再根据两函数在x=a处的导数相等及切点

在两曲线上列方程组,即可解得加的值.

(1)B(2)D［解析］⑴：V(x)之e"+3ax+6,."'(x)2e'+3a.

由题意得f'(0)=2+3a=2,解得a=O.

「点(0,1)在f(x)?S册ax+b的图像上，.：2班=1,解得6=-1.

•：a+M)+(T)=T.

(2)设两曲线在公共点(a,8)处的切线相同(aX)).

由题得/'(x)'(")上",

2_

则1=61n-4，解得］=1"

(2=--4,I=5.

变式题C［解析］f'(x)上\Tn(x+l)•sinx-a.

:•函数f(x)=ln(户1)•cosx-ax的图像在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为45°,

.*1-3=1,.：3=0,故选C.

教师备用例题本栏目为数师专用

JIAOSHIBEIYONGLITI

【备选理由】例1考查导数的运算法则等知识,意在考查学生的基本计算能力;例2在知识

点的交汇处命题,分别考查了利用函数的奇偶性求函数的解析式,利用导数的几何意义求切

线方程等知识;例3是一道导数新概念题,需要依据新定义求解,计算量较大,供学有余力的

同学学习；例4是导数几何意义的应用与求参数取值范围的综合问题,并涉及数形结合思想,

有一定的综合性.

例1［配合例1使用］设函数f(x)r(2017+lnx).若(加)=2018,则施=()

A.eB.e2

C.In2D.1

［解析］D因为f(x)中(2017+lnx),

所以f'(x)-2018+lnx、

所以f'(xo)夕018+lnxo=2O18,所以xo=l.

例2［配合例2使用］［2018•荆州中学月考］函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当

时,f(x)=£-2/则曲线y=f{x)在点(1,f⑴)处的切线方程为.

［答案］

［解析］:•函数F(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时，f(x)

.:当xX)时,，-x<0,f{~x)=(-x)3-2(,-x)2--x-2x,

.:当xX)时，f(x)=x*2f.

=1+2=3,

f'{x}^>x-tAx,.：r(l)=7,

•:所求切线方程为y-3W(xT),

即7x-yM=0.

例3［配合例4使用］［2018•石家庄质检］定义:如果函数f(x)在区间［a,6］上存在

x\,X2(aaiG<6)满足y'(xj——,f'(X2)J~■——,则称函数/Xx)是区间［a,6］上

的一个双中值函数.已知函数/是区间［o,H上的一个双中值函数，则实数e的取值

范围是()

'36''26,

A.B.

,5,5,T5,

C.

［解析］A由题意知,在区间［0,0上存在小,生(0<¥1<¥2〃)满足

3f2公

6(一)寸'(上)-()⑹—22-=t-^t.

5

・"(力口亨,."(.)公争.方程犷号一孝在区间(。，t)上有两个不同的实数解.

令g(x)^3x

55

'62)>0,

(0)=22〉。，

则需满足《0

()=22-2>0,

5

>1-

解箧女专.：实数力的取值范围是G，3,故选A.

"呼若函数名⑸尔力白泊有且仅有两个

例4［配合例4使用］已知函数f(x)

W(>0),

零点,则实数6的取值范围是,

［答案］oeg

［解析］:函数g(x)=F(x)有且仅有两个零点,

.：函数f(x)3与函数y^x+b的图像有且仅有两个交点,

作出函数f{x)-与函数J4X的的图像,如图所示.

>0)乙

当b=Q时，两函数图像有一个交点,是一个临界值.

当直线ygx域与Mx)的图像相切时，两函数图像有一个交点，此时6的值是另一

个临界值.

设切点为(ffl,V-,mX),"."f'(x)W•'(王刈，.：；•解得m=1,

故切点为(1,1),

故b=l9*

结合图像可得,06专

第14讲导数与函数的单调性

课前双基巩固

一皴瀛就识蓼茵亩嬴G-

知识聚焦:

函数的单调性与导数

导数单调递在区间(a")上,若f'(x)X,则f(x)在这个区间

到增上单调

单调单调递在区间(a")上,若/(x)<0,则f(x)在这个区间

性减上单调________

单调单调递若函数尸/U)在区间(a")上单调递增,则

性增f'(x)________

到导单调递若函数y=f(x)在区间(a,6)上单调递减,则

数减ra)___

“函数片Ax)在区间(a,6)上的导数大(小)于0”是“其单调

递增(减)”的条件

对点演练

题组一常识题

1.［教材改编］函数A%)m'-X的单调递增区间是.

2.［教材改编］比较大小:xInx(xG(1,，8)).

3.［教材改编］函数y=ax3T在(-耳+8)上是减函数,则实数a的取值范围为.

4.［教材改编］已知f(x)是定义在R上的可导函数,函数片e'""的图像如图2-14-1所示,则

Ax)的单调递减区间是.

图2-14-1

题组二常错题

♦索引：可导函数在某区间上单调时导数满足的条件;利用单调性求解不等式时不能忽视原

函数的定义域;求单调区间时忽略定义域;讨论函数单调性时分类标准有误.

5.若函数f(x)=kx-\nx在区间(1,+8)上为增函数,则A的取值范围是.

6.若函数Ax)-In则不等式f(l-x)»(2x-l)的解集为.

7.函数f(x)=x+ln(2-x)的单调递增区间为.

8.讨论函数在R上的单调性时,a应分、、三种情况讨

论.

课堂考点探究

一黄瑜导应装版结值荽⑥-

。探究点一函数单调性的判断或证明

例1［2018•商丘二模］已知函数Ax)-(A-l)ex＞，W,其中勿为常数,且m*讨论函数f{x}

的单调性.

［总结反思］用导数法判断和证明函数f(x)在区间(a,6)内的单调性的一般步骤：

⑴求f'(x).

(2)确认f'(x)在区间(a,6)内的符号(如果含有参数,则依据参数的取值讨论符号).

(3)得出结论:/(x)用时，函数Ax)为增函数;/''(x)<0时，函数f(x)为减函数.

变式题已知函数+-)e>GR.

(D求/Xx)的零点；

⑵当a2节时,求证:f(x)在区间(1,+2上为增函数.

。探究点二求函数的单调区间

例2［2018•北京朝阳区一模］己知函数f(x)①二-ax(aCR).

⑴若aR,求曲线产¥(x)在点(1,F(D)处的切线方程；

(2)若a・l,求函数的单调区间.

［总结反思］(1)利用导数求函数单调区间的关键是确定导数的符号.不含参数的问题直接

解导数大于(或小于)零的不等式,其解集即为函数的单调区间;含参数的问题，应就参数范围

讨论导数大于(或小于)零的不等式的解,其解集即为函数的单调区间.

(2)所有求解和讨论都必须在函数的定义域内，不要超出定义域的范围.

变式题(1)函数f(x)qlnxM”gf的单调递增区间为()

A.(0,1),(3,金)

B.(1,3)

C.(-8,1),(3,+8)

D.(3,*8)

⑵函数f(x)十足+21nx的单调递减区间是,

。探究点三已知函数单调性确定参数的取值范围

例3已知函数F(x)+lnx-ax.

(1)当a=3时,求F(x)的单调递增区间；

(2)若f(x)在(0,1)上是增函数,求a的取值范围.

[总结反思](l)f(x)在〃上单调递增(减)，只要满足f(x)20(W0)在〃上恒成立即可.如果

能够分离参数,则可分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系.

(2)二次函数在区间〃上大于零恒成立,讨论的标准是二次函数的图像的对称轴与区间〃的相

对位置，一般分对称轴在区间左侧、内部、右侧进行讨论.

变式题(1)[2018•哈尔滨师大附中三模]若函数f(x)=2x+sinx・cosx+acosx在(-00,+°°)

上单调递增，则a的取值范围是()

A.[-1,1]

B.[-1,3]

C.[-3,3]

D.[-3,-1]

(2)若函数f(x)=x+alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是()

A.[0,+°°)

B.(-8,0]

C.SO)

D.(0,+8)

。探究点四函数单调性的简单应用

例4(1)定义域为R的可导函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)"'(X),f(0)2则不等

式/•(x)<2e*的解集为()

A.(-00,o)

B.(—,2)

C.(0,+8)

D.⑵+8)

⑵已知函数g(x)是偶函数,/Xx)招(*-2),且当#2时,导函数f(x)满足(x-2)f'(x)加,若

1C<3,则()

A.F(42"⑶<Alog3a)

B.A3)</(log3a)(F(4")

C.Alog3a)</'(3)<f(4")

D.Alog3a)<A3)

［总结反思］用导数比较大小或解不等式，常常要构造新函数,把比较大小或求解不等式的问

题转化为利用导数研究函数单调性的问题,再由单调性比较大小或解不等式.常见构造的辅

助函数有:g(x)=xf(x),g(x)-(\g(x)=e'f(x),g(*):(),g(x)-f{x)Inx,g(x)-J)等.

eIn

222J

变式题(1)已矢口I,b=2.2,c-log2.22.1,贝Ij()

A.c<b<a

B.c<a<b

C.a<b<c

D.a<c<b

(2)已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(2)-7,且f(x)的导函数(%)<3,则不等式f(ln

%)>31nx+l的解集为

第14讲导数与函数的单调性

考试说明1.了解函数单调性和导数的关系；

2.能利用导数研究函数的单调性；

3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).

【课前双基巩固】

知识聚焦

递增递减W0充分

对点演练

1.(0,+2［解析］由£(x)三人，解得心0,故其单调递增区间是(0,+8).

2.>［解析］设/'(*)fTnx,xW(1,+8),则尸(才)=1」_为,所以函数/'(*)在(1,+8)上是增

函数,所以/'(x)可Tn所以x>lnx.

3.(-8,0)［解析］:犷夫*；函数在区间(-9+8)上是减函数，

.：y'W0在(-用*8)上恒成立，即3afWO恒成立，

,：aW0.：'当aR吐y=~\,不是减函数，

.：a<0,即(-8,o).

4.(-8,2］［解析］因为当运2时,e"»Wl,所以当;<2时，f'(*)W0,所以/'(x)的单调递

减区间是(-8,2］.

5.［1,+°°)［解析］因为函数/'(x)=%xTnx在区间(1,+8)上为增函数，所以=八120

在(1,+8)上恒成立,即X》上在(1,/叫上恒成立,可得kA.

6.g,|)［解析］因为*《(0,+8)/(才)」二过所以函数f(x)=ln*'在(0,+2上为增

函数,所以只需满足l-x>2x-lA),解得将专

7.(--J)［解析］由2七%,得右2,即函数『(心的定义域为(-8,2).

易知f(x)=19,令f'(x)X,可得出<1,

2-2.-

结合2-xA),得2~x>\,解得x<l,

即函数/U)=x+ln(2-x)的单调递增区间为(-91).

8.aXa=0a<0［解析］y'4a*T,所以对a分a_X),a=0,a<0三种情况讨论比较合理.

【课堂考点探究】

例1［思路点拨］先对卬进行分类讨论,再结合f(x)的符号讨论函数f(x)的单调性.

解：易知xG(-8,+8),f，B*册+(xT)e"'包mx=x(e*'”面.

①当加20时，：‘e'"»,.：/"+2加X).

.：当xX)时，/(x)X);当x<0时,尸CO<0.

故F(x)在区间(-、0)上单调递减,在区间(0,+9)上单调递增.

②^5的<0时，f'(x)=0有两个实数根，即为老^2-ln(-2ffl)-1,且xt>x2.

则当xX)时，/•'(x)X);

当In(-2w)-1<¥<0时,f'(x)<0;

当“<Ln(-2/力)-1时，f(x)A).

故/■(入)在区间(-8,111(-24-1),(0,*8)上单调递增,在区间(ln(-24-1,0)上单调递减.

综上所述,当加20时,f(x)在(-召0)上单调递减,在(0,+2上单调递增；

当彳67<0时,/Xx)在(-8,in(-2〃)T),(0,+00)上单调递增，在(in(-2w)T,0)上单调递减.

变式题解：(Df(x)的定义域为(-RO)u(0,2).

令f(x}=0,得x+a=G,即x--a.

当a20时,方程无解,f(x)没有零点；

当a<0时，得x=±\p-.

综上,当a)0时,f(x)无零点；当a<0时,F(x)的零点为土L.

v(3+2+)e

⑵证明：f'(*)=(1--)e^(+-)e^-2-.

令g(x)=x+x-f-ax-a{x>V),

则g'(x)々寸也x+a,其图像的对称轴为直线

所以g'(x)在(1,+2上单调递增，

所以g'(x)>3XI2+2XI+a=5+a.

因为a2七，所以g'(x)为在(1,+9)上恒成立，

所以gj)在(1,+8)上为增函数，

可得g(x)>g(l)之与，即F可可

所以f(x)在区间(1,+8)上为增函数.

例2［思路点拨］⑴求出F⑴及6(1)的值，利用点斜式可得曲线的切线方程.(2)在定义

域内，令f'(x)X,求得x的取值范围,可得函数『(*)的单调递增区间；令f'(x)<0,求得x的

取值范围,可得函数f(x)的单调递减区间.

解：⑴若aR,则65)争-，所以如⑴之,

所以曲线片/'(X)在点(1,T)处的切线方程为2尸尸3名

⑵易知xG(0,+8),r(x)~

令g{x}=2-a/-Inx,则g'(x)Y-----

令g'(x)R,得产于.或x=-J_；(舍去).

由g'(x)为,得X〉";由/3。得0<x<J-

所以g(x)在区间(0,、仔)上单调递减,在区间(号,+8)上单调递增,所以

以耳尸《后上Tn。.

因为a<-l,所以0T专所以In

所以g(x)X),即f'(x)X,

所以函数F(x)的单调递增区间为(0,+8).

变式题(DA(2)(0,1)［解析］⑴6(x)由尸(x)D,得0々<1或

x>3,."(x)的单调递增区间为(0,1),(3,+«>).

(2)函数f(x)的定义域是(0,+2,

/(加1+.(+一).

令f(x)<0,可得oa<i,

故函数/Xx)的单调递减区间为(0,1).

例3［思路点拨］(1)当a3时,求出函数f(x)的导函数,然后由f,(x)为可得单调递增区

间；(2)将原问题转化为导函数在区间(0,1)上大于等于零恒成立问题求解即可.

解：⑴/V)的定义域为(0,+8),当aT时，f(x)=/+lnx-3x,

.(x)?xJ-3?27+1,

由/''⑷4,得Obg或

.：函数f(x)的单调递增区间为(0,J,(1,+8).

⑵由题意得f'(x)NrJ-a.

:Y(x)在(0,1)上是增函数,

,：f'(x)=2xJ-aeO在(0,1)上恒成立，

即aW2xJ在(0,1)上恒成立.

:'2x近,当且仅当2%」,即时,等号成立，

.：aW22，

故实数a的取值范围为(-『2V2］.

变式题⑴A(2)C［解析］⑴：丁(才)之x依inx•cosx七cosx,

^2-^cos2x-asin^--2sin2x-5sinx对.

设t=sinx,TWtWl,

则g(t)=-2"a"3,

：V(x)在(-、+8)上单调递增，

.：g*)》0在［-1,1］上恒成立.

:•二次函数g1)的图像开口向下，

可得-1W8W1,即a的取值范围是故选A.

(2)函数F(x)=x为Inx的定义域为(0,+@,j当a》0时，f(x)A),函数

f\x)=x-f-a\nx是增函数.当a<0时，由F'(x)<0,得0〈x〈-a,由/"(才)为,得x>-a,所以函数

f{x}=x+a］.nx在(0,-2)上单调递减，在(-日,上单调递增.因为/(^)=x+a\.nx不是单调函

数,所以实数a的取值范围是(-8,0),故选C.

例4［思路点拨］(1)构造函数g(x)=q,通过g'(x)的符号判断函数g(x)的单调性，利用

e

单调性得出x的取值范围；(2)先根据函数图像的平移得到函数f(x)的图像关于直线对

称,再通过讨论导数的符号得到函数Ax)的单调性,最后将4",log,。,3转化到同一个单调区

间上比较其对应函数值的大小.

(1)A(2)B［解析］⑴设g(x)-A则g'(x)

ee

即函数g(x)在R上单调递增.：f(0)=2,.：g(o)=f(o)=2,

则不等式f(x)<2e'等价于g(x)8(0).

「函数g(x)在R上单调递增，.：x<0,

即不等式的解集为(-8,0).

(2)：N(x)是偶函数，.：其图像关于y轴对称，

r.f(x)它(x-2)的图像关于直线产2对称.

:«-2)尸(x)»,

.:当x>2时,

即函数/U)在⑵+2上为增函数.

ri<a<3,.：44<64,0<log3a<1,

又Alog：ia)-/(4-logsa),3<4Tog3a<4,

.：3<4Tog3a@,.：f(3)<A4-log3a)

即A3)<f(log3a)<f(40.

变式题(1)B(2)(0,e2)［解析］(1)设则6(x)23,

可得函数f(x)在(0,e)上单调递增,所以A2.1)</(2.2),即暇喂，

可化为2.产⑵2匕即1<a<b,又c-log2.22.Kl,

所以c<a<by故选B.

⑵设f-lnx、则不等式Ainx))31nx+1等价于f{t}>3r^l.

设g(x)=F(x)-3xT,则gf(x)=ff(%)-3,

:T(x)的导函数6(x)<3,

.：g'(x)=f'(x)-3<0,

.：函数g(x)=f(x)-3xT在R上单调递减.

7f(2)%.：g⑵=F(2)-3X2-1R,

则由g(t)Ff(t)-3IM雷⑵，解得t<2,

.*Inx<2,解得

即不等式f(lnx)>31nx+X的解集为(O.e?).

教师备用例题本栏目为教师专用

JIAOSHIBEIYONGLITI

【备选理由】例1讨论函数的单调性;例2可以进一步明确不等式/“(X)»的解集对应的区

间是函数『(X)的单调递增区间,不等式65)<0的解集对应的区间是/'(X)的单调递减区间；

例3为含参函数单调性的讨论及利用单调性求参的综合问题，旨在使学生加深对导数与单调

性关系的理解，并强化处理参数问题的原则和方法.

例1[配合例1使用]已知函数~(x-a)e-^ax+a(a~1)x(%eR).

⑴若曲线片f(x)在点(0,f(0))处的切线为与x轴的交点坐标为(2,0),求a的值；

(2)讨论/■(*)的单调性.

解：(1):V'(x)=(x-a)ex+e'-ax+a{a­\),

.：r(o)=(a-M

又：Y(0)=-a,

.：切线方程为y+a=(aT)2(x4)).

令片0,得_^-2,

」2--5a+2^0,或a=^.

(2)f'(x)={x-a)C-ax七(aT)=[x-(aT)](e'-a).

当aWO时,e'X,若xe(-『日-1),则f\x)<0,F(x)为减函数;若%T,+-),则

6(x)Y,f(x)为增函数.

当aX)时，令f’(x)或得汨=aT,x2=lna

令g®=a-l-Ina,则g'(a)=1~=-

f

当aG(0,1)时,g'(a)<0,g(a)为减函数,当aG(1,―)时,g®A),g(a)为增函数，

・：g(d)min招⑴丸

a(当且仅当a=l时取

•:当OQ<1或2>1时，若(-8,ina),则F'(x)A),f(x)为增函数;若(In&aT),则

F(x)Of(x)为减函数;若xBU-l,+2,则F(x)A),f(x)为增函数.

当a=l时,f'(x)=x(e'T)20,f(x)在(-+2上为增函数.

综上所述:当aWO时，F(x)在(-干aT)上为减函数，在(@-1,+8)上为增函数;当OQ<1或

a>\时,f(x)在(Ina,aT)上为减函数，在(-吗上a)和(aT,+=)上为增函数;当女=1时,f[x)

在(-8,+8)上为增函数.

例2[配合例2使用][2018•东莞模拟]已知函数/V)=afeYaWO),求函数/•(*)的单调

区间.

解：对F(x)求导，得f'(x)=a*--...，，?=a•—.

(e)e

四aA),则当xG(0,2)时,f'(x)A),当xG(-«>,0)或xG(2,+-)时，f'(x)<0,

所以/Xx)在(0,2)上单调递增，在(-8,0),⑵+9)上单调递减.

葬a<0,则当%e(0,2)时,f'(x)<0,当xR(-右。)或工型⑵+8)时,f'(x)X),

所以/U)在(0,2)上单调递减，在(-8,0),⑵+2上单调递增.

例3[配合例3使用][2018•重庆七校期末]已知函数/1(⑼4+同母)》〃(得〃为常数).

(1)当n=l时，讨论函数g(x)五V(x)的单调性;

⑵当n=2时,若函数从x)玄―2在[o,公)上单调递增,求m的取值范围.

e

解：⑴当〃=1时,g(x)=ex[x+5⑵x+1],

g'(x)=ex[x+(加4)x+(勿+3)]=e*(x+l)[x+(0+3)].

令g'(x)=0,解得x=T或x=-(m玲.

•:当TG(m3),即/C2时，函数g(x)的单调递增区间为(-3,T),(力-3/8),单调递减区

间为(T,”-3);

当T=-(»3),即片-2时，函数g(x)的单调递增区间为(-8,+3),无单调递减区间；

当即凉>-2时，函数g(x)的单调递增区间为(-巴—"—3),(T,+8),单调递减区间

为(-勿-3,T).

(2)当n=2时，力(x)三出-4(龙)上,

e

8'(%)=1二~.

由题意知,/?'(x)20在[0,+8)上恒成立,

即e*-/与而(xT)在[0,+°°)上恒成立.

当x=l时-，不等式成立.

当xWl时，令k{x>贝ljk'(x)J-2)(e：).

T(-1)

当x>\时，只需A(x)2以恒成立.

:官七方恒成立(可求导证明),

.:当1<Y<2时,A'(x)<0,4(x)单调递减；

当x>2时,A'(x)>0,A(x)单调递增.

2

,:履A)2A⑵=e-AyZ/77^e-4.

当0Wx<l时，只需〃(x)W加恒成立.

：，0Wx<l,・：左'(X)<0,二4(才)单调递减，

.：4(x)WA(0)=T,,：切2T.

综上所述，TW勿We*/.

第15讲导数与函数的极值、最值

课前双基巩固

一额嬴藏口识着百亩篆筋一

知识聚焦:

1.函数的极值

(1)函数的极小值：

函数片f(x)在点产a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，/(a)R;而且在

点x=a附近的左侧,右侧,则点a叫作函数尸/U)的极小值点,f(a)叫作函

数尸Hx)的极小值.

(2)函数的极大值：

函数尸f(x)在点产6的函数值f(6)比它在点尸6附近其他点的函数值都大,f'®力;而且在

点x=b附近的左侧,右侧,则点b叫作函数尸/U)的极大值点,叫作函

数y=F(x)的极大值.

极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.

2.函数的最值

(1)在闭区间［a,6］上连续的函数/V)在［a,6］上必有最大值与最小值.

(2)若函数f(x)在［a,6］上单调递增,则为函数的最小值,为函数的最大值;

若函数Hx)在［a,6］上单调递减,则为函数的最大值,为函数的最小值.

3.实际应用题

理解题意、建立函数模型，使用导数方法求解函数模型，根据求解结果回答实际问题.

常用结论

导数研究不等式的关键是函数的单调性和最值,各类不等式与函数最值关系如下：

不等式类型与最值的关系

V〃f{x}>MYxQD,f{x)mi，V

VxeD,f(x)<MYXRD,f{x)max<M

三加£以f(xo)YxGD、f(x)max)"

3xoCD,F(xo)<MYxGD,F(x)min<M

YxQD,f(x)>g(x)VxGD,\_f{x}-^(x)]»in/O

YxRD,f{x)<g{x)YxGD,"(x)-g(A)

V仄,V在VXiCfl,VxWh

f(x、〉g(x)F(X1)min>g(X2)max

(续表)

不等式类型与最值的关系

vx.efl,v%eZi,

V汨£〃，2X2^D>,2

F(M))g(%)f(x〉min>g(X2)min

3x\RD\、Yx?e立,VxgD\,VDz、

/1(X1)(刘)/Xxi)max>g(热)max

3XzGDz,V为£〃，VxKh

f(x>>g(x》F(Xl)max>g(放)min

(注:上述的大于、小于分别改为不小于、不大于，相应的与最值关系对应的不等号也改变)

对点演练:

题组一常识题

L［教材改编］函数f(x)的极小值为.

2.［教材改编］函数f(x)4T2x在区间［-3,3］上的最大值是.

3.［教材改编］当xX时,Inx,x,e'的大小关系是.

4.［教材改编］现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形,

然后做成一个无盖方盒,该方盒容积的最大值是.

题组二常错题

♦索引：利用极值求参数时忽略对所求参数的检验;混淆极值与极值点的概念;连续函数在区

间(a,8)上不一定存在最值;不等式问题中的易错点.

5.若函数f(x)中，af场X病在x=\处取得极值10,则a+b=.

6.函数g(x)的极值点是,函数Ax)的极值点(填“存在”或“不

存在”).

7.函数g(x)=?在［1,2］上的最小值和最大值分别是，在(1,2)上的最小值和最大值

均(填“存在”或“不存在”).

8.对任意实数不不等式sinxWa恒成立,则实数a的取值范围是;存在实数刘，使

不等式sin施Wa成立,则实数a的取值范围是.

....课.;施而堂谬孱考豆…点.总塔探值荽究近二....

。探究点一利用导数解决函数的极值问题

微课10,思维

微点1由图像判断函数极值

例1［2018•杭州:中模拟］如图2-15-1所示,可导函数尸f(x)在点例处置加)处的切线

为r.y=g{x).设仄入)=f(x)-g(x),则下列说法正确的是()

图2T5T

A.h'(AO)4),广选是h(x)的极大值点

B.h'(Ao)=0,x=xo是A(x)的极小值点

c.h'(Xo)4X=xo不是力(x)的极值点

D.h'(xo)WO,x=xo不是A(%)的极值点

［总结反思］可导函数在极值点处的导数一定为零,是否为极值点以及是极大值点还是极小

值点要看在极值点左、右两侧导数的符号.

微点2已知函数求极值

例2若x=\是函数f(x)=ax+lnx的极值点,则()

A.f(x)有极大值T

B.f(x)有极小值T

C.f(x)有极大值0

D.f(x)有极小值0

［总结反思］求函数极值的一般步骤:魏求函数f(x)的定义域，再求函数f(x)的导函数;②

求F(x)R的根;⑨N断在/(x)R的根的左、右两侧尸(x)的符号,确定极值点；④求出具

体极值.

微点3已知极值求参数

例3［2018•江西九校二联］若函数F(x)=(a+l)e2*-2e"(a-l)x有两个极值点,则实数a的取

值范围是()

乂。"为

［总结反思］根据极值求参数的值(或取值范围)就是根据极值点处的导数等于零、极值点处

的函数值即极值列出关于参数的方程组(或不等式组)，通过解方程组(或不等式组)求得参数

的值(或取值范围).

应用演练

1•【微点1］［2018•河南中原名校质检］己知定义在R上的函