6.3.1二项式定理（一）课件高二下学期数学人教A版选择性

6.3.1二项式定理（一）仁寿一中南校区

陈雪梅选择性必修第三册

(a+b)2=

,(a+b)3=

,a2+2ab+b2a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=_____________________，(a+b)100=……

引入

形如(a＋b)n（n∈N*），数学上统称二项式.研究(a＋b)n展开后的表达式的一般结构.二项式定理问题提出

艾萨克·牛顿IsaacNewton(1643—1727)英国科学家．他被誉为人类历史上最伟大的科学家之一．他不仅是一位物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家．牛顿二项式定理二项式定理的产生

，完备和推广经历了一个漫长的过程，早在公元前3世纪欧几里得《原本》里就有记载(a+b)2，到1世纪我国数学最早的一部专著《九章算术》证明了(a+b)2和(a+b)3，11世纪我国数学家贾宪，杨辉得到了“杨辉三角”，直到17世纪

帕斯卡和牛顿才先后得出了(a+b)n的展开式.

的展开式有几项？问题1:

展开式有几项？每一项是怎样构成的？问题2:3116多项式的乘法特征思考1:试用组合数思想得出下面各式展开后的各项及系数/次数.(a+b)2

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=(a+b)(a+b)

=(a+b)(a+b)(a+b)

=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)

展开方式：从每个(a+b)中选一个数a或b，相乘后得到一项选0个b选1个b选2个b选3个b=1

a2+2ab+1

b2

选0个b选1个b选2个b=_a4+__a3b+__a2b2+__ab3+_b446411=__a4+__a3b+__a2b2+__ab3+__b4=aa+ab+ba+bb思考2:你能否根据上述规律，写出(a+b)n的展开式中的各项及其系数？

(a+b)n

=(a+b)(a+b)···(a+b)(a+b)

=___an+__an-1b+__an-2b2+__an-3b3+···+___abn-1+__bnn个展开方式：依次从每个(a+b)中选一个数a或b，相乘后得到一项二项式定理：即(a+b)n的展开式(2)通项公式：(1)二项式系数：

1.系数规律：2.指数规律：（1）各项的次数均为n；（2）各项里a的指数由n降到0，b的指数由0升到n.3.项数规律：二项展开式共有n+1项.定理特征（是展开式的第k+1项）二项式定理对任意的数a、b都成立，当然对特殊的a、b也成立！例题点拨：求二项式的展开式先写通项,再将0,1,2,…n代入例1

求

的展开式.（1）求(1+2x)7的展开式中的第4项的二项式系数以及第4项的系数；（2）求的展开式中的三次项.例2解:（1）(1+2x)7展开式的第4项为∴第4项的二项式系数第4项的系数是280.由题意得∴

三次项是:注意：二项式系数与系数有区别例题点拨：求二项式的指定项或其系数(2)展开式的通项公式为例题点拨：求二项式的指定项或其系数有理项：所有的字母的指数恰好都是整数的项.变式

已知解：(1)求其展开式的常数项.(2)求展开式的有理项.小结：1.二项式定理内容2.二项展开式的结构特征3.二项式定理解决二项展开式有关的问题课后作业2.《优化方案1.教材作业

第34页习题6.3A组3~51.某人投资10万元，年利率