空间向量的应用（训练卷）-新高考高中数学核心知识点全透视（解析版）

《新高考高中教学法心知识点全透冽》

专题11.4空间向量的应用（专题训练卷）

一、单选题

1.（2021•全国高二课时练习）已知向量加G分别是平面a和平面2的法向量，若

cos（M,4=-；,则a与户所成的锐角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】B

【分析】

利用面面夹角公式求得a与夕的夹角.

【详解】

设a与夕所成的角为仇且0。＜。＜90。，

贝!]cos=|cos；

0,(9=60°.

故选：B

2.（2021•全国高二课时练习）己知在平行六面体A2CD—481GA中，同一顶点为端点的

三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60。，则此平行六面体的对角线AG的长为（）.

A.6B.遥C.3D.y/3

【答案】B

【分析】

由题意画出平行六面体的图形，利用向量加法的三角形法则和空间向量的数量积运算即可求

解.

【详解】

AC[=AB+AD+X\,

禧2=(通+而+可产

=AB2+AD+X\2+2ABAD+2AB-X\+2ADX\

=1+1+1+2(cos600+cos600+cos60°)=6

.,.|AG|=V6,即AG的长为".

故选：B

3.(2021•河南商丘市•高二月考(理))在如图所示的四棱锥尸-4BCD中，AB//CD,

ZPAD=—,PA±AB,PA=AD=2,AB=-CD=^2,且8C=B£>,则直线尸£)与平面

32

【答案】A

【分析】

建立空间直角坐标系，利用直线尸。的方向向量和平面PBC的法向量，计算出线面角的正弦

值.

【详解】

取的中点E.则3E_LCD.因为A8//C。且=所以四边形45匹是矩形，所以

因为上4_LA5且AOCAP=A,所以相J_平面尸A。.

以A为坐标原点，A8所在直线为*轴，AD所在直线为丫轴，建立如图所示的空间直角坐

标系A-xyz,

则P(0,—l,G),£>(0,2,0),8(0,0,0),C(2应,2,0),

所以方=(0,3,-G),BP=(-y/2,-l,y/3),BC=(72,2,0).

设平面PBC的法向量为”=(x,y,z),

n-BC=&x+2y=0,

取x="得"=0,-L

n•BP=-应x—y+y/iz=0,

4.（2021•江西南昌市•高三开学考试（文））如图，正方体4BCO-A4GR,中，M,E,F,

G,”分别为BB-AN，B£,AA，BC的中点，则（）

A.〃平面ACMB.。尸//平面ACM

C.ZX；//平面4cMD.OH〃平面ACM

【答案】C

【分析】

建立空间直角坐标系，利用空I'HJ向量法计算可得；

【详解】

解：如图建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则A（0,0,2）,C（2,2,2）,M（2,0,1）,

E(1,O,O),F(2,l,0),G(O,O,1),“(2,1,2),D(0,2,2),则屁=(1,-2,-2),OF=(2,-1,-2),

DG=(O,-2,-l),而=(2,T,0),AC=(2,2,0),AM=(2,0,-1),设面ACM的法向量为

-/xnAC=2x+2y=0…<-…一/八、

n=(x,y,z),则,令A尤=1,则y=-l,z=2,所以〃=(1,T,2),m因为

'7[n-AM=2x-z=0

/?£)E=lxl+(-2)x(-l)+2x(-2)=-l,

A?DF=1X2+(-1)X(-1)+2X(-2)=-1,n-DG=0xl+(-2)x(-l)+2x(-l)=0,

«-DW=lx2+(-l)x(-l)+2xO=3,所以)_L诟，又DGa面ACM,所以QG〃面ACM,

故C正确，A、B、D错误；

故选：C

5.(2021•广东茂名市•高二期末)已知空间四点4(—1,0,1),B(0,0,l),C(2,2,2),0(0,0,3),

则COS〈ZB,CZ5)=()

A.--B.-C.--D.-

3333

【答案】A

【分析】

根据空间向量的坐标运算、数量积运算和空间向量的夹角公式计算即可.

【详解】

由题意得，AB=(l,0,0),CD=(-2,-2,l),

所以画=L|CD|=7(-2)2+(-2)2+12=3

ABCD=lx(-2)+0x(-2)+0xl=-2,

所以cos(ABCD)ABCD_-2_2

|AB||CD|1X33

故选：A

6.（2021・湖南高三开学考试）如图，在正方体ABC。-ABCA中，M为4。中点，过AG

且与CR平行的平面交平面GCM于直线/,则直线/与A8所成角的余弦值是（）

「V6+V2n任

43

【答案】D

【分析】

依题意建立空间直角坐标系，由正方体的性质可得AC〃平面延长与CM相交于

点N,连接GN,则GN即为直线/,再利用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值；

【详解】

解：如图建立空间直角坐标系，在正方体ABCQ-ASGR中，A8//DC，ACu平面A£B,

ABu平面所以RC〃平面AGB,延长8A与CM相交于点N,连接G2，则GN

即为直线/，设正方体的棱长为1,则4（1,（）,0）,5（1,1,0）,C,（0,1,1）,N（l,-1,2）,所以

同8「囚取I2.展

荏=（0,1,0）,QV=（l,-2,l）,设AB与GN所成角为凡“网丽一6一彳

故选：D

7.(2020•安徽六安市•立人中学高二期末(理))如图，正四面体丛BC中，M,N分别是8cpe

的中点，则AP与平面AMN所成角的正弦值为()

A.BB.如C.-D.在

99113

【答案】C

【分析】

如图建立空间直角坐标系，利用向量公式，求解线面角.

【详解】

建立如图所示空间坐标系，设4W=3,贝1J8。=271。知=1,0尸=2夜，

4(0,-2,0),P(0,0,2&),C(-G,1,0),N(一巨，,夜］,

I22J

时(0,1,0),丽=一等,；,可,两'=((),1,0),

设平面4W?V的法向量为0=(x,y,z),贝U_3x+_Ly+0z=O口1=0,汲z=6则

a=(2也0,底,AP=(0,2,2扬,sin。=|cos<口而>|=华.

故选:C

8.(2021・北京师范大学昌平附属学校高二期末)正方体A8C3-A4Gq中，点£为BB1中

点，平面AEC与平面A3CZ)所成二面角的余弦值为()

Di

A.巫B.更C.如D.3

2233

【答案】C

【分析】

设正方体ABC。-ABCIA的棱长为2,以点。为坐标原点，DA.DC、所在直线分别

为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面AEC与平面ABCD所成二

面角的余弦值.

【详解】

设正方体ABC。-A4G2的棱长为2,以点。为坐标原点，DA,DC、所在直线分别

为x、V、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则A（2,0,2）、£（2,2,1）,C（0,2,0）,所以，区=（0,-2,1）,CE=（2,0,1）,

设平面4CE的法向量为加=(x,y,z),

m-EA^=-2y+z=0

取x=l,可得而=(1,一1,一2),

nt-CE=2x+z=0

易知平面ABCD的一个法向量为"=（0,0,1）,

---mn-2V6

所以，……丽=而厂、

易知，平面AEC与平面A8CO所成二面角为锐角，它的余弦值为Y5.

3

故选：C.

二、多选题

9.（2021.全国高三其他模拟）在棱长为1的正方体ABCO-ABIGA中，点E为线段CR上

一动点（不包含端点），则下列说法正确的有（）

A.4与，平面ARE

B.OE+AE的最小值为1+0

C.存在点£使得

D.点。到平面AAE的距离为也

2

【答案】AD

【分析】

A选项通过证明A瓦，RCA旦，AA来证得A用，平面ARE；通过展开平面，结合余弦

定理求得最小值；利用向量法判断C选项的正确性；根据正方体的性质判断D选项的正确

性.

【详解】

根据正方体的性质可知人4，404,4。，由于A[D]CD1c=4,.•.Ag_L平面ARE,

A正确.

34

展开平面如下图所示，由图可知。E+AE的最小值为图中。A，下图中，

AO.=£»£>,=1,由余弦定理得|D4j=，2+i2+2xixlx*=H7L所以B错误.

D

Di

以用为坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示，设屏=/1麻（0<4<1）,

A£>（1,1,1）,D£=（-A,o,/1-1）,4（1，°，0）.近=（一41，冷，

卡=（0,1,1）.若。£，40，

则诙♦率=0,即（一40,/1-1>（0,1,1）=0=4=1,

此时C与E重合，与已知矛盾，C错误.

根据正方体的性质可知DC,1平面A"C，

到平面ARE的距离d=_Lz）G=变，D正确.

故选:AD

10.（2021.浙江高二开学考试）正方体A8CO-A4GR的棱长为2,E、F、G分别是棱

。£、8c的中点，下列结论正确的有（）

A.AG〃面EFG

B.BQ，面EFG

C.过EFG三点所得正方体的截面的面积为3月

D.面EFG与面A3C。所成角的正切值为6

【答案】ABC

【分析】

作出完整的正方体的截面，由正方体性质得截面的性质，由线面平行、线面垂直的判定定理

判断AB,计算出截面面积判断C,利用两平面法向量的夹角的正切得二面角的正切值判断

D.

【详解】

由正方体的性质，如图六边形EM7WGP是过E,F,G三点的正方体的截面，其中M,N,P分

别是AA（G，AB的中点，

因此有M尸〃AG，而AG<X平面EFG,MFu平面EFG,所以AG〃面EFG,A正确；

由AC±BQ得MF±BR,又。〃，平面44GR,MFu平面A4G。，所以。A，时尸，

而。。力。,B|Ru平面。。百，所以叱，平面。。与，又BQu平面。。与，

所以同理BQ_LME,MEf）MF=M,ME,MFu平面EFG,所以四。L平面

EFG,B正确；

正方体棱长为2,则初尸=&,截面面积为S=6x且x（正产=36，C正确；

露上证明知璃是平面EFG的一个法向量，函是平面ABC。的一个法向量，而函和西

的夹角是ZDQ与，tan/DQ耳=瑞=应，因此面EFG与面ABCD所成角的正切值为

D错.

故选：ABC.

:勺_C,T一G：

II.（2021・台州市路桥区东方理想学校高一月考）如图，三棱柱ABC-A£G的各棱长均为

2,侧棱8瓦与底面ABC所成的角为60。，乙4A片为锐角，且侧面，底面ABC,下

列四个结论正确的是()

B

A.ZABBt=60°B.AC±BBt

C.直线AG与平面A所成的角为45。D.B,C±AC,

【答案】ACD

【分析】

选项A,侧棱8片与底面ABC所成角为60°,可得NA4百=60。，又四边形4AB3为菱形,

可判断；

选项B,D,建立空间直角坐标系，转化为判断数量积是否为0,可判断；

选项C,可知NGA”即为AG与平面伍8出所成的角，即可判断.

【详解】

如图，过A作”为垂足，连结G”，如图建立空间直角坐标系

对于A选项，侧棱网与底面43c所成角为60,4A用为锐角，且侧面1底面ABC,

.­.ZAA1B,=601,又三棱柱ABC-A4G的各棱长相等，可知四边形AA4B为菱形，

=ZA4,B=60°,故A选项正确；

对于B选项，易知A(0,0,G),C(-l,6,G),5(-2,0,△),q(T,0,0),

AC=(-1,73,0),BBX=(1,0,-73),：.ACBB[=-I^O,故B选项不正确；

对于C选项，由题意可知NGA”即为AG与平面M耳B所成的角,

tanNC]A〃=3—=1,/.=45°,故C选项正确；

AH

对于D选项，而=（0,百，6），禧=（0,百，一百），.•.而•属'=（）

因此4C_LAG，故D选项正确.

故选：ACD

12.（2021・全国高二单元测试）如图，在长方体ABCD-A8CQ,AB=y[3AD=y/3AAi=>/3,

点P为线段AC上的动点，则下列结论正确的是（）

A.当本=2平E1寸，B、,P,。三点共线

B.当福，市时，APA.DJP

C.当/=3而时，"P〃平面B£>G

D.当而=5卒时，A。，平面"AP

【答案】ACD

【分析】

以点力为坐标原点，建立空间直角坐标系

对A,根据长方体的性质判定即可；

对B,根据而，而可得点P的位置，再计算即-Q是否为0即可；

对C,求解平面8OG的法向量，并判断郎，5即可；

对D,根据冠=5僧可得点P的位置，再分别证明AC，。/,ACLRA即可

【详解】

在长方体ABCO-A4G〃中，以点。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

因为AB-yfiAD—\/3AAy—V3>所以AD=44,=1,

则A(1,O,O),4(1,0,1).C(0,V3,0),£>,(0,0,1),C|(o,6,l),0(0,0,0),B(1，6,0),则

石=卜1,6,-1),^A=(l,0,-l).

A选项，当汞=2平时，P为线段4c的中点，根据长方体的结构特征，P为体对角线的

中点，因此产也为用。的中点，所以四，P,。三点共线，故A正确.

B选项，当丽，本时，APLA.C,由题意可得%C=4+1+3=逐,AC=JTi与=2.由

S^AC=\A\-AC=^C-AP,解得AF=¥，所以AP=(,即点产为线段AC上靠近

「4行八一(461)—(1G41

点A的五等分点，所以。.则口尸=不苧，，AP=芋二，所以

_______4341____

DlPAP=~+^---^-=-^0,所以Q与RP不垂直，故B错误.

c选项，当AC=3AP时AP=；AC=(-g,卷,-g.

_n-DC,=y/3y+z=0

设平面BOG的法向量为n=(x,y,z),由____1'厂，令y=l,可得

nDB=x+\j3y=0

n=(-73,1,-73).又即=平-布=(|,孝,一g),所以即5=0,因此扉J_G,又点

Q不在平面切9和内，所以RP〃平面8OC一故C正确.

D选项，当录=5卡时，乖=/=，所以用=即_布=暂率q,

所以本•印=0,卡•不=0,因此ACICf.A}CVD,A.

又。?c〃A=D，则AC，平面RAP，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13.（2021•全国高二课时练习）在空间直角坐标系中有直三棱柱48C—A山C”CA=CC\

=2CB,则直线BC\与直线AB\所成角的余弦值为.

【答案】g

【分析】

建立空间宜角坐标系，再用夹角公式计算.

【详解】

不妨设CB=I,建立如下的空间直角坐标系，

则8(0,0,1),A(2,0,0),G(0,2,0),5(0,2,1).

ABq=(0,2-1),=(-2,2,1).

0+4-15/5

cos<BC\,ABt>=

|西||时一国3―丁

故答案为：。

14.（2021•全国高二课时练习）已知点E,F分别在正方体ABCDAIBIGG的棱BB,CG

上，MBiE=2EB,CF=2FG,则平面4EF与平面ABC夹角的余弦值等于.

【答案】王叵

11

【分析】

建立空间直角坐标系，利用向量法求得所求夹角的余弦值.

【详解】

如图，建立空间直角坐标系.

设正方体的棱长为1.

平面ABC的法向量为1=(0,0,1),

平面AEF的法向量为“=(x,y,z).

所以通=(0,用,京

_____1

%-AE=y+—z=0

则_____3,

ri.•EF=-x+—z=0

3

取x=l,则产・1,z=3.故％=(1,-1,3).

4・〃，33日

所以8sg%产丽=而=一n-

所以平面AEF与平面A8C夹角的余弦值为辞.

在直三棱柱ABC-44G中，ABAC=90,

AB=AC=AA]=2,点G、E、F分别是4B1、CG、A8的中点，点。是AC上的动点.若

GD工EF,则线段DF长度为.

B

【答案】赵

2

【分析】

以A为原点，建立空间直角坐标系，分别表示出REG点坐标，设。(O,y,O),再利用

而•丽=o列方程可求出y的值，求出丽的坐标，再求模长即可求解.

【详解】

因为三棱柱ABC-AtB£是直三棱柱，且ABAC=90

所以以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为A8=4C=AA=2,点G、E、尸分别是AA、CC,、AB的中点，

所以E(0,2,l),G(l,0,2),尸(1,0,0),

因为点。是AC上的动点，设。(0,第0),所以面=(-l,y,-2),EF=(l,-2,-l)

因为G£>_L£F,所以前•前=-Ixl-2y+2=0,解得：y=1.

所以c(o,g,o),而

所以成=/+卜;J+0?=4，即线段0尸长度为冬

故答案为：好.

2

16.(2021•全国高二单元测试)如图，在长方体中，AD=AA,=2,AB=3,若E为A8中点,

则点B、到平面D,EC的距离为.

61

【分析】

以O为坐标原点，力4。，。。所在直线分别为“轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求

UUU

平面。岑C的法向角，再求向量c4在法向量上的投影的绝对值，由此可得点B1到平面D、EC

的距离

【详解】

以。为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角

坐标系，连接CQ,

由题意得C(0,3,0),《24,0),R(0,0,2),4(2,3,2),

a二(2,-|,0),&=(0,_3,2),CB}=(2,0,2)-

n=0

设平面REC的法向角为为=(x,y,z),则

-n=0'

2x-^y=0

即《

-3y+2z=0

令z=6,得”=(3,4,6),

点四到平面D、EC的距离=卜倒=18标,

一同一61

故答案沏噜

四、解答题

17.(2020.山西晋城市.高二期中(理))如图，在多面体43CDE中，，平面A8C,点。

到平面ABC的距离为2,AABC是正三角形，BD=CD=M,AE=AB=2.

(1)证明：BCVDE.

(2)求直线CE与平面BED所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)叵.

5

【分析】

(1)取BC的中点。，连接A。，DO,证出AE//OD,从而得出四边形AODE是平行四边

形，进而得出即〃40,证出AO_L8C即可得出8CLOE.

(2)以08为x轴的正方向，OA为，轴，。。为z建立空间直角坐标系，求出平面BED的

一个法向量，利用线面角的空间向量法即可求解.

【详解】

(1)证明：如图，取BC的中点0,连接A。，D0.

BD=CD=5

DOA.BC,且DO=Jci)2-OC?=2,

。。就是点。到平面A8C的距离，即QOJ•平面ABC

A£_L平面ABC,

•••AEUOD,

^.AE=DO,四边形A0/)E是平行四边形，

ED//AO

•••AABC是正三角形，

AOYBC,

■.BCLDE.

(2)解：由(I)得49,平面8CO,

以。8为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z,

则B(l,0,0),C(-l,0,0),0(0,0,2),E(0,V3,2),

设平面BED的法向量为「=(x,y,z),而=(-1,0,2),

BD-n=O[-x+2z=0/、

则由e八得打cz令x=2,得万=2,0,1.

BE4=0,[-x-y/3y+2z=0、'

设直线CE与平面BED所成角为d,

I/—\CE-ii\4V10

则si*1。=HCE，讣扁=酝标=可，

故直线CE与平面BED所成角的正弦值®.

5

18.(2021•全国高三其他模拟)己知四棱锥A-8CDE,底面3CDE为平行四边形，45=2,

AC=BC=日BE=6，CE=y[5,AE=/l.

(I)若平面ABCn平面A£>E=/,证明：IHBC；

(II)求二面角O—AE-C的余弦值.

2

【答案】(1)证明见解析；(H)y.

【分析】

(I)根据线面平行的判定定理可证〃平面ABC,根据线面平行的性质定理即可证明

1//BC；

(H)由勾股定理得AC_L3C,ABYBE,BC,BE,根据线面垂直的判定定理可证DC，

平面ABC,

即可证明AC,BC,DC两两垂直，如图建系，分别求得平面曲E和平面ACE的法向量,

再根据空间向量的夹角公式即可求解.

【详解】

(I)证明：因为底面8CDE为平行四边形，所以DE〃3C.

又。E<2平面ABC,8Cu平面ABC,

所以。E〃平面ABC.

又因为平面ABCA平面ADE=l,

根据线面平行的性质定理，1HDE,

所以〃/3C.

（n）由题意得AB°=AC2+BC2,AE2=AB2+BE2,CE?=BE?+BC，,

所以ACLBC,AB±BE，BCLBE.

乂ABcBC=B,所以BEJ■平面ABC.

因为DCHBE,所以OC,平面ABC.

又ACLBC,所以AC,BC,DC两两垂直.

以C为坐标原点，AC,BC,OC所在的直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角

坐标系，

则点C（0,0,0）,A（>/2,0,0）,B（0,&,0）,£>（0,0词,E（0,亚⑹,

所以布=卜夜,0,6）,花=（-夜,0,6），CA=（V2,0,0）.

设平面A£）E的法向量为。=（&X，zJ,

AD-ii=—>/2x+>/3z.=0,

贝J一rrr

AE•〃=-，2工]++\j3z1=0,

令X[=G，则4=及，>,1=0,则一个法向量L.

设平面AEC的法向量为D=（毛,%;2），

AE-v=一夜％+0y2+后?z=0,

CA•v=\[2X2=0,

令Z2=—&,则％=g，W=0,则一个法向量；=（0，6-&），

rru-v-22

则8S<〃,…丽=反耳=-丁

由图易得二面角D-AE—C为锐二面角，

2

所以二面角。-AE-C的余弦值为

19.（2021•浙江高二月考）如图，在四棱锥P—A8CD中，平面皿）_L平面ABCD,底面四

边形45co为直角梯形，BC//AD,N4DC=90。，8c=8=1,PA=PD=AD=2,E为

线段AQ的中点，过BE的平面与线段尸O,PC分别交于点G,F.

(1)求证：GF//EB；

(2)若G为棱PD上靠近。点的三等分点，求直线形与平面BEG尸所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)叵.

7

【分析】

(1)先证线面平面，再根据线面平行的性质定理得到线线平行；

(2)建立空间直角坐标系，求出平面BEG尸的法向量和丽，再计算即可.

【详解】

(1)VBC//AD,BC=-AD,E为A£)的中点，：.BC"DE且BC=DE,

2

四边形BCDE为平行四边形，

AEB//DC,：£>Cu平面PC。，EBu平面PC。，，£B〃平面PC。，

E8u平面BEGF,平面BEGFc平面PCD=GF,GF//EB.

(2)VPA=PD=AD=2,：.PE±AD>

•.,平面EW_L平面ABC£>,平面上4。0平面4?8=4),PEu平面B4£),

JPE_L平面ABC。，分别以E4,EB,£P所在的直线为x,九z轴,

建立直角坐标系，如图所示,

则网0,0,6),£(0,0,0),5(0,1,0),A(l,0,0),Gt-4

A£8=(0,1,0),丽=(0,-1,⑹，EG=--o

3''

y=0

EBn=0

设平面BEGF的法向量为〃=(x,y,z),则，26z

EGn=0'——x+——z=0

33

y=0

即｛_26，令x=JL则亢=(6,0,2),

20.（2022•江苏高三开学考试）已知AA3c为等腰直角三角形，AC=BC=4,E,尸分别

为AC和A3上的点，且AE=1,EFHBC,如图1.沿EF将折起使平面平面

BCEF,连接AC,AB,如图2.

图2

（1）求异面直线AC与3尸所成角的余弦值;

（2）已知M为棱AC上一点，试确定M的位置，使EM〃平面ABF.

【答案】（1）芷；（2）当时，EM//平面A3F.

104

【分析】

（1）如图1建立空间直角坐标系利用直线的方向向量求直线所成角:

（2）•是可以利用空间向量，求得平面A8尸的法向量，使得EM垂直于法向量即可得解;

或者利用利用线面平行的方法证明当期=9C时，EM//W.

【详解】

（1）因为平面A£F_L平面BCEF,AELEF,

所以J_EC.又CEJLEF,

所以建立如图1所示的空间直角坐标系E-xyz,

因为AABC为等腰直角三.角形，AC=BC=4,

E,尸分别为AC和A81二的点，且AE=1,EF//BC,

则A（O,O,1）,B（3,4,0）,C（3,0,0）,*0,1,0）….

所以*=（3,0,-I）,丽=（3,3,0）,

/方,\ACFB93石

所以3河冏=同同=而*=而，…

所以异面直线AC与B尸所成角的余弦佰为遗.…

10

（2）方法一：设丽^=4/,

因为衣=（3,0,—1）,所以丽=说+而=函+4/=（340,1—4）.

设。=（x,y,z）为平面A8尸的一个法向量，

则『生。,即尸3y=°，

n-FA-0,[-y+z=0,

因此可取元=（1,-1,-1）.

所以无两=

因为EM〃平面A8尸，所以无丽=0，即4=9，

所以当AM=」AC时，EM〃平面A3尸.

4

方法二：当AM=1AC时，EA/〃平面AB尸.证明如下：

如图2,在平面BCEF内过E作ENHBF交BC于N,连接MN.

A

图2

因为EF//3C,EN//BF,

所以四边形5N所为平行四边形，所以NB=EF=1.

因为3c=4,所以BN=l8C,又AM=1AC,

44

所以MN〃AB.

因为MV<Z平面A8尸,所以MV〃平面ABF.

又因为EN”BF,ENU平面ABF,所以EN〃平面ABF.

因为ENcMN=N,所以MNE〃平面A8尸，

因为EMu平面MNE,所以EM〃平面AB尸.

21.（2021•全国高三其他模拟）在四棱锥S-ABC。中，底面A8c。为菱形，ZBAD=60°,平

面SAQ_L平面ABC。，ASA。是边长为2的正三角形，E,尸分别为AO,S3的中点.

（I）证明：EF〃平面SCD；

（II）在棱SA上是否存在一点P，使得锐二面角尸-BC-S的余弦值为旭？若存在，求

26

出3的值；若不存在，请说明理由.

SA

WP1

【答案】（I）证明见解析；（II）存在，夫=（

【分析】

（【）取知的中点G,连接EG,FG,由中位线的性质得EG〃S£）,由线面平行的判定定

理得EG//平面SCD,FG〃平面SCD,再利用面面平行的判定定理及性质定理即可得证；

（II）建立合适的空间直角坐标系，求出平面SBC和平面PBC的法向量，再利用空间向量

的夹角公式即可求解.

【详解】

（1）证明：取AS的中点G,连接EG,FG,

vE.G分别为A。，AS的中点，.•.EG〃SD

又EG仁平面SCD,SDu平面SCD,

EG//平面SCD.

同理可证EG〃平面SCD.

又•.•EGO尸G=G,.•.平面瓦G〃平面SCO.

又EFu平面EFG,EFU平面SCD.

(ID设在SA上存在一点尸，使得锐二面角尸-3C-S的余弦值为生区.

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为正三角形，且E为AO的中点，

.\SELAD.

乂•••平面SAO_L平面ABC£>,平面SAOc平面=

m平面A3CD

在菱形ABC。中，ZB4£>=60°,:.AE1BE.

以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系E-孙z.

则点5(0,0,^),C(-2,5/3,0),A(l,0,0),