高中数学《古典概型的特征和概率计算公式 建立概率模型》导学案

—iB.钻口道脚亥

DISANM§3.2古典概型

）■3.2.1古典概型的特征和概率计算公式

!■3.2.2建立概率模型

课前新知预习

［航向标•学习目标］

1.理解古典概型的两个基本特征.

2.掌握古典概型的概念及概率的计算公式.

［读教材・自主学习］

1.基本事件：一次试验中可能出现的回每一个结果称为一个基本事件.

2.基本事件的特点：（1）任何两个基本事件是不可能同时发生的.一次试验

中，只可能出现一种结果，即出现一个基本事件.（2）任何事件都可以表示成基本

事件的和.

3.古典概型：（1）试验的所有可能结果只有回有限个,每次试验只出现其

中的一个结果.（2）每一个试验结果出现的可能性画相同.我们把具有这样两个

特征的随机试验的数学模型称为古典概型.

4.古典概型的计算公式：对于古典概型，通常试验中的某一事件A是由几

个基本事件组成，如果试验的所有可能结果（基本事件）数为n,随机事件A包含

的基本事件数为加，那么事件A的概率规定为叵IP（A）=^.

［看名师•疑难剖析］

1.古典概型试验有两个共同的特征

（1）有限性：在一次试验中，可能出现的结果是有限个，即只有有限个不同的

基本事件.

（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的.

2.古典概型的概率公式（等可能性事件的概率）

(1)若试验的结果是由〃个基本事件组成，并且每个基本事件的发生是等可能

的，而随机事件A包含的基本事件数为相，则由互斥事件的概率加法公式可得：

m

P(A)=—+—+­­•+—=

n7?nn

'Y'

)71个

A包括的基本事件个数

所以古典概型中，P(A)=

总的基本事件个数

这就是概率的古典定义.

(2)用集合观点来理解事件A与基本事件的关系(如下图):在一次试验中，等

可能出现〃个结果组成一个集合/,这〃个结果就是集合/的〃个元素，各基本事

件均对应于集合/的含有1个元素的子集，包含每个结果的事件A对应于/的含

有加个元素的子集4因此从集合的角度看，事件A的概率是子集A的元素个数(记

作card(A))与集合/的元素个数(记作card(7))的比值，即外4)=管喘=々

I课堂师生共研

考点一基本事件的计数问题

例1一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一

次摸出两只球.

(1)共有多少个基本事件？

(2)两只都是白球包含几个基本事件？

［分析］由题目可获取以下主要信息：

①本次摸球事件中共有5只球，其中3只白球，2只黑球.

②题目中摸球的方式为一次摸出两只球，每只球被摸取是等可能的.

解答本题可先列出摸出两球的所有基本事件，再数出均为白球的基本事件数.

［解］(1)解法一：采用列举法分别记白球为1、2、3号，黑球为4、5号，有

以下基本事件：(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)

共10个（其中（1,2）表示摸到1号，2号时）.

解法二：采用列表法

设5只球的编号为：a、b、c、d、e,其中a,b,c为白球，d,e为黑球.列

表如下：

abcde

a(a,b)(a,c)(a,d)(a,e)

b(b,a)(b,c)(b,d)(b,e)

c(c,a)(c,b)(c,d)(c,e)

d(d,a)(d,b)(d,c)(d,e)

e(e,a)(e,b)(e,c)(e,d)

由于每次取两个球，每次所取两个球不相同，而摸（6a）与（a,与是相同的事

件，故共有10个基本事件.

（2）解法一中“两只都是白球”包括（1,2）（1,3）（2,3）三种.解法二中，包括（a,

b）,（b,c）,（c,a）三种.

类题通关

求基本事件个数常用列举法、列表法、树状图法来解决，并且注意以下几个

方面：①用列举法时要注意不重不漏；②用列表法时注意顺序问题；③树状图法

若是有顺序问题时，只做一个树状图然后乘以元素个数.

［变式训练1］连续掷3枚均匀硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反

面.

（1）请写出这个试验的所有基本事件；

（2）“恰有两枚正面向上”这个事件包含哪几个基本事件？

解（1）这个试验的所有基本事件为：（正，正，正），（正，正，反），（正，反,

正），（反，正，正），（正,反,反），（反,正，反），（反，反，正），（反，反，反）.（2）“恰

有两枚正面向上”包含以下3个基本事件：（正，正，反），（正，反，正），（反，

正，正）.

考点二古典概型的判断

例2下列概率模型中，是古典概型的个数为（）

（1）从区间［1,10］内任取一个数，求取到1的概率；

（2）从1〜10中任意取一个整数，求取到1的概率；

(3)在一个正方形ABC。内画一点P,求P刚好与点A重合的概率；

(4)抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率.

A.1B.2C.3D.4

［解析］第1个概率模型不是古典概型，因为从区间［1,10］内任意取出一个数,

有无数个对象可取，所以不满足“有限性第2个概率模型是古典概型，因为

试验结果只有10个，而且每个数被抽到的可能性相等，即满足有限性和等可能性；

第3个概率模型不是古典概型.第4个概率模型也不是古典概型，因为硬币不均

匀，因此两面出现的可能性不相等.

［答案］A

类题通关

一个试验是否为古典概型，关键是看这个试验是否具有古典概型的两个特征

—有限性和等可能性，即判断试验是否同时满足这两个特征(或条件).

［变式训练2］判断下列试验是否是古典概型，并说明理由.

(1)同时抛掷两枚质地均匀的骰子，求点数和为7的概率；

(2)求近三天中有一天降雨的概率；

(3)10个人(包括甲和乙)站成一排，求其中甲、乙相邻的概率.

解(1)、(3)为古典概型.因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能

性，而(2)不适合等可能性，故不为古典概型.

考点三古典概型的概率计

例3袋中装有6个小球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球,

求下列事件的概率：

(1)/1：取出的两球都是白球；

(2)5：取出的两球一个是白球，另一个是红球.

［分析］求古典概型的概率应按下面四个步骤进行：

(1)仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；

(2)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A;

(3)分别求出基本事件的总数〃与所求事件4中所包含的基本事件个数加；

(4)利用公式P(A)=々求出事件A的概率.

［解］设4个白球的编号为1、2、3、4,2个红球的编号为5、6.从袋中的6

个小球中任取两个的方法为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),

(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15个.

(1)从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的方法总数，即是从4

个白球中任取两个的方法总数，共有6个.即为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),

(3,4).

，取出的两个小球全是白球的概率为P(A)=-^=|.

(2)从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取

法包括(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),共8种.

Q

...取出的两个球一个是白球，另一个是红球的概率为尚.

［变式训练3］先后抛掷两颗骰子，求：

(1)点数之和是4的倍数的概率；

(2)点数之和大于5小于10的概率.

解从图中容易看出基本事件与所描点一一对应共36种.

第

二

次’789--.J01112

6

抛

5.678112

掷

K6789XJ0

后4

向345,--,6789、\

上

2

的3478

点12347/

数-1~2~3~4~5~6~

第一次抛掷后向上的点数

(1)记“点数之和是4的倍数”的事件为A,从图中可以看出，事件A包含的

基本事件共有9个：(1,3),(2,2),(2,6),(3,1),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(6,6).所

以P(A)=".

(2)记“点数之和大于5小于10”的事件为8,从图中可以看出，事件8包含

的基本事件共有20个.即(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(1,6),(2,5),(3,4),

(4,3),(5,2),(6,1),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(3,6),(4,5),(5,4),(6,3).所

以P(B)=|.

规范答题思维

古典概型的应用

［例］(12分)甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1

男2女.

(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选

出的2名教师性别相同的概率；

(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名

教师来自同一学校的概率.

(一)精妙思路点拨

(二)分层规范细解

(1)甲校两名男教师分别用A,B表示，女教师用C表示；乙校男教师用。表

示，两名女教师分别用E,E表示.

从甲校和乙校报名的教师中各任选1名①的所有可能的结果为：

(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),

(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),共9种.②2分

从中选出两名教师性别相同的结果有：(A,D),(B,D),(C,E),(C,严共

4种.4分

选出的两名教师性别相同的概率为

4、

产=亨6分

(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名①的所有可能的结果为：

(A(Ar\(An\(Am<AG

(B,Q,(B,£>),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),,

(C,F),(D,E),(D,F),(£,F),共15种.

8分

从中选出两名教师来自同一学校的结果有：(A,B),(A,C),(B,C),(D,

E),(D,F),(E,F)共6种，10分

选出的两名教师来自同一学校的概率为P=^=|.12分

(三)来自一线的报告

通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：(注：此处的

①②见分层规范细解过程)

在解答过程中，若在①处没有仔细审题，没

①

有弄清楚所选的两名教师来自何处，则易造

失

分成所列举的基本事件并不是题目所要求的.

警

示在解答过程中，在②处列举基本事件时，由

②

于没有按照规律来列举，容易出现遗漏和重

复，使得所求的基本事件数出现差错.

(1)解答此类概率统计的问题时，最重要的是仔细

解审题，领会题目的实质，把握题目的关键知识点.

题

启(2)解答古典概型问题列举基本事件时，要根据具

示

体的问题，选择适当的列举方法，按照一定的规律

和顺序，做到既不重复，也不遗漏.

(四)类题练笔掌握

用红、黄、蓝三种不同颜色给下图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种

颜色，求：

(1)3个矩形颜色都相同的概率；

(2)3个矩形颜色都不同的概率.

解所有可能的基本事件共有27个，如图所示:

红

黄

一红

蓝

红

黄

红-----黄

蓝

红

黄

——蓝

蓝

红

黄

蓝

红

黄

黄

蓝

红

黄

蓝

红

黄

蓝

红

黄

蓝

蓝

红

黄

蓝

(1)记”3个矩形都涂同一种颜色”为事件A,由图知，事件A的基本事件有

31

3个，故尸(4)=近=§.

(2)记”3个矩形颜色都不同”为事件&由图可知，事件3的基本事件有6

个，故P(B)=,=/.

(五)解题设问

(1)本题是古典概型吗？.

(2)用哪种方法列举所有可能的基本事件最方便、最合适？.

答案⑴是

(2)树状图法

检测学业达标

1.袋中有2个红球，2个白球，2个黑球，从里面任意摸2个小球，

不是基本事件.()

A.{正好2个红球}B.{正好2个黑球}

C.{正好2个白球}D.{至少1个红球}

答案D

解析至少1个红球包含：一红一白或一红一黑或2个红球，所以{至少1

个红球}不是基本事件，其他事件都是基本事件.

2.下列对古典概型的说法中正确的是()

①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个

②每个事件出现的可能性相等

③每个基本事件出现的可能性相等

④基本事件总数为〃，随机事件A若包含攵个基本事件，则P(A)=彳

A.②④B.①③④

C.①④D.③④

答案B

解析②中所说的事件不一定是基本事件，所以②不正确；根据古典概型的

特点及计算公式可知①③④正确.

3.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两

倍的概率是.

左安—

口水3

解析本题主要考查古典概型.采用枚举法：从1,2,3,