江苏省苏州大学2021届高三年级下册高考考前指导数学试题（含答案解析）

江苏省苏州大学2021届高三下学期高考考前指导数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设集合A={l，2,3},8={4,5},C={x+y|xeA,ye8},则C中元素的个数为()

A.3B.4C.5D.6

2.若随机变量X〜8(5,p),£>(X)=|,则石(X)=()

11155

A.—B.-C.—D.一

54162

3.设几为实数，已知向量加=(1,九)，〃=(2,-1).若m_L〃，则向量机一几与〃的夹角为

()

71兀-2兀3兀

A.—B.-C.—D.—

4334

4.为了更好地管理班级，班主任决定选若干名学生担任班主任助理，于是征求语、数、

英三科任课教师的意见.语文老师：“如果不选小李，那么不选小宋”；数学老师：“如果

不选小宋，那么选小李"；英语老师：”在小宋和小李两人中选一人若班主任同时采纳

了三人的建议，则作出的选择是()

A.选小宋，不选小李B.两人都选

C.选小李，不选小宋D.两人都不选

5.已知A3是平面内两个定点，平面内满足4Hp为大于0的常数)的点尸

的轨迹称为卡西尼卵形线，它是以发现土星卫星的天文学家乔凡尼•卡西尼的名字命名.

当A8坐标分别为(-1,0),(1,0),且。=1时，卡西尼卵形线大致为

y

A.

AB

X

6.生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减（称为衰减率），P

与死亡年数t之间的函数关系式为P=（1）«（其中a为常数），大约每经过5730年衰减为

原来的一半，这个时间称为“半衰期”.若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原

始含量的79%,则可推断该文物属于（）参考数据：log20.792-0.34.

参考时间轴:

A.战国B.汉C.唐D.宋

7.已知i为虚数单位，则复数z=l+2i+3i?+…+2020尸39+202"2侬的虚部为（）

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A.-1011B.-101()C.1010D.1011

8.若定义在R上的偶函数/（X）在[0,大»）上单调递增，且/（一%）=0,则下列取值

范围中的每个x都能使不等式sinx-/（x+〃）20成立的是（）

A.[-2乃,0]B.[0,2句C.[-肛句

k兀,„

D.x=——,keZ>

2

二、多选题

9.如图是函数/（x）=Asin（0x+e）（4>0，3>0）的部分图象，则（）

A.函数y=/（x）的最小正周期为无

B.直线x=?兀是函数y=/（x）图象的一条对称轴

6

C.点（|兀，是函数y=/（X）图象的一个对称中心

D.函数二不一看）为奇函数

10.在平面直角坐标系X0Y中，已知点M（2,-1）,N（-2,1）,动点P满足

\PM^-\PN^=a（aeR）,记点P的轨迹为曲线C,则（）

A.存在实数。，使得曲线C上所有的点到点（1,0）的距离大于2

4

B.存在实数“，使得曲线。上有两点到点（-石，0）与（逐，0）的距离之和为6

C.存在实数。，使得曲线C上有两点到点（-行，0）与（逐，0）的距离之差为2

D.存在实数a,使得曲线。上有两点到点（a,0）的距离与到直线x=-a的距离相等

11.在正方体ABC。-44GA中，E,尸，M分别为棱BC,a>,CG的中点，P是线

段4G上的动点(含端点)，则()

A.PMVBD

B.AC"/平面EFM

C.PE与平面A8CO所成角正切值的最大值为2起

D.当尸位于G时，三棱锥尸-CEE的外接球体积最小

12.已知对任意x,ye(0,2),(工一厅―3怜(1-4+3芯-6恒成立，贝()()

］49

A.x+y>2B.-+—

7Xy2

C./+3xyW4D.(2x+l+J2y+1W2百

三、填空题

13.(l—2x)(l+x)4的展开式中，/的系数为.

14.已知函数/(幻满足：①/(0)=0；②在［1,3］上是减函数；③/(l+x)=/(l—x).

请写出一个满足以上条件的/(x)=.

15.已知四棱锥P-ABCO的体积为匕底面A8CD是平行四边形，E，F分别为棱

PC,尸。的中点，则四棱锥p—ABEF的体积为(用V表示).

四、双空题

16.二进制是广泛采用的一种数制，我国古老的易经中就有二进制的思想.二进制数据

是用。和1两个数码来表示的数.它的基数为2,进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借

一当二”.例如二进制数1011表示十进制数IxT+0x2?+1x2'+1=11,现有五个二进制

数101,1100,11001,10111,111111,其中十进制为偶数的是；从中随机选取

两个数，它们的和不大于35(十进制)的概率为.

五、解答题

3

17.在①3。=。。且A£>=及，②平分的C且AO=-,③且

2

AD=2这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.

是否存在AMC,其中角A,3,C的对边分别是a",c,若4=工，。=百，点。

3

在线段3c上，?若存在，求AABC的周长；若不存在，请说明理由.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18.某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量

y(单位：千克)与该地当日最低气温》(单位：。。)的数据，如下表：

X258911

y1210887

(1)求出y与x的回归方程(=2%+联；

(2)判断y与X之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6c，请

用所求回归方程预测该店当日的销售量；

(3)设该地1月份的日最低气温X〜其中〃近似为样本平均数"人近

似为样本方差S2,求P(3.8<X<13.4).

»/一时

附：①回归方程;中，I----------，a=y-bx-

fx"n(x)2

i=l

②而“3.2，V32®1.8.若X〜则P(〃—b<X<〃+cr)=0.6826,

P(//-2cr<X</J+2cr)=0.9544.

19.已知数列｛a,J的前〃项和为S“，&=4，2S„=n(a„+l)(neN*).

(1)求数列｛q｝的通项公式：

(2)对任意加eN*，将数列｛6,｝中落入区间⑶"，9)内的项的个数记为粼，求数列

｛九｝的前，“项和I”.

20.在平面直角坐标系xOy中，设尸为椭圆C：二+4=1(。>6>0)的左焦点，左准线

ab"

与X轴交于点尸，M为椭圆C的左顶点，已知椭圆长轴长为8,且丽=2砺.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若过点尸的直线与椭圆交于两点A,8,设直线A尸，8b的斜率分别为人，&.

①求证：4+修为定值；

②求△A3E面积的最大值.

21.如图，在长方体A5CO—A4C；。中，AC,BD相交于点。，尸是线段A3的中

点，已知AB=8C=4，M=2.

（2）若N是线段尸3上异于端点的点，求过与，N,O三点的平面被长方体所截面积的

最小值.

22.己知函数於）=度十（其中e为自然对数的底数）.

（1）当。=1时，求证：函数人口图像上任意一点处的切线斜率大于g；

（2）若/OAglna+D+cosx任意xCfO,+oo）恒成立，求实数a的取值范围.

试卷第6页，总6页

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参考答案

1.B

【分析】

由中元素求出x+y,重复的不另算，即可得.

【详解】

xeAyeBfj寸，x+>的值依次为5,6,6,7,7,8,有4个不同值，即C={5,6,7,8},因此C

中有4个元素.

故选：B.

2.D

【分析】

利用二项分布的方差公式可求得。的值，利用二项分布的期望公式可求得E(X)的值.

【详解】

已知随机变量X~B(5,p),则D(X)=5〃(1—p)=$可得p2—〃+；=0,解得p=g.

因此，E(X)=5xg=g.

故选：D.

3.D

【分析】

由向量垂直得数量积为0求得参数X,然后由向量夹角的坐标运算求解.

【详解】

因为根_1_〃,所以〃2・〃=2-4=0,4=2,则加一〃=(—1,3),

-■-———〃)•〃—2—3V2_,__

8s<‘"一"'〃>=瓦丽=而忑=一3’又<吁〃，""[°，江所以

一一一3乃

<m-n,n>=——.

4

故选：D.

4.C

【分析】

假设选其中一人，然后进行推理，得三人建议都采纳了她符合要求.

答案第1页，总19页

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【详解】

若选小宋，根据英语老师的话，是选小宋，不选小李，则语文老师的建议没有采纳；

若选小李，根据英语老师的话，是选小李，不选小宋，则语文数学老师的建议都采纳了，语

文老师的话相当于选了小宋，则也要选小李.因此选小李，不选小宋.

故选：C.

5.A

【分析】

设P(x,y),根据题意有J(x+1)2+y2.1)2+y2=],代X=()排除C、D,通过奇偶

性排除B.

【详解】

解:设P(x,y)

因为124HpM=a,A8坐标分别为(-1,0),(1,0),且a=i

所以J(x+l『+y2.Jdf+O=]

当x=0时，上式等式成立，即点(0,0)满足|/%卜归却=。，故排除C、D.

当一X代替X时J(-x+])2+y2.J(—x_l)2+y2=J(x-l)2+y2.J(x+l)，+y2=1

即图形关于)'轴对称，排除B.

故选：A.

【点睛】

应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法

(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；

(2)求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分

利用奇偶性构造关于/(x)的方程(组)，从而得到"X)的解析式；

(3)求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据/。)±/(-乃=0得到关于待

求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；

(4)画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间

上的单调性.

6.B

答案第2页，总19页

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【分析】

根据“半衰期”得a=5730,进而解方程o,79=(g)而得6—1948.2,进而可推算其所处

朝代.

【详解】

5730

由题可知，当1=5730时，P=-,故=丁，解得a=573(),

22⑴

所以P=旃1A5730

,所以当尸=0.79时，解方程0.79=2j

两边取以2为底的对数得log,0.79=log,jI?730

----«-034,解得t~—1948.2,

5730

所以2021-1948.2=72.8e(-202,220),

所以可推断该文物属于汉朝.

故选：B

【点睛】

本题考查指数运算与对数运算，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据半

衰期计算得a=5730,进而解方程0.79=(g］嬴.

7.B

【分析】

用错位相减法求得复数z后可得虚部.

【详解】

因为z=1+2i+歼+…+2O2Oi2019+202li2020,

20202021

所以iz=i+2i?+五3+…+2O2Oi+202li,

1_；202l

相减得(1—i)z=1+i+i?+…+i2020-202li2021=-----202li=1—202li,

1-i

l-2021i(l-2021i)(l+i)1+i-2021i-202优

=1011-1010i,虚部为

l-i-(l-i)(l+i)2

-1010.

答案第3页，总19页

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故选:B.

8.C

【分析】

设g(x)=sinx-7(x),将所求不等式变形为g(x+万)WO,分析函数/(x)的单调性与奇

偶性，然后逐项检验可得出合适的选项.

【详解】

由sin乃)》0可得sin(x+万)•/(%+»)=—sin,

令g(x)=sinx•/(x)，则原不等式等价于g(x+乃)W(),

函数g(尤)的定义域为R,g(-x)=sin(-x)-/(-%)=-sinx-/(x)=-g(x),所以，函

数g(x)为奇函数，

因为偶函数/(x)在［0,中功上单调递增，且/(万)=,f(f)=0,

由/(x)W0,即/(附4/(万)，可得W4万，解得乃，

由/(力20,即/(国)2/(%)，可得凶24，解得乃或尤

对于A选项，当一2万4不«0时:—71<X+7V<7T,

若一"Wx+;rW0,则g(x+%)=sin(x+%>/(x+%)20,不合乎题意；

对于B选项，当0<》<2乃时，71<X+71<371,

若2"〈》+万〈3万，则g(x+;r)=sin(x+;r)-/(x+7r)N0,不合乎题意；

对于C选项，当一乃WxW不时，04%+万〈2%，

若0«%+%4万，则g(x+万)=sin(x+»>/(x+»)W0,

若兀Wx+兀W2兀，则g(x+%)=sin(x+;r>/(x+万)W0,合乎题意；

对于D选项，g(苧)=sin竽•/(芳)>0,不合乎题意.

故选：C.

【点睛】

方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不

等式来求解，方法是：

答案第4页，总19页

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（1）把不等式转化为/[g（H]>/[〃（%）]；

（2）判断函数/（x）的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号脱掉，得到

具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.

9.ACD

【分析】

由图得:T==（可判断A；由。=申和[春,2）在图象上得夕,

可判断C；由/（幻=25吊（2%+?）得/卜一高的解析式可判断D.

【详解】

由图得A=2,==p所以T=万，故A正确;

2424_

co——二——2，/(x)=2sin(2x+s),

T71

由在图象上，得2sin|2*二+0|=2得2x--\-(p=—卜2k兀,k&Z,

112)I12J122

°=三+2攵万，k&Z,所以葛)=2$m〔2'葛+?+2k乃)=0,(%€Z),

故B错误，C正确;

因为/(x)=2sin|2x+目,所以f1r-j)=2sin

二2sin(2x)=2sin2x,

B2sin（-2x）=-2sin（2x）,xeR,故D正确.

故选：ACD.

【点睛】

本题考查了三角函数图象和性质，关键点是由图象得到解析式，考查了学生图象的识别和计

算能力.

10.BD

【分析】

先求出C的方程，然后求出选项A,B,C,D给定条件对应的轨迹方程，最后探讨它们的

关系而得解.

答案第5页，总19页

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【详解】

设点P(x,y),由|PM『-|PN|2=“得[(x—2)2+(y+l)2]—[(x+2)2+(y—l)2]=a,即

2x-y+-^0,曲线C是斜率为2的动直线，

4

aI2-1--+-I

对于A选项：点(1,一)到直线C的距离为।44_2即曲线C上存在点与

4一+/飞

(1,@)距离小于2,A错误；

4

对于B选项:因26<6，则到点(-75,0)与(75,0)的距离之和为6的轨迹是中心在原点，

22

长轴长为6的椭圆土+匕=1,

94

“=0时，直线C：产2x与这个椭圆有两个交点，即B正确；

对于C选项:因2后>2，则到点(-JF,0)与(底0)的距离之差为2的轨迹是中心在原点，

2

实轴长为2的双曲线2_=1(X>0)右支，

直线C：2x-y+@=0与此双曲线渐近线2%->=0平行，直线C：尸2x与这个双曲线右支最

4

多有一个公共点，即C错误；

对于D选项：时，到点(。，0)的距离与到直线x=-a的距离相等的点的轨迹是顶点在

原点，焦点在x轴上的抛物线y2-4ax,

由1-4消去x得产一2"，+J=0,A=(2a)2—4」-幺=2/>0,当。。()，

y2=4ax

直线C与抛物线交于两点，D正确.

故选：BD

【点睛】

关键点睛：圆锥曲线定义是研究曲线形状、求曲线方程的关键.

11.AC

答案第6页，总19页

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【分析】

证明8D_L平面ACJA后可判断A,由线面平行的性质定理判断B,求出直线PE与平面

ABCO所成角正切值判断C,根据球体积公式判断D.

【详解】

正方体中侧棱A4与底面ABC。垂直，则A4与底面内的直线8。垂直，而正方形的对角

线AC与8。垂直，AC与是对角面ACG4内两相交直线，因此有6。与平面

ACG4垂直，当然垂直于此平面的直线PM,A正确；

设ACnBD=O,EFCAC=H,如图，若ACJ/平面MEF，是过AG的平面

ACC/与平面”石户的交线，则AG〃M”,但由正方体性质知。是AC中点，M是CG

中点，所以AG〃M。，而MO与相交，这是不可能的，B错；

如图，易知P在平面ABCD上的射影N在AC中，连接NE,则NPEN是PE与平面

PNa

ABC。所成的角，设正方体棱长为“，则PN=a,tanNPEN=—=——，EN的最小

NENE

1V2—7=-=2\/2

值是E到直线AC的距离=注，所以tan/PNE的最大值为0,

24-a

4

C正确；

正方体中，设〃KJ_平面ABCD，交AG于K（由面面垂直的性质定理可得K是AG上），

易知H是△C即的外心，因此P-CE尸的外接球的球心一定在"K上，设为0',高

OP=OE=R，正方体棱长为。，则一PK?+YRJEH?=KH=a，

la^-NH2=a2+PK2-NH2-其中N”=?a，所以当PK=O时，R最小，此时

P,K重合.D错.

故选：AC.

答案第7页，总19页

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【点睛】

关键点点睛：本题考查线面垂直的性质定理，线面平行的性质定理，直线与平面所成的角，

棱锥的外接球问题，需要对每个知识都能掌握并运算，属于中等难度的题目.解题关键是掌

握正方体的性质，掌握正方体中的直线、平面间的平行、垂直关系，由此才能正确快速地求

解.

12.BD

【分析】

不等式变形，构造函数，由导数确定单调性，由此得x+y<2,判断A,

利用x+y42,结合基本不等式证得B成立，取特值，说明C错误，利用柯西不等式证明

D正确.

【详解】

不等式变形为(x--3。-1)2(1-y)3-3(1-y),

设/,(幻=/一3%，则《(%)=31一3=3。-1)0：+1),易知一1<》<1时，/,(x)<0,/(x)

递减，

x,ye(0,2)又，所以x-lG(-1,1),l-ye(-l,l),由函数的单调性得x-lWl-y,即

x+y<2,A错；

']4、4xv|4xv4xv

-+-(x+^)=5+—+->5+2j—X2-=9,一=上即y=2x时，等号成立，

\xy)yx\yxyx

答案第8页，总19页

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149

又0cx+y<2,所以一+一、不，B正确；

xy2

3Q171

例如x=2，y=药满足题意，但_?+3个=语>4,C错；

(J2x+1+J2x+1)2=(J2x+1x1+,2x+lxI)2<(2x4-1+2y+1)(14-1)=4(x+y+1)<12

所以J2x+1+J2x+1W2百,D正确.

故选：BD.

【点睛】

关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，考查基本不等式和柯西不等式的应用.解

题关键是构造新函数f(x)=x3-3x,由导数确定函数的单调性一，从而把已知不等关系化

简，然后利用它结合基本不等式、柯西不等式等判断各选项.

13.-2

【分析】

求出(1+X)4展开式中炉和X的系数，然后由多项式乘法得结论.

【详解】

(l+x)4展开式通项公式为=禺£,所以所求丁系数为一2。：=一2.

故答案为：—2.

14.-X2+2X

【分析】

由/(l+x)=/(l—X)可得/*)关于X=1对称，所以写一个开口向下，对称轴为x=l,且

过原点的二次函数即可.

【详解】

由/(I+X)=/(I-X)可得/(X)关于x=1对称，

所以开口向下，对称轴为X=1,且过原点的二次函数满足题目中的三个条件，

故答案为：-x?+2x

【分析】

答案第9页，总19页

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V

连接FB,FC,然后结合条件得到匕-seo=~，V"BCF=工V即可.

【详解】

连接EB,FC,因为E,尸分别为棱PC,PD的中点，

所以VF-ABCD=~=%丫，VF-BCE=~VF-PBC=~VD-PBC=~%-BCD=”

ZZZ44o

113

=VVV=V

所以^P-ABEF=VP-ABCD-VF-ABCD~VF-BCE：

~7Z~oQoQ

_3

故答案为：-V

o

【点睛】

关键点睛：解答本题的关键是将该四棱锥分成三部分，然后找出它们体积之间的关系.

2

16.1100-

5

【分析】

把它们都化为十进制后，可得偶数，用列举法写出任取2数的所有基本事件，得和不大于

35的基本事件，从而得概率.

【详解】

五个二进制数101,1100,11001,10111,111111对应的十进制数为5,12,25,23,63,

其中偶数是1100,

任取2个数的所有基本事件为：5,12；5,25；5,23；5,63；12,25；12,23；12,63；25,23；

25,63；23,63共10种，其中和不大于35的有5,12.5,25,5,23,12,23四种,

42

因此概率为P=—=—.

105

答案第10页，总19页

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2

故答案为：1100；—.

5

17.答案见解析

【分析】

由余弦定理得戾c关系，

-----1-----------------

选①时，把中线向量表示为A£）=2（AB+AC）,平方可利用中线长得伉。的另一关系式,

从而可求得〃+。2和be,凑配出b+c,是三角形周长；

选②时，应用50叱=5仙m+5凶6,把面积表示后同样得另一关系式，结合起来求得h+c

得周长；

选③时，利用三角形面积公式求得人C,然后可得〃+。2,由基本不等式判断不存在.

【详解】

TT

解：因为A=一,由余弦定理可得a2=c2+〃—2%cosA，BPc2+&2-/,c=3.

3

选①时，因为BD=CD,所以=

平方可得2=1（。2+加+»ccos4）,即1+k+仇'=8,

所以/+/??=二，be=—»所以b+c=\lc2+/?2+2bc=,

222

所以AABC的周长为始+6.

2

选②时，因为A。平分NBA。，所以SMBC=SM^+SMCQ，

即！〃csin^Afhsin3十，《.AO・sin二,化简得6儿=3（。+0,

2326262

又因为/+从一加=3,即（c+r）2—3加=3,

所以S+c）2-¥（b+c）=3,解得b+c=2G，

所以AABC的周长为3月.

1TT1

选③时，因为所以解得权＞=4,所以。2+从=7,

因为。2+从、2秘=8,不成立.

所以不存在△ABC.

答案第11页，总19页

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【点睛】

关键点点睛：本题考查余弦定理，考查三角形面积公式，平面向量的模的数量积表示等等.解

题关系是中线长或角平分线长、高的应用，把它们与边长联系，从而得到求得b+c的

目的.

239

18.(1)y=-0.56%+12.92(2)负相关，—(3)().8185

25

【详解】

人_1。35r—1。45c

(D：令〃=5,彳=-±七=T=7,y=-^yj=—=9,

5〃仁5

-*•Z(Q)一时=287—5x7x9=—28

(=i

〃⑴2=295-5x7?=50

/=!

--28

:•b=-------=—0.56

50

Aa=y-^x=9-(-0.56)x7=12.92(或者：瞪)

，所求的回归方程是9=-0.56x+12.92

⑵由占=-0.56<0知y与X之间是负相关，

将X=6代入回归方程可预测该店当日的销售量y=-0.56X+12.92=9.56(千克)

(或者：皆239)

(3)由(1)知〃=于=7,又由

0-2=?=-[(2-7)2+(5-7)2+(8-7)2+(9-7)2+(11-7)21=10

5L-

得cr=3.2

从而尸(3.8vX<13.4)=P(〃-bvX<〃+2cr)

=P(ju-cr<X</z)+P(ju<X<//+2cr)

=—P(/d-a<X<//+cr)+—P("-2avX<〃+2b)

=0.8185

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32”向-4.3”+1

19.(1)4=3"-2(〃eN‘)；(2)Tm=

8

【分析】

(1)用“一1代入2S,,=〃(％+1)中的“一等式,，两式相减得｛%｝的递推式，再用同样的方

法消去常数可证得数列｛4｝是等差数列，计算出卬后可得公差，从而得通项公式;

(2)解不等式3"</<9"',得正整数〃的个数，即得〃“，然后用分组求和法求得和

【详解】

解:(1)因为2S.=〃(《,+1)①，所以2sM=(〃-l)(a“T+l)(〃22)②,

①一②得("-2)a“+1=0(〃22)③,

所以(n-3)41-("-2)q_2+1=0("23)④，

③一④得(«-2)。“-2(〃-2)《1T+(n-2)a„_2=0(〃23),

所以凡+q一2=2a,i(〃23),所以仅“｝为等差数列，

又4=1,a?=4,故公差4=4-1=3,

所以a”=1+3(〃-1)=3”一2(neN*).

m2ra

(2)若3"<an<T,贝!|3"'<3n-2<9"'，即3-'+j<n<3-'+j.

又〃wN’,所以3"i+lW〃W32"T,所以超=32mT-3"一

于是与=〃+3+"=(3+33+35+…+32*1)—(1+3+32+.“+3»1)

__1一3”_32"'+i-46"+l

-1-91^3~8,

【点睛】

本题考查求等差数列的通项公式，裂项相消法求和.数列求和的常用方法：

设数列｛a,,｝是等差数列，｛2,｝是等比数列,

(1)公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；

(2)错位相减法：数列伍屹"的前〃项和应用错位相减法；

,1、

(3)裂项相消法；数列｛------｝(人为常数，4H0)的前〃项和用裂项相消法;

4%

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（4）分组（并项）求和法：数列｛pa“+qd｝用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间

等特征时可能用并项求和法；

（5）倒序相加法：满足金+4_,”=A（A为常数）的数列，需用倒序相加法求和.

„22

20.（1）—+^=1；（2）①证明见解析；②最大值为3g.

【分析】

2

（1）由丽"=2砺，得1pMi=2|加耳，由此可得^--a=2（a-c）,再由a=4求得。后

再求得人值，可得椭圆方程；

（2）①设A8：x=%y-8,设A（%,%）,8（毛，功）,直线方程代入椭圆方程后应用韦达定理

得y+%，%%，代入%+k2可得结论；

②计算面积得S△加=S~SA/W-41s.iy-%|=今写，把而二作为一个整

23m+4

体（可换元），由基本不等式可得最大值.

【详解】

2

解：（1）因为2a=8,所以a=4,又加'=2诉，所以^--a=2（o-c）,

c

X22

所以c=2,从=12,所以椭圆C的标准方程为二+2v-=1.

1612

（2）①当A8的斜率为0时，显然4=七=0,4+&=0.

当AB的斜率不为0时，设AB：x=my-8,

x=my-8,

由Ify2得（3根？+4）y2-48根y+144=0,

—+—=1,

11612

设4百，弘），8（“2，%），故有3+%=3.+4，=3*+4'

所以—上+上=^^=）］（〃叫-6）+%。孙-6）

%+2%+2my\-6my2-6（川+2）（x2+2）

因为州（阳2-6）+%（如-6）=2myty2-6（y,+%）=0，所以仁+&=°-

综上所述，恒有4+&=0为定值•

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②SMBF=一S»"=/1PF|•|y-%|=7??4，

23m+二4

/—；—72〃2一472172后

nc_72vm~—4____2—77_TT=—.-------72—W—T==3A/3

即n履人"一一—--3(^-4)+16J~2~7162748，

3m~+437m一今十丁

16

当且仅当3,相2-4=/,即m=±还1时取等号(此时适合△〉())，

Vm2-43

所以AABF面积的最大值为3

【点睛】

方法点睛：本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交，定值与面积最值.最值的解

题方法是设而不求的思想方法，设直线方程，设交点坐标，直线方程与椭圆方程联立消元后

应用韦达定理，得%+%，%%，然后求出三角形的面积，得参数的函数，结合基本不等式

或函数性质可得最值.

21.(1)证明见解析；(2)最小值为46.

【分析】

(1)连接线尸，OP，A?，证明出，平面尸当。即可证明结论；

(2)延长ON交。。于E，过四，N,。三点的平面与平面中G2的交点为尸，

交线为qF,连接放，则截面为N瓦4，进而可得四边形NE/q为平行四边形NE/包.底

面A8CD中，过3作EN的垂线，垂足为H,设NENP=a(2<a<2),再根据边角关系

42

求解S四边形NEFB,=B]H•EN.

【详解】

解：(1)连接始P'OP，AP，易证OP〃AD,

又因为AO,平面AB当4,所以OPL平面当4,

因为PA,u平面A83IA，所以

在矩形43当4中，P是线段AB的中点，AB=BC=4,AA.=2,

所以尸4=PA,=2夜，所以尸42+52=43：,所以

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又因为。尸02用=尸，

所以PA—平面P80，所以。耳，尸4