新教材2025版高中数学第一章数列2等差数列2.1等差数列的概念及其通项公式第2课时等差数列的概念及其通项公式二学案北师大版选择性必修第二册

第2课时等差数列的概念及其通项公式(二)[教材要点]要点一等差数列与一次函数的关系由an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的________，即自变量每增加1，函数值增加d.当d>0时，数列{an}为________，如图甲所示．当d<0时，数列{an}为________，如图乙所示．当d＝0时，数列{an}为________，如图丙所示．状元随笔项目等差数列一次函数解析式an＝kn＋b(n∈N*)f(x)＝kx＋b(k≠0)不同点定义域为N*，图象是一系列孤立的点(在直线上)定义域为R，图象是一条直线相同点等差数列的通项公式与函数的解析式都是关于自变量的一次整式要点二等差中项(1)假如在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成________数列，那么A叫作a与b的等差中项．(2)假如A是a与b的等差中项，则A＝________．状元随笔在等差数列{an}中，任取相邻的三项an－1，an，an＋1(n≥2，n∈N*)，则an是an－1与an＋1的等差中项．反之，若an－1＋an＋1＝2an对随意的n≥2，n因此，数列{an}是等差数列⇔2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)．用此结论可推断所给数列是不是等差数列，此方法称为等差中项法．[基础自测]1．推断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等．()(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关．()(3)若三个数a，b，c满意2b＝a＋c，则a，b，c肯定是等差数列．()(4)随意两个实数都有等差中项．()2．已知点(1，5)，(2，3)是等差数列{an}图象上的两点，则数列{an}为()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．无法确定3．若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值是()A．26B．29C．39D．524．在△ABC中，三个内角A、B、C成等差数列，则B等于________.题型一等差数列与一次函数的关系例1已知(2，1)，(4，5)是等差数列{an}图象上的两点．(1)求这个数列的通项公式；(2)推断(n，17)是否是{an}图象上的点，若是，求出n的值，若不是，说明理由；(3)推断这个数列的增减性，并求其最小正数项．方法归纳(1)依据等差数列图象上的两点求通项公式的一般方法是设出an＝dn＋b，将图象上的点代入，求d，b.(2)推断等差数列增减性的方法主要有两种，一是公差法：d>0递增；d<0递减；d＝0不单调．二是图象法：图象上升递增；下降递减；图象不上升也不下降，不单调．跟踪训练1在数列{an}中，a1＝3，a10＝21，已知该数列的通项公式是关于n的一次函数，则a2021＝________．题型二等差中项例2已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，则这三个数分别为________．变式探究已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．方法归纳当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间的一项为a，再以d为公差向两边分别设项，即设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当等差数列的项数n为偶数时，可设中间两项分别为a－d，a＋d，再以2d为公差向两边分别设项，即设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，….跟踪训练2若四个非零实数a，x，b，2x成等差数列，则ab题型三等差数列性质的应用例3(1)在等差数列{an}中，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，则an＝________．(2)在等差数列{an}中，a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，且ak＝13，则k＝________．方法归纳等差数列的性质若数列{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，它的性质有：(1)an＝am＋(n－m)d，(n，m∈N＋)；(2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则an＋am＝ap＋aq；特殊地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N＋)，则an＋am＝2ap；(3)d＝an-a1n-1＝am-a(4)若{an}为有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项的和；(5)若{an}的公差为d，则数列{λan＋b}(λ，b为常数)是公差为λd的等差数列；(6)数列{an}，{bn}的公差都是d，则数列{λ1an＋λ2bn}(λ1，λ2为常数)是公差为(λ1＋λ2)d的等差数列；(7)下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，(k，m∈N＋)，且{an}的公差为d，组成公差为md的等差数列．跟踪训练3(1)在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为()A．20B．30C．40D．50(2)设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________．题型四等差数列的实际应用例4某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的缘由，其利润每年比上一年削减20万元，依据这一规律，假如公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？方法归纳解决实际应用问题，首先要仔细领悟题意，依据题目条件，找寻有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或削减时，则这组数成等差数列．合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，肯定要分清首项、项数等关键的问题．跟踪训练4某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km(不含4km)计费10元．假如某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，求须要支付的车费．易错辨析混淆等差数列的公共项问题中n的取值致错例5两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？解析：设已知两个数列的全部相同的项将构成的新数列为{cn}，c1＝11又等差数列5，8，11，…的通项公式为an＝3n＋2，等差数列3，7，11，…的通项公式为bn＝4n－1.∴数列{cn}为等差数列，且公差d＝12.∴cn＝11＋(n－1)×12＝12n－1.又∵a100＝302，b100＝399，cn＝12n－1≤302.得n≤2514【易错警示】出错缘由纠错心得混淆了两个等差数列中n的取值，误认为3n＋2＝4n－1，解得n＝3，致错．解题时肯定要理解好两个通项公式的n值的含义，否则会造成不必要的丢分．[课堂非常钟]1．已知数列{an}的通项公式是关于n的一次函数，a3＝7，a7＝19，则a10的值为()A．26B．28C．30D．322．已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是()A．8B．6C．4.5D．33．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为()A．1升B．6766C．4744升D．374．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝________.5．一个等差数列由三个数组成，三个数的和为9，三个数的平方和为35，求这个数列．第2课时等差数列的概念及其通项公式(二)新知初探·课前预习要点一斜率递增数列递减数列常数列要点二(1)等差(2)a+b[基础自测]1．答案：(1)√(2)√(3)√(4)√2．解析：等差数列{an}的图象所在直线的斜率k＝5-31-故选B.答案：B3．解析：因为5，x，y，z，21成等差数列，所以y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项，所以5＋21＝2y，∴y＝13，∴x＋z＝2y＝26∴x＋y＋z＝39.故选C.答案：C4．解析：因为三个内角A、B、C成等差数列，所以2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，所以B＝60°.答案：60°题型探究·课堂解透题型一例1解析：(1)设等差数列{an}的通项公式为an＝dn＋b，由(2，1)，(4，5)是等差数列图象上的两点，可得2d+b=1，4d+b=5，解得b=-3，(2)(n，17)是{an}图象上的点．由2n－3＝17，得n＝10∈N＋，所以(10，17)是{an}图象上的点．(3)由d＝2>0，知数列{an}为递增数列．令2n－3>0，得n>32即n≥2.所以数列{an}的最小正数项为a2＝1.跟踪训练1解析：因为通项公式是关于n的一次函数，所以数列{an}为等差数列，设an＝pn＋q(p，q是常数)，由已知得p+q=3解得p=2，q=1.所以an＝2n＋1(n∈N则a2021＝2×2021＋1＝4043.答案：4043题型二例2解析：设此三个数分别为x－d，x，x＋d，则(x解得x＝5，d＝±2.∴所求三个数分别为3，5，7或7，5，3.答案：3，5，7或7，5，3变式探究解析：法一：(设四个变量)设这四个数分别为a，b，c，d，依据题意，得b解得a=2，b=5∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.法二：(设首项与公差)设此等差数列的首项为a1，公差为d，依据题意，得a化简得4解得a1=2∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.法三：(敏捷设元)设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，依据题意，得(a化简得4a=26，a∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.跟踪训练2解析：∵a，x，b，2x成等差数列∴x是a与b的等差中项，b是x与2x的等差中项，∴2x=a+b解得a＝13∴ab＝1答案：1题型三例3解析：(1)∵a2＋a5＋a8＝3a5＝9∴a5＝3∴a3＋a7＝6①又a3a5a7＝－21∴a3·a7＝－7②由①②解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1∴当a3＝－1时，d＝2，∴an＝－1＋(n－3)×2＝2n－7当a3＝7时，d＝－2，∴an＝7＋(n－3)×(－2)＝－2n＋13.(2)∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17∴a7＝17又∵a4＋a5＋a6＋…＋a13＋a14＝11a9＝77∴a9＝7∴d＝a9-a7∵ak＝a9＋(k－9)d＝13∴13－7＝(k－9)×2∴k＝18.答案：(1)2n－7或－2n＋13(2)18跟踪训练3解析：(1)∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，∴a7＝20.∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.故选C.(2)因为{an}，{bn}都是等差数列所以{an＋bn}是等差数列设{an＋bn}的公差为d则(a3＋b3)－(a1＋b1)＝2d∴d＝7∴a5＋b5＝(a3＋b3)＋2d＝21＋2×7＝35.答案：(1)C(2)35题型四例4解析：设从第1年起，第n年的利润为an，则由题意知a1＝200，an－an－1＝－20(n≥2，n∈N＋)．所以每年的利润an可构成一个等差数列{an}，且公差d＝－20.从而an＝a1＋(n－1)d＝220－20n.若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，由an＝220－20n<0，得n>11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．跟踪训练4解析：依据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客须要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14km处时，n＝11，此时须要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．[课堂非常钟]1．解析：因为数列{an}的通项公式是关于n的一次函数，所以设an＝an＋