冀教版初中数学几何讲义

几何专题（一）

导言：几何探究与证明能力的决定要素

1、基本图形的性质与功能的掌握；2、一些探究与证明的基本方法;

3、一些最常用的思考策略.

要素一基本图形判定'性质与功能的再研究

一、关于线段（直线形的边）

1.基本性质与功能：

(2)线段垂直平分线的功能与判定

题2四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离

不相等，但到另一对角线的两端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距

点.如图①，点P为四边形ABCO对角线AC所在直线上的一点，PO=PB,R1HPC,

则点p为四边形ABCD的一个准等距点.

(1)如图②，画出菱形A3CD的一个准等距点；

(2)如图③，作出四边形ABC。的一个准等距点(尺规作图，保留作图痕迹，

不要求写作法).

c

二，

AB

图①图②图③

题3已知：如图，在RtdABC中，ZACB是直角,。是AB上一点，且

过。作A3的垂线交AC于E.

C

求证：CDLBE

AN

D

(3)线段中点的功能

题4已知，如图，矩形ABCD的对角线交于0,E

为矩形外一点，且N4EC=90。.求证，BELED.E

0

BC

题5已知，如图，AO为Z4BC的高，ZB=2ZC,M为的中点。

求证：DM=-AB.

2

题6已知,如图,D是4ABe的边上的中点，尸是AO的中点，BF延长线

交AC于E,求证:

题7已知，如图，。是ZA8C的边BA延长线上一点，且/O=3A,E是边AC

上一点，且OE=BC求证：NDEA=NC

题8阅读下列材料：

小明遇到一个问题：5个同样大

小的正方形纸片排列形式如图1

所示，将它们分割后拼接称一个

新的正方形。他的做法是：按图2

所示的方法分割后，将三角形纸

片①绕4?的中点。旋转至三角

形纸片②的处，依此方法继续操

作，即可拼接称一个新的正方形

DEFG.

请你参考小明的作法解决下列问题：

(1)现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图—

3所示。请将其分割后拼接成一个平行四边形。要求：在图----------------

3中画出并指明拼接成的平行四边形(画出一个符合条件的囱。

平行四边形即可)；

(2)如图4,在面积为2的平行四边形A8CO中，点E、F、G'”分别是边A3、

BC、CD、D4的中点，分别连接AABG、CH、得到一女一

个新的平行四边形MNPQ,请在图4中探究平行四边形夕气「"22^-7

MNPQ面接的大小.(画图并直接写出结果)^VC

题9在图1至图3中，直线MN与线段相交

于点O,Zl=Z2=45°./

(1)如图1,若〃。=。8,请写出ZO与8。的4-------声乙-----B

数量关系和位置关系；/

(2)将图15-1中的A/N绕点。顺时针旋转得到/

图2,其中49=08.图।

求证：AC=BD,AC±BD；/

(3)将图15-2中的。8拉长为/。的左倍得到

图3,求处的值.4f----'B

总结:

二、关于角

1、基本关系与功能:

关

系

与

功

能

2、关系与功能运用举例：

I、传递角关系的几条基本途径(另设专题)

II、角平分线的作用

(1)造等角

题1已知，如图，在ZABC中，AB=AC,8。平分NABC,DELBD,垂足为。,

DE交BC于点、E.A

求证：CD=-BE

2

（2）角平分线的性质与判断（轴对称性）

题2已知，如图，点3、C分别在NWN的两边上，AOAB,P为NWN内

一点，且PB=PC.

(1)若AP为NMAN的平分线，求证：ZPBA+ZPCA=180°-,

(2)^ZPBA+ZPCA=180°,求证：AP为/MAN的平分线.

A

题3己知，如图，在ZA8C中，NC=2NB,A。平分/BAC

求证：AB-AC=CD

BDC

（3）角平分先+平行线匚二^腰三角形

P为NAOB的平分线

情形一，与QA平行的直线MN和OB、0P所在的直线相交如图①和②;

图①

①MN和OB、0P交出等腰WCOD,其②MN和OP、OB的反向延长线交出等腰/COD,其

中。C=CD。（VZ3=Z1=Z2）中OC=CD。（：N3=/2=/l=N4）

情形二，与0P平行的直线MN和040B所在的直线相交如图③和④:

④MN和0A的反向延长线、0B交出等腰4

OCD,其中OC=OD•与=//=2=4）

③MN和04、0B的反向延长线交出等腰4

DC0,其中0C=0D.(VN3=/]=N2=N4)

情形三，与。8平行的直线MN和。4、0P所在的直线相交，与倾情形一完全类

似，也可得两种形式的等腰三角形。

题4已知如图，P是等腰三角形4ABe的/B、/C的平分线的交点，过P作

A

DE〃BC分别与AB、AC交于。、E.A

求证：DB+EC=DE./\

题5已知，如图，C。平分4CB,交3C的延长线于点E,尸是AE的

中I占，、、、•

求证：CDLCF.

(4)角平分线+角平分线的垂线要三角形

题6如图，ABC4'AB>AC,AD平分NBAC,CDJ.AD,点E是BC的中

点，试证明：

(1)DE〃AB;⑵DE=-(AB-AC)

2

题7已知，CO垂直平分线段A8,A8平分NCAO。求证：CB〃AD.

C

A

D

题8已知，如图，AF平分/BAC,BCJ.AF,垂足为E,点。与点A关于点E

对称，分别与线段CF,A尸相交与点尸，M.

(1)求证：AB=CD：

(2)若/BAC=2/MPC,请你判断N在与/MCD的

数量关系，并说明理由.

总结：

三、三角形

2、关系和功能的运用举例

题1如图，力、日两地之间有两条路可走，请说明哪条路会近一些.

(1)如图1,若P点是N4BC和-4C8的角平分线的交点，则

NP=90°+-^A；

2

(2)如图2,若P点是/ABC和外角4CE的角平分线的交点，则

ZP=90°~ZA；

(3)如图3,若P点是外角初/BCE的角平分线的交点，则

NP=900—LNA；

2

图1

总结:

IIx等腰三角形

性质与功能:

1、关系、性质与功能

判定方法:

(1)定义；

「等腰三角形\

⑵三角形中等角对

等边；

⑶一Titi占在苴对|力

2、关系、性质与功能运用举例

题1如图，4A3C中，AB=AC,过A作GE〃BC,角平分线8。、CF相交与点

H,他们的延长线分别与GE相交于点E、G,试在图中找出3对全等三角形,

并对其中一对全等三角形给出证明。

题2如图，已知，在4ABe中，AO_LBC于点。，NB=2/C.

求证：DC=BD+AB.

题3复习“全等能三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：

“如图1,已知，在ZABC中，AB=AC,P是4ABe内任意一点，将AP绕点A

网页时针转至A。，使NQAP=NBAC,连接BQ、CP,则BQ=CN"

小亮是一个爱动脑筋的同

学，她通过对图1的分析，证明

了ZABC绐ZUCP,从而证得

BQ=CP.之后,他将点P移到等

腰三角形ABC之外，原题中其

他条件不变，发现“3。=”"仍

然成立，请你就图2给出证明.

总结:

1、关系、性质与功能

1、关系、性质与功能运用举例

题1如图，扇形OOE的圆心角为120°,正三角形ABC的中心恰好为扇形ODE

的圆心，且点8在扇形ODE内

(1)请连接。4、OB,并证明4A。/名480G；

(2)求证：4A8C与扇形。0E重叠部分的面积等于4ABe面积的L4

3A

O

D

BC

题2已知4ABC为等边三角形，点M是射线上任意一点，点N是射线C4

上一点，且BM=CN,直线BN与AM相交于点Q.就下面给出的三种情况（如

题3已知，如图，P是等边三角形ABC内一点，连接物、PB、PC,以BP为边

做/PBQ=60。，KBQ=BP,连接CQ。4

⑴指出AP与C。的大小关系，并证明结论；/个

⑵若PA：PB：PC=3:4:5,判断APQC的状况，并说明理由./I

B

Q

总结:

IV、直角三角形

1、团系、性质与功能

Gu定法:、

⑴定SL-

(2)有鬲内角互

于；

(3)满足一边之

平方等于两边

的平方和。

IJ

(X)直角三角形和等腰三角形的关系:

(1)每个直角三角形都被斜边上的中线拆分成两个等腰三角形;

（2）每个等腰三角形都被底边上的高拆分成2个全等的直角三角形;

2、关系、性质与功能运用举例

题1如图，在4ABe中，NBAC=90°,A。，3c于。，3E平分28C交AO于

F.求证：4AE尸是等腰三角形.

题3已知，如图，在4ABe中，NACB=90。，D是BC上一点,Z1=Z2,AD=BD.

求证：4CE=AB

总结:

V等腰直角三角形

当4：尸尸在/ABC内绕顶点尸旋转时（点£不与A,5重合），上述结论中始终

正确的序号有.

题2已知，如图/ABC中，NACB=90。,AC=BC,力为8c的中点，

CELAD,垂足为E,8/〃AC交CE的延长线于点F。求证：A8垂直平分。F.

C

/\D

E

AB

F

题3已知，如图，4ABC中，N4BC=45。，CD上AB于D,BE平分

>BELACE,与。。交于点巴〃是边的中点，连接。”与8E相交于点

G.

(1)求证：BF=AC；

(2)求证：CE=-BF；

2

(3)CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论

3

题4如图，在』ABC中，已知/AC3=90。，CA=CB,D、£为AB上的两点,

且NDCE=45°.z€

求证：AD2+BE2=DE2/\

AB

DE

总结:

练习题一（线段）

必做题:

1、如图，ABCD是边长为4的正方形，E为BC边上一点,BE=\,P是对角

线AC上一个动点，求PB+PE的最小值.

2、如图，4ABe中48。=90。，直线OE是直角边8C的垂直平分线,交BC

边于点D,交斜边AB于点E.

求证：点E也在另一条直角边AC的垂直平分线上.

3、已知、如图，在4ABe中，。是上一点，且满足AC=，DB,DALAB.

2

求证：NC=2/B（提示:

4、已知，如图，4。为△ABC的中线，E为AC上一点，连接BE交AO于

点、F,且有AE=bE.

求证：BF=AC.

5、已知，如图，在正方形A8C0中，E为边的中点,连接AE,F为CD边

上一点，满足

求证：AF=BC+CF.

选做题：

1几何模型：

条件：如下左图，A、B是直线L同旁的两个顶点.

问题：在直线L上确定一点P,使PA+PB的值最小.

方法：作点A关于直线L的对称点A1连接BA咬L于点P,则PA+PB=BA，的

值最小（不必证明）.

模型应用：

（1）如图1,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点，P是AC上一动点。

连接BD,由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称，连接ED交

AC于P,则PB+PE的最小值是；

(2)如图2,。。的半径为2,点A、B、C在。0上，OALOB,ZAOC=60°,

P是OB上一动点，PA+PC的最小值；

(3)如图3,ZAOB=45°,P是NAOB内一点，PO=10,Q、R分别是0A、

0B上的动点，求aPQR周长的最小值.

图1图2图3

2、在^ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线DE交BC于E,垂足为D,若4ABC

和^AEC的周长分别为26厘米和18厘米，求^ABC各边的长.

3、已知，如图△ABD和aACE中，ZABD=ZACE=90°,连接DE,M为DE

的中点，求证：MB=MC.

4、已知，如图在中，/4=90，,。为斜边BC的中点，E为A3上任意

一点（不与A、B重合），DFLDE于D,交AC于点Fo

求证：EF=BE+CF2

B

练习题二（角）

必做题:

1、如图，已知BD是NABC的平分线AB=BC,P在BD上，PM±AD,PN_LCD。

求证：PM=PN

2、BP、CP分别是△ABC的外角平分线，且相交于点P。

求证：P点在NA的平分线上

P

3、如图，在平行四边形ABC。中，AE,B/分别平分ND4B和NABC,交CD

于点E、F,AE,BF相交与点M.

(1)试说明：AE1BF；D,___L耳____,c

(2)判断线段。E与CE的大小关系，并予以说明。

4、如图，已知AE平分NB4C,BELAEE,DE//AC,

N84c=36。,则/BED=.

5、如I图所示，4)是△ABC的角平分线，AJ的中垂线今渤伤筋，府为勺延长线

于点F,E.

求证：ZCAE=ZB.

选作题：

1、如图，AD//BC,DCLAD,AE平分/BA。，且点E是C。的中点，问A。、

8C与A3之间有何关系？4

BC

2、已知，如图，在△ABC中，点。是NBAC的平分线上一点，于点

过点D做DE//AC交AB于点E.

求证：DE」AB

2

练习题三（三角形）

必做题

1、如图，已知FDLBC于D,DELAB于E,

ZAFD=\45°,NB=/C,求/EOF的度数.

2、把一副三角板按照如图方式放置，则两条斜边所成的钝角。=度.

45°

a

30°

3、已知：如图，0A平分NBAC,Zl=Z2o求证：△ABC是等腰三角形.

4、已知：如图，AB=AC,点。、E分别在边BC、AC上，月.AO=AE,NBAD=d.

求：NEDC的度数.

5、如图，在AABC中AB=AC,E在AC上，。在84的延长线上,KAD=AE,

DE的延长线与BC相交于F.D

求证：。尸，8c.

XI

6、如图，在正方形ABC。中，4PBC、△QC。是等边三角形力%交于

M,BP与CQ交于E,CP与DQ交于E求证：PM=QM/

7、已知，如图，△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA.AB±,

且^。所也是等边三角形.

(1)除已知的相等线段外，还有那些相等线段，并证明你的判断；

(2)你所证明的相等线段可通过怎样的变换过程得到？写出变换过程.

BC

D

8、如图，。为等边三角形ABC的8C边上一点，以AO为边作等边三角形ADE,

连接BE,探究：BE和AC有怎样的位置关系？并说明理由.

9、如图所示，在RSABC中，ZCBA=90°,。是A3延长线上一点，E在8C上,

连接OE并延长交AC于F,且EF=FC,求证AF=OE

10、如图所示，在RMA