高中数学：崇仁中学高一数学寒假作业七答案

第07练函数的性质

薯积累运用

【知识梳理】

1.函数的单调性及其符号表达

(1)函数单调性的概念

函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质叫做函数的单调性.

(2)函数单调性的符号表达

一般地，设函数/U)的定义域为/,区间。=/：

如果X/x”X2dO,当时，都有那么就称函数/U)在区间，上单调递增.

如果Vx”X2G。，当阳a2时，都有他)＞仗)，那么就称函数心：)在区间D上单调递减.

2.增函数、减函数

当函数/U)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数(increasingfunction).

当函数/U)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数(decreasingfunction).

3.单调区间

如果函数y=/(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=/U)在这一区间具有(严格的)单调

性，区间。叫做y=兀》的单调区间.

4.函数的最大值

(1)定义：一般地，设函数y=/(x)的定义域为/,如果存在实数M满足：

@Vxe/,都有Qx)WM；

②使得(x0)=M.

那么，称何是函数y=7(x)的最大值.

(2)几何意义：函数v=")的最大值是图象最高点的纵坐标.

5.函数的最小值

(1)定义：一般地，设函数y=/U)的定义域为/,如果存在实数M满足：

①VxG/,都有

②三必6/,使得心o)=M.

那么，称M是函数y=«r)的最小值.

(2)几何意义：函数v=")的最小值是图象最低点的纵坐标.

6.偶函数、奇函数的定义

(1)偶函数的定义

一般地，设函数Kt)的定义域为/,如果都有一xG/,且“一x)=《r),那么函数兀v)就叫做偶函

数(evenfunction).

(2)奇函数的定义

一般地，设函数人X)的定义域为/，如果X/xe/,都有一xe/,且。一x)=—/u),那么函数人x)就叫做奇

函数(oddfunction).

7.偶函数、奇函数的图象特征

(1)偶函数的图象特征

如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形;反之，如果一个函数的

图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.

(2)奇函数的图象特征

如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形;反之，如果一个函

数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.

【知识拓展】

1.单调性是函数的局部性质，但在其单调区间上是整体性质，因此对即，X2有下列要求：

(1)属于同一个区间D:

(2)任意性，即刖，X2是定义域中某一区间。上的任意两个值，不能用特殊值代替；

(3)有大小，即确定的任意两值X”及必须区分大小，一般令X|＜X2.

H，x是偶数，

2.并非所有的函数都具有单调性.如兀v)=八日二贴

[0.x是奇数，

它的定义域为N,但不具有单调性.

3.单调区间

(1)这个区间可以是整个定义域.如y=x在整个定义域(一8,十8)上单调递增，y=-x在整个定义域

(―°°,+8)上单调递减；

(2)这个区间也可以是定义域的真子集.如＞=/在定义域(-8,+8)上不具有单调性，但在(-8,0]

上单调递减，在[0,+8)上单调递增.

4.函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单调递增(减).如函数＞=!(》#0)在区

间(-8,0)和(0,+8)上都单调递减，但是在整个定义域上不具有单调性.

5.一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“U”连接，而应该用“和”或“，”连接.如

函数y=1(xW0)在区间(一8,0)和(0,+8)上都单调递减，不能认为y=%xW0)的单调递减区间为(一8,

0)U(0,+°°).

6.函数的单调性是相对于函数的定义域的子区间。而言的.对于单独的一点，它的函数值是唯一确定的常

数，没有增减变化，所以不存在单调性问题.因此在写单调区间时，区间端点可以包括，也可以不包括.但

对于函数式无意义的点，单调区间一定不能包括这些点.

7.图象变换对单调性的影响

(1)上下平移不影响单调区间，即y=/(x)和y=/(x)+%的单调区间相同.

(2)左右平移影响单调区间.如的单调递减区间为(一8,0]；y=(x+l)2的单调递减区间为(一8,一中

(3)y=k：/(x),当k>0时单调区间与兀0相同，当k<0时单调区间与兀0相反.

8.最值问题需要注意：

(1)并不是每一个函数都有最值，如函数y=%既没有最大值，也没有最小值.

(2)有些函数只有最大(小)值，没有最小(大)值，如函数、=一寸。=『).

(3)特别地，对于常函数1x)=C,它的最大值和最小值都是C.

9.奇偶性应关注以下几点：

(1)奇偶性是函数的整体性质(对照单调性是函数的局部性质，以加深理解).

(2)定义域不关于原点对称的函数，既不是奇函数，也不是偶函数.

(3)对于奇函数人》)，若人0)有意义，则40)=0；对于偶函数£x),必有兀r)=/(—x)=X|x|).

(4)有的函数既不是奇函数，也不是偶函数，如：y=2x+l；有的函数是奇函数，但不是偶函数，如：y

=x；有的函数是偶函数，但不是奇函数，如：)，=国；有的函数既是奇函数，又是偶函数，如：y=0(xG[—

1,1]).

【易错点拨】

1.求函数的单调区间时、利用函数的单调性求参数的取值范围时、利用单调性求最值时，勿忽略定义域.

2.函数的单调区间不能用并集.

3.混淆“单调区间”和“在区间上单调”两个概念.

4.求含参数的二次函数的最值时不要忘记按对称轴与区间的位置分类讨论.

5.忽略奇、偶函数的定义域关于原点对称.

6.判断含参函数的奇偶性时忽略对参数的讨论.

;也.产S___

警[基础过关练

1.(2021•黑龙江・哈尔滨市第三十二中学校高一期中)下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的

是()

A.y二|x|,xwRB.y=(；)”,XGR

C.y=x,XGRD.y=-x3,XGR

【答案】D

【解析】

对于A：y=W是偶函数，故选项A错误;

对于B：>=(；)'是非奇非偶函数，故选项B错误；

对于C：)'=x是奇函数，且在定义域(7,-)上为增函数，

故选项C错误：

对于D：y=-V是奇函数，且在定义域(TO,+oo)上为减函数，

故选项D正确.

故选：D.

2.(2021・福建三明•高一期中)函数=\x-2\-(x—4)的单调递减区间是()

A.[2,4]B.[2,3]C.[2,+oo)D.[3,+oo)

【答案】B

【解析】

初-，/、Ioiz小心-2)(》-4),("2)

解：函数f(x)=x-2(x-4)={，

[(2-x)(x-4),(x<2)

画出函数的图象，如图所示：

二函数的单调递减区间是[2,3],

故选：B

3.(2021•福建・莆田一中高一期中)已知兀0是定义在R上的偶函数，且在[0,+oo)内单调递减，则()

2

A-/(-7^)</(^)</(0)

B.fW<f(0)<f(-V)

c-/(0)</U)<7(-72)

D-/⑺</（-7；j</（0）

【答案】D

【解析】

解：..7W是定义在R上的偶函数，

/）在［O+00）内单调递减，

由；r>72>0，♦•/（万）</（一72）</（0）

故选：D.

4.（2021•广东・湛江二H"一中高一期中）若函数y=/（x）在R上单调递减，且42%—3）>人一〃?），则实数，〃的

取值范围是（）

A.（—oo,—1）B.（—1,+co）C.（1,+oo）D.（—co,1）

【答案】D

【解析】

因为函数y=_/（x）在R上单调递减，且3）

所以2加一3<-a，得机<1,

所以实数机的取值范围是（一8,1）,

故选：D

5.（2021•浙江•高一期末）已知函数y=〃x）可表示为（）

X0<x<22<x<44Vx<66<x<8

y1234

则下列结论正确的是（）

A.〃/（4））=3B.”引的值域是{123,4}

C.“X）的值域是［1,4］D./（x）在区间［4,8］上单调递增

【答案】B

【解析】

A./（4）=3,/（/（4））=/（3）=2,所以该选项错误；

B.由表得“X）的值域是{123,4},所以该选项正确；

C.由表得〃X)的值域是{1,2,3,4},不是［1,4］,所以该选项错误；

D./(X)在区间［4,8］上不是单调递增,如:5>4,但是/⑸在(4)=3,所以该选项错误.

故选：B

6.(2021.广东.中山实验中学高一期中)已知y=y(x),定义域为［-3,3］,)，=_/□)的图象如下图所示(实线

部分)；请根据图象，直接写出以下各小题的结果.

(1)Xx)的奇偶性为:

(2)兀0的值域为；

(3)兀0的递增区间为;

(4)段)>0的解集为;

(5)若人x巨m在［―3,3］上恒成立，则实数机的取值范围为;

(6)若人x巨m在［-3,3］上有解，则实数m的取值范围为.

【答案】偶函数［-2,2］(-1,0),(1,3)［-3,-2)U(2,3］(—00,-2］(-co,2］

【解析】

(1)图像关于)，轴对称，所以为偶函数；

(2)图像最低点函数值为-2,最高点函数值为2,所以值域为［-2,2］；

(3)根据图像，函数在(一1,0),(1,3)从左往右升高，所以增区间为(一1,0),(1,3)；

(4加》)>0表示函数值大于零，图像在x轴上方，由图得［—3,-2)U(2,3］；

(5网)决在［—3,3］上恒成立等价于［，(》)1加2，"，段)在［—3,3］上最小值为一2,所以小一2：

(6)/U巨机在［-3,3］上有解1raxzm，火x)在［—3,3］上的最大值为2,所以，把2；

故答案为：(1)偶函数；(2)［—2,2］；(3)(-1,0),(1,3)；(4)［-3,-2)U(2,3］；(5)(—8,-2］；(6)(-00,

2］•

7.(2021•青海西宁•高一期末)函数/(乃=2/-履+Z+1在区间-1,3］上不单调，则实数大的取值范围是

【答案】（-4/2）

【解析】

二次函数f（x）=21—丘+&+1在区间［-1,3］上不单邮

则对称轴x=（-1,3）,即0（Y,12）

故答案为：（-U2）

8.（2021・江西•横峰中学高一期中）如果函数y=/（x）的图象如图所示，那么此函数的减区间为

【解析】

解：由函数>=/（x）的图象得此函数的减区间为：

故答案为：卜3,—1］,［1,3］.

9.（2021・上海•格致中学高一阶段练习）已知a>-3,且函数y=3x+b（xe［-3,“］）是奇函数，则

a+b=.

【答案】3

【解析】

因为函数y=3x+A（xe［-3,句）是奇函数，则“=3,

由奇函数的定义可得-3x+b=-（3x+A）,可得匕=0,

因此，a+〃=3.

故答案为：3.

10.（2021・陕西・宝鸡市渭滨中学高一阶段练习）已知函数/（x）=x+£的图象经过点（1,-3）

（1）求〃的值并判断〃x）的奇偶性；

（2）判断函数〃x）在［1,4］的单调性，并用定义法证明;

（3）求函数f（x）在［1,4］的最大值.

【答案】

（1）a=Y,f（x）是奇函数；

（2）单调递增函数，证明过程见解析；

（3）最大值为3.

【解析】

（1）因为函数〃x）=x+£的图象经过点（1,—3）,

4

所以有l+〃=-3=a=Y,即=该函数的定义域为全体非零实数集，

44,、

S/（--^）=-A-+-=-（x--）=-/（X）,所以/（X）是奇函数；

（2）函数“X）在［1,4］上单调递增，证明如下:

设不超是［1,4］内任意两个实数，且占<三，则有

/（5）一/（4）=±一±-（受一&）二°‘—七+*,因为14%<x,<4,

w玉w

所以玉W>1,玉-当<°，因此（三）="\"'"+4）<0=/（占）_/6）<0,

X］X2

即/㈤</（毛）,所以函数〃X）在［1,4］上单调递增；

（3）由（1）可知:函数/（x）在［1,4］上单调递增，

所以当xe［l,4］时，〃力3=/（4）=4-1=3.

________

,>,■能力提升练

11.（2021•江西九江•高一期末）定义在R上的函数“X）满足：①/（0）片。；②当x>0时，"x）>l；③对

任意实数x,丫都有〃x+y）=〃x>〃），）.

（1）证明：当x<0时，0</（x）<l；

（2）判断“X）在R上的单调性；

（3）解不等式/（X）-/（2X-X2）>1.

【答案】（1）证明见解析；（2）f（x）在R上是增函数；（3）（0,3）.

【解析】

(1)令x=y=O,则/(0)=卜(0)「又”0)*0,所以"0)=1.

当x<o时，-x>o,在/(x+y)=/(x)―/(y)中，令丁=一》,

则/(0)=/(x>/(—x),所以〃一力=房>1

,又因为x>o时，/W>i,故o</(x)<i.

(2)设占且玉<当，则工2一%>°，所以/(々一X1)>1且/(%)>0.

于是/(w)=/(%-X1+X])=-A),/(%)>/(5)，故/(X)在R上是增函数.

(3)由题意知/(。/(2>巧=/作-巧，所以原不等式等价于f(3x—f)>〃0)

由(2),〃x)在R上是增函数得到，3x-P>0,0<x<3,故此不等式的解集是(0,3).

12.(2021•福建•浦城县教师进修学校高一期中)设/(x)是R上的减函数，且对任意实数x,)，，都有

/(%+丫)=/(尤)+/(卜)；函数8(%)=/2+©+6(。,[€氏)

(1)判断函数"X)的奇偶性，并证明你的结论；

⑵若〃=-1,。=5,且存在3,2],不等式/(8(。-1)+/(3…，〃)>0成立，求实数机的取值范围.

(3)当。>0时，若关于x的不等式g(x)40与g(g(x))43的解集相等且非空，求。的取值范围.

【答案】(1)奇函数，证明见解析；(2)m<-3；(3)264a46.

【解析】

(1)解：/(x)为奇函数，证明如下：

令x=y=0可得〃0)=2/(0),则/(0)=0,对任意xwR,令〉=一x,可得/(0)=/(x)+/(-x),贝lj

f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数；

(2)解：”=-1力=5时，g(x)=x2-x+5,存在/e|-3,2],由/⑴为奇函数，

可得，/(g(0-1)+f&+m)>0=/(0)

由/(x)是A上的减函数，可得g⑺-l+(3f+〃z)<0

口|Jt~-f+5—l+3f+/w<0,

即加〈一产-2-4,对fe[—3,2].»=—/—〃—4=—。+1)2-3,在上为增函数，上为减函数,

最大值为—3,则加<—3;

(3)解：设g(x)=f,g(g(x))43,可化为g(f)43,由g(x)40

解集非空可得A=/-4620,此时g⑺43即

/+。，+力一3<0,△=a?一4/?+12>0,贝Ug(，)=3有'两不等实根。<J,

则g(r)43解集为，,修，j?(^(x))<3BPg(x)s[/„/,],贝!Jg(x)40与g(x)WM2]解集相等且非空；贝北二。，

->2

,由乙，G为产+必+万一3=0两根，％=°代入可得匕=3，则4=-。<0,由即

2

-a<3~—,BPa2-4«-12<0>即一24a46,

4

由A=a2-4bN0，可得12]2,则264aM6.

13.(2021・安徽•合肥市第六中学高一期中)我们知道，函数y=/Q)的图象关于坐标原点成中心对称的充要

条件是函数V=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数)，=/(X)的图象关于点P(a,b)成中心对称

的充要条件是函数y=/*+“)-人为奇函数.

(1)