数学教案：第二讲矩阵

第二讲矩阵

考试内容

矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幕矩阵的转置逆矩阵的概念和性

质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵

的等价分块矩阵及其运算

考试要求

1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称

矩阵以及它们的性质.

2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的舞.

3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的

概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.

4.理解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概

念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法.

5.了解分块矩阵及其运算.

§1知识提要

一、矩阵的基本概念

1、矩阵的基本概念

(1)矩阵的定义称由加x〃个数为(i=1,2,…，机"=1,2,…排成的加行〃列的数表

a\\"12a\n

A=%密%

am2

为mX〃矩阵，mXn矩阵A简记为A=或A=(与)或A.nm,，%称为A的第i行第j

列元素.

元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵.

(2)方阵行数与列数都等于〃的矩阵称为〃阶矩阵或”阶方阵.〃阶矩阵A记作

(3)行矩阵和列矩阵

只有一行元素的矩阵称为行矩阵(或行向量)，记作

I

A=(al,a2,---,an).

只有一列元素的矩阵称为列矩阵(或列向量)，记作

B=：.

也，

(4)零矩阵元素全为0的矩阵称为零矩阵，记作。.

(5)矩阵相等若两个矩阵的行数相等、列数也相等，就称它们是同型矩阵.若4=(%.)“*”,

8=(%)…，且他="(，=1,2,…，加"=1,2,…,〃)，则称A与5相等,记作A=3.

2、几个特殊的矩阵

(1)对角矩阵

o...0、

0%•••0

/=diag(4,4,•・,4,)=::

•••A,

、00nJ

(2)数量矩阵

'20…0、

0z...0

2E=

、00…%

(3)单位矩阵

’10•-0、

01•.0

E=

、o0•

(4)三角形矩阵

a\2,1,4”、

0a22."ain

上三角形矩阵4=

;00・"a„n,

2

0..0、

。21«•-0

下三角形矩阵A=22

%2・,ann/

二、矩阵的运算

1、矩阵的运算

(1)矩阵的加法设A=(%),“*“，B=(bg)则A+B=(为+

运算规律

(i)A+B=B+A；

(ii)(A+8)+C=A+(B+C).

注意：只有同型矩阵才能相加.

设4=(囹)，记一A=(-%)，称—A为A的负矩阵.

显然A+(―A)=O.

规定A-8=A+(—8).

(2)数与矩阵相乘数X与矩阵A=(%)的乘积，记为％4或/U,规定;IA=Q%).

运算规律

(i)(4/)A=4(〃A)；

(ii)(2+〃)A=/lA+〃A,2(A+B)=2A+2B.(可推广)

注意：用数；I乘以矩阵A=(%),要用；I乘以矩阵A中的每一个元素，而不是用；I乘以矩

阵4中的某一行或某一列元素，这与用数2乘以行列式同是不同的.

(3)矩阵与矩阵相乘设A=,B=(与晨“，则规定A与5的乘积为C=(%),“*.,

其中

%=aiAj+42电+…+恁％=%4屹为(i=1,2,…，机"=1,2,…,〃),

i=l

记作C=AB.

注意：(i)只有当左边矩阵A的列数等于右边矩阵8的行数时，AB才有意义.

(ii)AB的行数等于A的行数，A8的列数等于8的列数.

3

(iii)AB一般不等于A4,即矩阵乘法不满足交换律.若AB=R4,称A与8可交换.若

方阵A可与所有同阶方阵可交换，则A必为数量矩阵.

(iv)由45=0不能推出A=0或3=0.例如4=11],B=P

10ojUoj

(V)由48=AC不能推出3=C.例如A=P一口，5=11°|,C=|2°|.

10OjUOj12Oj

运算规律

(i)(A5)C=A(BC)；

(ii)2(AB)=(2A)B=A(2B)(6为数);

(iii)(A+B)C=AC+BC,C(A+B)=CA+CB.(可推广)

单位阵在矩阵乘法中的特殊性

E,"A«x„=A„x„E,=A1m”,简写成E4=AE=A-

方阵的幕设A是〃阶方阵，A的幕规定如下：

A'=A,A2=A'A',---,Ak+i=AkA'.

运算规律

A"/=A*A',(A*y=A",(k、/为正整数).

但一般地，当A与8可交换时，(A8y=A"8".

(4)矩阵的转置矩阵A的行与列互换后所得到的矩阵，叫做A的转置矩阵，记作AL

运算规律

(i)(A，)T=A；

(ii)(A+B)r=Ar+Br；(可推广)

(iii)(2A)r=AAr(6为数);

(iv)(48)7=**.(可推广)

对称矩阵设A为〃阶方阵，若"=A，即%=%(i,j=1,2,…,〃)，则称A为对称

矩阵，简称对称阵.

4

反称矩阵设A为〃阶方阵，若4'=一4,即％=-%(i,/=l,2,…,〃)，则称A为

反称矩阵，简称反称阵.

对称矩阵的性质

(i)若A,B为同阶对称阵，则A±B,/L4亦为对称阵.

(ii)若A,8为同阶对称阵，则为对称阵的充要条件是A与8可交换.

(5)共趣矩阵设A=(%)，记Z=(4),称1为A的共趣矩阵.

运算规律

(i)A+B=A+B；(可推广)

(ii)A；

(iii)而=入方.(可推广)

2、矩阵运算的两个重要应用

(1)线性变换的矩阵表示

设Xi，w，…,天,如必，…,笫为2〃个变元，4。,/=1,2「一,〃)为〃2个常数，称表达式

X=%西+%2々+…+4”怎

%=。2西+%工2+…+

{yn=anlx,+an2x2+---+annxn

为线性变换.

a2\X2

A=....fx=,y=

,,aMl)(X,i,IyJ

由矩阵乘法的定义及矩阵相等的定义，得线性变换的矩阵形式

y=Ax.

称A为线性变换的系数矩阵.

(2)线性方程组的矩阵表示

5

+a12x2H-------Fa]tlxn=bx

。2内+。22工2+…+。2"七-8（称之为线性方程组的一般形式）,

设有线性方程组4

a

,n\X\+am2x2+---+amnxn=bm

若令

A

则由矩阵乘法的定义及矩阵相等的定义，得线性方程组的矩阵形式

Ax=b.

称A为线性方程组的系数矩阵.

若令

则由数乘矩阵的定义、矩阵加法的定义及矩阵相等的定义，得线性方程组的向量形式

xxax+x2a2+•••+xnan=b.

若令

a】=（4i，62,…，%=（%i，%，•••，%）…，=（4川，42,…，％）%=（%，々，…，玉）

则由矩阵乘法的定义（或向量内积的定义），得线性方程组的内积形式

a}x=b\,

a[x=b],

a＞：*

三、矩阵的逆

1、逆矩阵的定义对于”阶矩阵A,若存在〃阶矩阵8,使得

AB=BA=E

则称矩阵A是可逆的，并称8为A的逆矩阵，简称逆阵，记为8=4,

逆阵的唯一性：如果矩阵A是可逆的，那么A的逆阵是唯一的.

6

2、逆矩阵的性质

(1)若A可逆，则*也可逆，且(A-I)T=A.

(2)若A可逆，数；IHO,则4A可逆，且(/L4尸

A

(3)若A可逆，则A7■也可逆，且(A7■尸

(4)若A、8为同阶可逆矩阵，则A3亦可逆，且(45尸=8一四，(可推广)

3、伴随矩阵

(1)伴随矩阵的定义行列式⑶的各个元素的代数余子式与所构成的如下方阵

441…4、

.*A242AI2

A=..

、A"A”Am>

称为矩阵A的伴随矩阵，简称伴随阵.

(2)伴随矩阵的性质

(i)A4*=A*A=|A|E；

sn_2

(ii)(A/=|A|A(n>2);

(iii)|A*|=|A『T(〃N2)；

(iv)(A，)*=(A*)，；

(v)若A可逆，则(A*)T=(k)*；

(vi)(AB)*=8*A*均为〃阶方阵)；(可推广)

（vii）（公）*=〃iA*（k为数,A为〃阶方阵）.

4、矩阵可逆的充要条件

(1)”阶方阵A可逆o网。0,且A-：)(逆阵公式).

(2)”阶方阵A可逆o存在〃阶方阵3,使48=七或氐4=6.此时，A：'=B.

5、逆矩阵的求法

(1)方法———伴随矩阵法(利用逆阵公式)

7

(2)方法二——初等变换法

四、矩阵的初等变换与初等矩阵

1、矩阵的初等变换

(1)矩阵的初等变换的定义下面三种变换称为矩阵的初等行(列)变换：

(i)对调两行(列)(对调i"两行记作号一。，对调两列记作Jee,)；

(ii)以数A工0乘某一行(歹ij)中的所有元素(第i行乘2记作7x上，第j列乘&记作qx%)；

(iii)把某一行(列)所有元素的2倍加到另一行(列)对应元素上去(第/行的Z倍加到

第i行上记作n+kr-第」列的攵倍加到第i列上记作j+kq).

矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换.

(2)初等变换的可逆性

三种初等变换都是可逆的，且有

4crj(qccj的逆变换：八c5(qccj；

zjxZ:(qxA)的逆变换：弓x(»

q+krj怎+%)的逆变换:r；+(一无)。(c?+(-J

(3)矩阵等价若矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B,就称矩阵A与8行等价，记

作若矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵8,就称矩阵A与8列等价，记作A;B；

若矩阵A经有限次初等变换变成矩阵8,就称矩阵A与8等价，记作A~6.

矩阵之间的等价关系具有下列性质：

(i)反身性A〜A；

(ii)对称性若A〜B,则8〜A；

(iii)传递性若A〜B,B-C,则4~。.

定理任意一个mx〃矩阵4经过有限次初等变换，总可以化为如下标准形

'E,a*("-r)、

其中为E,为r阶单位阵，r=R(A).

定理两个同型矩阵A,8等价的充要条件是R(A)=H(B).

8

2、初等矩阵

(1)初等矩阵的定义由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.

三种初等变换对应三种初等矩阵.

(i)对调两行或对调两列.把单位矩阵中第两行对调(第两列对调)，得初等矩阵,

记为£。力.例如

‘010]

心(1,2)=100.

、001,

(ii)以数人。。乘某行或某列.以数左。0乘单位矩阵E的第i行(列)，得初等矩阵，记

为E(i(k)).例如

'100]

E,(2(3))=030.

、00

(iii)以数Z乘某行(列)加到另一行(列)上.以数左乘单位矩阵E的第.)行加到第i行上

或以数Z乘单位矩阵E的第i列加到第，列上，得初等矩阵，记为E田也)).例如

‘100]

E(31(2))=010.

30"

(2)初等矩阵的可逆性初等矩阵是可逆的，且

E(i,力t=E(i,j)；F(/U))-'=E(/(1))；E(ij(k))r=E(ij(-k)).

(3)初等变换与初等矩阵的关系

定理设A是一个〃矩阵，对A施行一次初等行(列)变换，相当于在A的左(右)

边乘以相应的，"(〃)阶初等矩阵.

(4)矩阵等价的描述

(i)设A,B是机X”矩阵，则A与8行等价o存在若干个加阶初等矩阵匕鸟,…,乙，

使々鸟…《A=8.

(ii)设A,8是mx〃矩阵，则A与8列等价=存在若干个”阶初等矩阵Q1,。2,…，2,

使4。©2-2=5.

9

(iii)设A,B是加矩阵，则A与B等价o存在若干个加阶初等矩阵6，鸟,…，巴和

若干个n阶初等矩阵a，。2,…,2,使耳鸟…劣AQ|Q…2=B.

(5)矩阵可逆的充要条件

(i)〃阶方阵A可逆O网。0(或R(A)=〃，或A的行或列向量组线性无关)，且

(ii)〃阶方阵4可逆O存在〃阶方阵8,使45=£或区4=石.此时，A：'B.

(iii)〃阶方阵A可逆o存在若干个〃阶初等矩阵2,Q2,…使A=O02…

(iv)〃阶方阵A可逆oA与E等价.

(v)〃阶方阵A可逆OA的〃个特征值都不等于0.

(6)逆矩阵的求法一初等变换法

（A,E）~（E,A-1）.

(7)矩阵方程AX=B(A可逆)的解法——初等变换法

思考：如何用初等变换法解矩阵方程XA=B(A可逆)？

五、分块矩阵

1、分块矩阵的定义所谓矩阵分块，就是将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵,

每个小矩阵称为A的子块，以这些子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.

0

0003）

例如，A00

000-10Of

0

0

00G42

00oE2

00

10

则人=⑷吗,如%)-

两种常用的分块法

设A=(%)mx„，

(1)记a：=(%,生，…，4”)(i=L2,…,=),则4=I

、匕,

(勺、

a2i

(2)i己勺=.(j=1,2,■••,«),贝!JA=(4,4，一、。").

1明

2、分块矩阵的运算

(1)设A与3有相同的行数和列数,且采用相同的分块法,即

A八B,}

A，B

A,B”BJ

其中，Vi=l,2,…,s"=l,2,…,rA..与B.的行数与列数分别相同,则

‘4+41…A,+4J

A+B=

、4|+为…4+8",

4--41・・・

(2)设4为任一数，A.:，则2A=:

<AlAr>

(3)设A是mx］矩阵，8是/X〃矩阵，分块成

⑶…A,)'练…%、

A=:，・:,B=»

-4/J

1AS1・・1当…

Vi=1,2,…,s"=1,2,…,4,4，…，4的列数分别等于%，%，…,B"的行数，则

11

-cj

csr>

其中J=E4"练(i=1,2,…,s;/=1,2,…,r).

A,4八4…a]

(4)设4=：，则A'=：

14Ar?

A、

(5)设4=A，其中A,（i=l,2,...,s）都是方阵，那么称A为分块对角

\)

阵.若A,（i=l,2,…,s）都是可逆阵，则A也可逆，且有AT甸

3、分块矩阵的行列式

（1）广义对角行列式（分块对角阵的行列式）设A，…,4都是方阵，则

A

%..=14mHAI

A

（2）分块三角行列式设A为〃阶方阵，8为加阶方阵，则

o，网网，伍网*=（一1严|修网，日，㈠严⑶外

六、矩阵的秩

1、矩阵的秩的定义

设A是一个“2X〃矩阵，任取A的攵行与左列（左<〃2,左<〃）,位于这些行列交叉处的k2

个元素，按原来的次序所构成的左阶行列式，称为矩阵A的攵阶子式.

设4是一个用x〃矩阵，如果A中至少存在一个非零的r阶子式。，且所有r+1阶子

式（如果存在的话）全为零，那么。称为矩阵A的最高阶非零子式，数「称为矩阵A的秩,

记作R(A).

12

’25-1、

例如，对于A=003,由于同*(),因此R(A)=3.对于

<04-2；

(123

12

8=0—1—11,由于8的所有3阶子式全为零，显然是8的一个二阶非

0-1

(0000)

零子式，因此R(B)=2.

一个重要结论:行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数;列阶梯形矩阵的秩等于非零列的列数.

2、矩阵的秩的性质

(1)0<R(A“X“)<min]/〃,〃}.

(2)H(A,)=R(A).

(3)若A〜8,则穴(A)=A(5).

(4)若以、Qn可逆,则R(PAQ)=R(A).

(5)max{/?(A),R(B)}<R(A,B)<7?(A)+R(B).特别地,当B=b为列向量时，有

7?(A)</?(A,/?)</?(A)+l.(可推广)

(6)R(A+B)<R(A)+R(B).(可推广)

(7)R(A5)<min{R(A),R(8)}.(可推广)

(8)若纥*/=O,则R(A)+R(B)<〃.

3、矩阵的秩的求法一初等变换法

依据“行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数；列阶梯形矩阵的秩等于非零列的列数”和

“等价的矩阵必定等秩”，可以得到利用初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等变换化为行

(列)阶梯形矩阵，则行(列)阶梯形矩阵中非零行(列)的行(列)数就是该矩阵的秩.

4、A的秩与A*的秩之间的关系

设A是一个”阶方阵.

(1)若R(4)=〃，则R(A*)=〃；

(2)若R(A)=〃一1(〃22),则R(A*)=1；

13

(3)若R(A)〈〃一1(〃22),则R(A*)=O.

14

§2题型精选

发型一排阵的运算

解题提示：熟练掌握、应用矩阵的运算律是求解矩阵运算问题的关键.

例1已知&=(1,2,3),/?=",；,；)，设4=</P，其中0，是。的转置，则A"=

1/21/3一

12/3,由矩阵乘

3/21

法的结合律，得

-11/21/3

4"=(/。=，缶/尸夕=3"-2，,=3"7212/3

33/21

-11/21/3

故填3”T212/3

33/21

I-11

例2设a为3维列向量，a，是a的转置，若a〃=—11-1则aTa-

1-11

【分析】设a=(4M2，/y，则a〃的主对角元分别为a：，a；,a；,故裙=竭=嫉

=1,所以a'a=a：+a；+a；=3.故填3.

例3设4,8,。均为〃阶矩阵，E为〃阶单位矩阵，若3=£+43,C=A+CA,则

B—C=().

(A)E；(B)-E；(C)A；(D)-A.

【分析】由3=七+43,C=A+C4,得(E-A)B=E,C(E—A)=A.可见£一4与

6互为逆矩阵，于是有B(E—A)=E.从而(8—C)(E—A)=E—A,而E-A可逆，故

B-C=E.故选(A).

例4设4=6-■工其中E是〃阶单位矩阵，。是〃维非零列向量，夕是《的转置.证

明：(1)A2=A的充要条件是长。=1；(2)当长自=1时，A是不可逆矩阵.

15

【证明】⑴A2=（E-=E2-=E-（2-,于是

42=405-（2_34设7'=5_劳丁。（1_34设7=0。夕4=］（因为4力0,

故皆、。）.

⑵方法一（反证法）：当月J=1时，A?=A,若A可逆，则14=ATA,即A=E,

这与A=E-^T/E矛盾，故4是不可逆矩阵.

方法二：因为A=E—皆’，故当"自=1时，=4-皆,4=4-4=0,这说明方

程组Ax=O有非零解因此R（A）＜〃，所以A是不可逆矩阵.

发型工求方阵A的方凌索A"

解题提示：主要方法有（1）若R（A）=1,则将A分解为列向量与行向量的乘积，再利用矩

阵乘法的结合律进行计算；（2）若A可对角化，即存在可逆矩阵P,使尸一“尸=八（A的

主对角元为A的全部特征值），则A'=PN'pT；（3）若A可分解为两个矩阵8与C之和,

即A=6+C,且民C可交换（8C=C8）,则A"=（B+Cy=力。：&。”-"，当8,C中

k=0

之一个较低次方幕为。时，此方法是有效的.特别地，当A=Z£+6时，A"=（AE+B）”

=k"E+C；k"iB+C**B?+…+B"；（4）数学归纳法.

-11r

例5设4=222,求A00.

_333_

【解】设a=（l,2,3）1尸=（1,1,1）"则A=a/?。由矩阵乘法的结合律，得

-11r

A,oo=（a#r）10°=如尚优=破邓*222.

_333_

-4aT

例6设矩阵A=010可对角化，试求。的值以及4".

-330

【解】由|花一川=（/1-1）2（/1-3）=0得4的特征值为4=4=1,4=3.

16

因A可对角化，故R(E—A)=3—2=1.而

--3-a-f--3一a-1

E—A=000—>0-3-a0

_3-31000

故a=—3.

解方程组(E-A)x=O得对应于4=4=1的线性无关的特征向量为刍=(1,1,0)7,

星=(-1,0,3)7.

解方程组(3E-A)x=O得对应于4=3的线性无关的特征向量为刍=(1,0,-1)「.

111

记尸=£4/3）=100则PZP=1,于是

o3-13

-11■To20-

An=P100-1-11

2

303-13"3-31

3"+|-13-3"+,3"-1

020

2

3-3n+13向一33—3”

321

例7已知A-10-1求工期.

123

200121

【解】因为A020+-2-12E+B,其中E为3阶单位矩阵，B=

002I2I

1211

-1-2-1.又3=-1[1,2,1],夕=0,故

I211

20092009200820092008

*009=QE+fi）=（2E）+2009（2E）B=2£+2009-2J8

'10o''121'

_22009010+2OO9-22008-1-2-1

001121

17

做型三求述共阵

解题提示：求逆矩阵的主要方法有（1）定义法：设A的逆矩阵为X,由AX=E或者M4=E

求出X;（2）公式法：A-1=（当〃23时，此法不宜）；（3）初等变换法：（A,£）~

（4）利用逆矩阵的性质求逆矩阵；（5）分块求逆法：若A能分块为以下类型之一

时,

B0BDBOOBDBOB

OCOCDCC0C0CD

其中B,C可逆，则可利用相应分块求逆公式进行计算.公式如下

B00BDB-i-B'DC'

0COC'OCOC'

B0B'00BOC~'

DC-C'DB'C1C0B'O

-1

DBOC'oB-C'DB'C'

C0B-'-B-'DC''，cD0

AA

例8设4,A,分别为加,〃阶可逆矩阵，试求A的逆矩阵.

A3A

XX]

【解】设A-I=，得

X3x4

AX+4X3=二E,“(1)

•+"3二二0(2)

(3)

AX2+^X4==0

A3X2+A4X4=E"(4)

以A:，落|分别左乘（2）、（3）式，得

(5)

_|(6)

X2=-AA^4

将X2，X3分别代入（4）、（1）式，得

X=(A-4可&『

18

X,=(—女尸

将X1,X4分别代入(5)、(6)式，得

X3=-A14(4-例时

x2=-4'A(A4-A4'Ar

故A.1=r(4——4T4(4—44飞厂

,A14(A-4A：4)T(A-AAA厂J

例9若〃阶矩阵A满足片一24-45=。，E为〃阶单位矩阵，则(A+E)T=.

【分析】由A2—2A—4£=O,得(A+E)(A—3E)=(A—3E)(A+E)=E,所以A+E可

逆，且（4+后尸=A-3E.故填A-3E.

例10设A,8,A+8都是可逆矩阵，求（4-1+3一1厂.

【解】由A（AT+8T）8=A+8,且A,8可逆，得

A-1+B-'=A-\A+B)B-'.

又A+B可逆，上式两边取逆，得

(AT'+B-'Y=B(A+BYA.

例n设

-o002

00053

A=12300

45800

34600

求「

【解】先分块:

OA

A=、

AO

r123

r21

其中A=,4=458

6

19

再分别求落‘，A；'：

-20

3-1

0-34

-52

2-3

00-20

000-34

002-3

3-1000

-52000

发型8衬卷发牌的可遮假

解题提示：证明矩阵可逆的主要方法有（1）定义法；（2）利用矩阵可逆的充要条件；（3）

反证法.矩阵可逆的充要条件如下

〃阶方阵A可逆o存在〃阶方阵8,使AB=石或R4=E；

<=>|A|7^0；

<=>R（A）="；

。齐次线性方程组Ax=0只有零解；

oA的〃个特征值都不为0；

oA可以分解为若干个可逆矩阵的乘积;

<=>A可以分解为若干个初等矩阵的乘积;

oA〜石.

例12已知矩阵A满足A'+A?—A—E=O,证明A可逆，并求A-、

【证明】由A3+A2—A—E=O,得

A3+A2-A^E,

A（A2+A-E）=£,

所以A可逆，且4一|=4+4—E.

例13已知矩阵A满足A2+2A—3E=O,证明A+4E可逆.

20

【证明】由A?+2A—3E=0,得

A2+4A-2A-8E=-5£,

A（A+4E）-2（A+4E）=-5E,

（A-2E）（A+4E）=-5E,

-：(A—2E)(A+4£)=E,

所以A+4E可逆，且(A+4E)T=—，(A—2E).

例14已知A3=2E,B=A2-2A+2E,证明B可逆，并求^一二

【证明】由A3=2E,得

（1）AA2=2E,所以A可逆，且AT='A2；

2

（2）A3+8E=1OE,即（A+2©（A2—2A+4E）=10E,所以A+2E可逆，且

（4+2E）T=\任-2A+4E）；

（3）A3-E=£,即（＞—©（*+A+E）=E，所以A—E可逆,且（A—E）T=*+A+

E.

又8=A2-24+2E=A3+A2-2A=A（A2+A-2E）=A（A+2E）（A—E）,所以

8可逆，且

B-'=(A—£尸(A+2切A-'=^(A2+A+E)(A2-2A+4E)A2=^(A2+3A+4E).

例15设4=£+盯"E为"阶单位矩阵，x,y均为〃维列向量，且/y=2,证明A可

逆，并求A-1

【证明】设8=孙丁，则4=x(yTx}yT=2xyT=2B,于是有

（A-E）2=52=2B=2（A-£）,

A2-4A=—3E,

A.；（4E-4）=E,

21

所以A可逆，且A-i=；（4E—A）.

例16设4是〃阶可逆矩阵，3是〃阶不可逆矩阵，则（）.

（A）A+B可逆；（B）A+8不可逆；（C）AB可逆；（D）A8不可逆.

【分析】由6不可逆，得网=0,从而|4叫=|川网=0,所以4B不可逆.故选（D）.

，20、（一20、/00、

对选项（A）,取4=（3,-31=J（00；，则A可逆，3不可逆，但A+B=（3-1J

<50、f-10、

不可逆；对选项（B）,取4=,B=,则A可逆，B不可逆，但

（3-1J10Q）

（40）_*

A+B-（3-D可逆.

例17已知3阶矩阵A的特征值为1,2,3,证明2A不可逆.

【证明】由A的特征值得A?—2A的特征值为

4=『-2xl=-1,4=22-2x2=0,4=32-2x3=3.

由特征值的性质知2川=（—I）x0x3=0,所以42—2A不可逆.

例18设A,8为〃阶方阵，且E-AB可逆，证明£一氏4也可逆.

【证明】假设E—84不可逆，则存在而力0,使（E—84）Xo=O,即

Xg—8A，XQw0,

于是Ax（）=ABAXQ.令5^）=Ax0,则%w0.否则，若%=0