高中数学：8-4平面（学案）

第04讲平面

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课程标准课标解读

1.理解三种语言的转换与翻译，三个基本事实的掌握

与运用；通过本节课的学习，要求掌握三种语言表达

2.会用图形语言、符号语言表示点与直几何中的位置关系，并能运用基本事实及推

线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系.论证明点与线、点与面、线与面的位置关系.

3.能初步判断点与线、点与面、线与面的位置关系.

趣知识精讲

知识点

一、平面

1.平面的概念

生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象.

几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物体中抽象出来的.但是，几何里的平面是无限延展的,

一个平面可以将空间分成两部分.

2.平面的画法

在立体几何中，我们通常用平行四边形来表示平面.

（1）当平面水平放置时，如图（1）,平行四边形的锐角通常画成45。，且横边长等于其邻边长的一2倍;

当平面竖直放置时，如图（2）,平行四边形的一组对边通常画成铅垂线.

（2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，也

可以不画.如图（1）表示平面』在平面a的上面，图（2）表示平面a在平面4的前面.

3.平面的表示

为了表示平面，我们常把希腊字母a,夕，y等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面a,平面夕;

也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点表示，还可以用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的

大写英文字母表示.如图中的平面可以表示为：平面a、平面ABC。、平面AC或平面8£）.

4.点、直线、平面之间位置关系的符号表示

点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的集

合.集合中很多符号的规定都源于将图形视为点集•点与直线（平面）之间的位置关系用符号“e”，“右”

表示，直线与平面之间的位置关系用符号“u”，“仁”表示等.点、直线、平面之间位置关系的符号表示

如下：

点尸在直线“上，记作Pea；

点。不在直线a上，记作QCa；

点A在平面a内，记作Aea；

点2不在平面a内，记作Bea；

直线＜7在平面a内，记作aUa；

直线/不在平面a内，记作/.a；

直线”与匕相交于点A,记作anb=4；

平面a,B相交于直线I,记作aC网.

二、平面的基本性质

1.三个基本事实：

（I）基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

符号表示：A&l,Bel,且Aea,Beanlua.如图所示:

作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面.

(2)基本事实2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

符号表示：A,B,C三点不共线=有且只有一个平面a,使Aea,Bea,Cea.如图所示:

作用：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面.

(3)基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

符号表示：Pea,且，且Pe/.如图所示：

作用：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点.

2.三个推论

(1)推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.

符号语言：若点A6直线a,则A和a确定一个平面a.如图所示：

(2)推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.

符号语言：aZ?=P=有且只有一个平面a,使aua,baa.如图所示:

（3）推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.

符号语言：a〃6n有且只有一个平面a,使aua,bua.如图所示:

【微点拨】对三个基本事实的理解

（1）对于基本事实1,我们可以知道：一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点在平面内.

（2）“不在一条直线上”和“三点”是基本事实2的重点字眼，如果没有前者，那么只能说“有一个平面”，

但不唯一；如果将"三点”改成“四点”，那么过四点不一定存在一个平面.由此可见，“不在一条直线上的

三点”是确定一个平面的条件.

（3）基本事实3反映了平面与平面的一种位置关系——相交，且交线唯一.

【即学即练1】如图所示，用符号语言可表示为（）

A.a/3=m,“ua,mn=AB.aP=m,nea,mn=A

C.aP=m,aua,A（^m,AanD.a\。=m,nea,Aem,Aen

【答案】A

【解析】

【分析】

由图可知两平面相交于直线m,直线”在平面a内，两宜线交于点A,从而可得答案

【详解】

由图可知平面4夕相交于直线机，直线"在平面a内，两直线也〃交于点A,所以用符号语言可表示为

aP=m,"ua,mn=A,

故选：A

【即学即练2】以下说法中，正确的个数是（)

①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若直线“，力共面，直线“，C共面，则直线4C共面：

③首尾依次相接的四条线段必共面.

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】

根据平面的基本性质知①中若有三点共线则必四点共面，②中只能得到两个平面有交线，不能得到两面重

合③可由空间四边形知结论错误.

【详解】

①正确，若四点中有三点共线，则可以推出四点共面，这与四点不共面矛盾；

②不正确，共面不具有传递性；

③不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面内，

故选：B

【即学即练3】下列叙述中，正确的是（）.A.因为尸ea,Qea,所以PQea

B.因为Pwtz,所以=

C.因为ABua,C^AB,D^AB,所以C£>wa

D.因为ABua,ABu/3,所以a/3=AB

【答案】D

【解析】

【分析】

根据基本事实1判断选项A、C,根据基本事实3判断选项B、D.

【详解】

A：因为Pea,Qea,所以PQua,故A错误；

B：因为Pec，Qs。、所以ac£=PQ或a〃6，故B错误；

C：因为ABua,CeAB,DeAB,所以CDua,故C错误；

D：因为A8uc,A8u£,所以a/3=AB,故D正确.

故选：D

【即学即练4】以下四个命题：①三个平面最多可以把空间分成八部分；②若直线au平面a,直线6u平

面■，则与b相交'与"a与£相交”等价；③若直线“u平面呢直线bu平面夕，且a匕=尸,

则Pw/；④若〃条直线中任意两条共面，则它们共面.其中正确的是

A.①②B.②③C.③④D.①③

【答案】D

【解析】

【分析】

利用公理求解空间中线线、线面、面面间的位置关系.

【详解】

对于①，正确；对于②，逆推力与夕相交”推不出““与。相交”，也可能是a〃b或异面，如长方体的面对角

线；

对于③，由“基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”

可知正确；

对于④，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共而，故④错.所以正确的是①③.

故选：D.

【点睛】

本题考查空间线线、线面和面面的位置关系的判断，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题.

【即学即练5】如图所示，平面a1平面尸=/,点48€々，点。€〃，直线A3c/=R.设过三点的

平面为y,则〃cy=（）

A.直线ACB.直线3c

C.直线CRD.以上均不正确

【答案】C

【解析】

由CR是平面/和7的两个公共点，山两个平面若有交点，所有的交点都在同一条直线上，即可进行判断.

【详解】

QABZ=R,平面a1平面p又儿8,。三点确定的平面为/,

，（7€7,钙匚％；./?€九又、（7€民，（?,我是平面万和/的公共点，，£门/=以.

故选：c

【点睛】

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，因此两个不重合的平面

的两个公共点的连线必为这两个不重合的平面的交线.

【即学即练6】以下四个命题中，不正确的命题是（）

A.不共面的四点中，其中任意三点不共线

B.若点A,B,C,O共面，点共面，则ARCRE共面

C.若直线a,b共面，直线共面，则直线仇。共面

D.依次首尾相接的四条线段必共面

【答案】BCD

【解析】

【分析】

利用反证法可知A正确；直线DE与直线AC异面时，A,8,C,D,E不共面，判断5；C中。,c可为异面直线,

判断C；。中四条线段可构成空间四边形，判断。.

【详解】

A选项：若任意三点共线，则由该直线与第四个点可构成一个平面，则与四点不共面矛盾，则任意三点不

共线，A正确；

B选项：若A&C三点共线，直线DE与直线AC异面，此时A,8,C,O,E不共面，B错误；

C选项：“力共面，"，c•共面，此时b,c可为异面直线，C错误；

O选项：依次首尾相接的四条线段可构成空间四边形，O错误.

故选：BCD

【即学即练7】在平地上，自行车侧旁的撑脚放下能确保自行车的稳定，其反映的立体几何知识是：

【答案】不在同一条直线上的三个点确定一个平面

【解析】

【分析】

根据底面是三角形时，立体儿何比较稳定即可得出答案.

【详解】

自行车的前轮、后轮有两个着地点，

撑脚放下，在地面上形成三角形，

由基本事实3可确定自行车的稳定.

故答案为：不在同一条直线的三个点确定一个平面.

【即学即练8】经过一点可作个平面，经过两点可作个平面，经过三点可作

个平面，经过不共面的四点可作个平面.

【答案】无数无数一或无数4##四

【解析】

【分析】

根据平面的性质作答即可.

【详解】

经过一点可作无数个平面，

经过两点可作无数个平面，

经过三点，若三点不在一条直线上，可作一个平面，若♦点在一条直线上可作无数个平面，故经过三点可作

一或无数个平面

经过不共面的四点，任取3点可作一个平面，一共可作4个平面.

故答案为：无数；无数；一或无数：4.

【即学即练9】在空间四边形ABC。中，点E,F,G,H分别在AB,BC,CD,D4上，若直线E"与FG

相交于点P,则点P与直线3。的关系是.

【答案】PwBD

【解析】

【分析】

根据点线、线面关系，结合平面的基本性质，即可判断点线关系.

【详解】

由题意，PeEH,PeFG,而£7/u面ABC,FGu面CBD,

Pw面ABD,尸e而CBD、而面A应)［面C3Z)=BD,

:.P&BD.

故答案为：PeBD

【即学即练10】画出满足下列条件的图形(其中A,B,M表示点，m,n,a,6表示直线，a,户表示平

面):

(l)，wua,“u4,a/3=l,mlIni11；

(2)Aetz,Be尸，ABcta,ABu。,ap=l；

(3)aua,buB,a0=1,ab-M.

【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析.

【分析】利用点、线、面的位置关系的图形表示，即可得到答案；

【解析】

(1)

【即学即练11】请指出下列说法是否正确，并说明理由：

(1)空间三点确定一个平面；

(2)如果平面a与平面夕有公共点，那么公共点就不止一个；

(3)因为平的斜屋面不与地面相交，所以屋面所在的平面与地面不相交.

【答案】(1)错误，理山见解析；

(2)正确，理由见解析：

(3)错误，理由见解析.

【分析】

利用平面的定义和性质的应用即可得出结果.

【解析】

(1)错误，因为只有不在同一条直线上的三点，才能确定一个平面，故(1)错误；

(2)正确，若平面a与夕有公共点，那么这些公共点可以构成一条直线，故公共点就不止一个，故(2)正确；

(3)错误，平的斜屋面所在的平面与底面不相交，只是斜屋面不够大，由于平面是无限延展的，所以必相交,

故(3)错误.

【即学即练12］如图，已知平面a,夕，且a夕=/.若梯形ABC。中，AD//BC,且A8<=a,CDu.

求证：AB,CD,/共点(相交于一点).

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】

利用平面基本事实2可以证明三线共点：设直线ABc直线C0=M,先证明M为£的公共点，再证明

Mel,从而可以证明A8,8,/共点.

【详解】因为梯形H3CZ)中，AD//BC,所以A8,C。是梯形ABCD的两腰.

所以直线A8,8必相交于一点.

设宜线AflC宜线CD=A/.

又因为A8uc,COu£,所以

所以Meac分.

又因为a£=/,所以Me/,即A8,C。，/共点(相交于一点).

考法01

1.三种语言的转换

学习几何问题，三种语言间的互相转换是一种基本技能.

要注意：(1)正确区分点、直线、平面之间位置关系的符号表示；

(2)用图形表示时，正确区别实线和虚线.

【典例1】如图所示，用符号语言表示以下图形中点、直线、平面之间的位置关系:

D

①点A,8在直线“上________；②直线。在平面a内；③点。在直线b上，点C在平面a内

【答案】Aea,BeaaaaDeb,Cea

【解析】

【分析】

根据点、线、面位置关系及其表示方法即可求出结果.

【详解】

根据点、线、面位置关系及其表示方法可知：①Aea,Bea；②aua；③Dwb,Cea.

故答案为：①Aea,Bea；②:aua；③Deb,Cea

【典例2］把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上.

7

/T7•A

[Av

ABC

(1)AAa,gag

(2)aC网a,且P耶____.

(3)aC\B=a,aC\y=c,pC\y=b,aC\bC\c-0.

【答案】BCA

【解析】

【分析】

根据图形语言与符号语言的相互转化即可判断

【详解】

根据图形语言与符号语言的相互转化即可判断(1)对应的是图8;(2)对应的是图C；(3)对应的是图A,

故答案为：B；C；A

【典例3】用符号语言表示下列语句，并画出图形：

(1)三个平面a,夕，y相交于一点P,且平面a与平面尸相交于P4,平面a与平面》相交于PB,平面

P与平面》相交于PC-

(2)平面ABO与平面BOC相交于80,平面ABC与平面ACC相交于AC.

【答案】答案详见解析.

【解析】(1)符号语言表示：aC£Cy=P,aC\p-PA,aC\y=PB,0c产PC,图形表示：如图(1).

(2)符号语言表示：平面A8£)n平面平面ABCfl平面AOC=AC,图形表示：如图(2).

【名师点睛】要注意符号语言的意义，如点与直线、点与平面之间的位置关系只能用“e”或“史”，直线与平

面之间的位置关系只能用“u”或“U”.用图形语言表示点、线、面之间的位置关系时，要注意实线和虚线

的区别.

【典例4】用符号表示下列语句：

(1)点A在直线/上，/在平面a内；

(2)平面a和平面夕的交线是直线/,直线机在平面a内；

(3)点A在平面a内，直线/经过点A,且直线/在平面a外；

(4)直线/经过平面a外一点M.

【答案】(l)Ac/,/ua；

(2)平面a平面£=直线/,直线，"<=平面a；

(3)点Aw平面a,点Ae直线/,直线/<Z平面a；

(4)点Me平面口,点Me直线/.

【解析】

【分析】

利用点与直线、点与平面、直线与平面的关系直接求解.

(1)点A在宜线/上，/在平面a内，记为：Ae/,/ua；

(2)平面a和平面夕的交线是直线I,宜线切在平面a内,

记为：平面a0平面尸=直线/,直线，”u平面a；

(3)点4在平面a内，直线/经过点A,且直线/在平面a内外,

记为：点Ac平面a，点Ae直线/,直线平面a；

(4)直线/经过平面a外一点M,

记为：点平面a，点Mw直线I.

考法02

2.点、线共面问题

基本事实1、基本事实2及其推论是证明点、线共面的主要依据.常用的方法有：

(1)纳入平面法：先由部分元素确定一个平面，再证明其他的元素也在此平面内.

(2)辅助平面法：先证明有关点、线确定平面a,再证明其余点、线确定平面夕，最后证明夕，夕重合.

【典例5】下面三条直线一定共面的是()

A.a,b,c两两平行B.a,b,c,两两相交

C.a//b9c与a,〃均相交D.a,b,c两两垂直

【答案】C

【解答】解：对于4,直线a,b,。两两平行，不一定得出a、b、c共面；

对于8,直线小b,。两两相交，不一定得a、/?、c共面；

对于C,a//b,且c与〃、人都相交，则〃、b、c三条直线共面；

对于£>,a,b,c两两垂直，不一定得出〃、b、c共面.故选：C.

【名师点睛】本题考查了空间中的三条直线位置关系应用问题，是基础题.根据题意分别判断选项中的命

题结论是否正确即可.

【典例6】如图，在正方体A3CO-A4GA中，判断下列命题是否正确，并说明理由.

(1)由点4。，C可以确定一个平面;

（2）由点A,G，片确定的平面为平面

【答案】（1）不正确，理由见解析；（2）正确，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）由正方体的性质知A,O,C在同一条直线上，此三点所成平面有无数个，可知正误.

（2）由正方体的性质知A,B1，G不共线且〃瓦G，即可判断A,G，坊的平面.

【详解】

（1）不正确，由点A,O,C在同一条直线上，则不能确定一个平面，而有无数个平面.

（2）正确，由A,片,G不共线，则可确定一个平面.

又ADMB\G，则De面AB£.

.••由点A,G，片确定的平面为面ADCg.

【典例7】如图所示，在空间四边形ABC。中，E,尸分别为A8,A。的中点，G,”分别在8C,C。上,

且BG:GC=DH:HC=1:2.求证：

（1）E、F、G、，四点共面；

（2）EG与，尸的交点在直线AC上.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）由平行关系转化，可得EF//GH,即可证明四点共面；（2）由条件证明EG与”产的交点既在平面ABC

上，又在平面AC£＞上，即可证明.

【详解】

证明（I）VBG:GC=DH:HC,：.GH//BD.

VE,F分别为AB,的中点，

/.EF//BD,EFUGH,：.E,F,G,H四点共面.

（2）VG,，不是BC,CO的中点，

EF//GH,且EF工GH,故EFHG为梯形.

.•*EG与FH必相交，设交点为M,

二EGu平面ABC,FHu平面ACD,

/.MG平面A8C,且Me平面ACD,

/.MeAC,即GE与HF的交点在直线AC上.

【典例8】求证：两两相交且交点不止一个的四条直线〃、b、c、d共面.

【答案】证明详见解析.

【解析】（1）无三线共点情况，如图（1）.

设ad=M,bd=N,c\d=P,ah=Q.a\'c=R,bc=S.

因为0d=M,所以a,4可确定一个平面a.

因为Ned,Q€a,所以Ne。，Qea,所以NQua,即8ua.同理，cua,所以“，b,c,d

共面.

（2）有三线共点的情况，如图（2）.

设％,c,4三线相交于点K,与a分别交于点N,P,M,且K《a,

因为K足a,所以K和。确定一个平面，设为

因为Nea,au0,所以Ne〃.所以NKu0,即hu/?.同理，cuB,du0.

所以a,b,c,4共面.由（I）（2）知，a、b、c、4共面.

考法03

3.平面的交线问题

根据基本事实3,如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们必定还有其他公共点，只要找出这两

个平面的两个公共点，就找出了它们的交线.因此求两个平面的交线的突破口是找到这两个平面的两个公

共点.

【典例9】如图，在正方体ABCO-A4GR中，若P为棱8片的中点，判断平面与平面ABCQ是否

相交.如果相交，作出这两个平面的交线.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

根据基本事实2可作两个平面的交线.

【详解】

平面。/C与平面A8co相交，

如图，连接£>8、。厂并延长交于。，连接C。,

则平面RPC「）平面ABCD=CQ.

【典例10］在三棱锥4-BCO的棱4B、BC、CD、D4上分别取E、F、G、”四点，如果E/Tl”G=P,则

点尸（）

A.一定在直线上B.一定在直线AC上

C.在直线AC或上D.不在直线AC上，也不在直线8。上

【答案】B

【解析】如图所示，YEFu平面ABC,"Gu平面AC。，EFClHG=P,

.♦.PG平面ABC,PG平面ACD又\•平面ABCD平面ACO=AC,：.PeAC,

故选B.

【典例11】.如图，平面“C平面£=/,ABGa,CeP,Ce/,直线48c/=£>,过A,RC三点确定的平面为

A.点AB.点8C.点C,但不过点OD.点C和点。

【答案】D

【解析】

【分析】

根据平面的基本性质及推论推导即可

【详解】

由题意知，Del,/u£,.•.£）€£,又OwAfi,

：.Dey,即3在平面/与平面夕的交线上，又Cey,Ce/?,

...点C在平面7与平面夕的交线上，即平面？，夕的交线必过点C和点D

故选：D.

考法04

4.三点（多点）共线问题

点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3.常用方法有：

（1）首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知这些点都在这两个平面

的交线上；

（2）选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.

【典例12］已知△ABC在平面a外，其三边所在的直线满足4BCla=P,BCTla=。，ACTla=R,如图所示,

求证：P,Q,R三点共线.

【解析】

【分析】

推导出P,。，K都在平面48c与平面a的交线上，即可证明.

【详解】

证明：法一：-：ABna=P,

：.PeAB,PG平面a.

又A8u平面48C,平面ABC.

.•.由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面a的交线上，同理可证。，R也在平面ABC与平面a的交线

上.Q,R三点共线.

法二：'：APHAR=A,

：.宜线AP与直线AR确定平面APR.

5i,：ABna=P,ACC\a^R,，平面APRC平面a=PR.

VBe¥ffiAPR,CG平面APR,APR.

■:QRBC,平面APR,又。Ga,：.Q&PR,

：.P,Q,K三点共线.

【典例13］如图所示，四边形ABC。中，已知AB〃C£>,AB,BC,DC,AC（或延长线）分别与平面a相交

于E,F,G,H,求证：E,F,G,，必在同一直线上.

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】根据推论3及基本事实2可知，两条平行直线A8和CD可以确定一个平面ABC。，并且平面4BCZ）

与平面a的所有的公共点应该在一条直线上，根据题意，这些公共点即E,F,G,H四点，所以这四点必

定共线.

【详解】证明：因为4B〃C。，所以A8,C£＞确定平面AC,因为ABCa=E,所以Ee平面AC,EGa,由

基本事实3可知，E必在平面AC与平面a的交线上.同理「，G,“都在平面AC与平面a的交线上，因

此E,F,G,，必在同一直线上.

【点睛】在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用基本事实2,即先证明这些点都是某二平面的公

共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论.

考法05

5.三线共点问题

证明三线共点问题，一般先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点.常

结合公理3,证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线（第三条直线）上，从而证明三线

共点.

【典例14］如图，在四面体A8CQ中，E,G分别为8C,AB的中点，点F在C£＞上，点H在AO上，且

有。/：FC=1：3,。，：”4=1：3.求证：EF,GH,8。交于一点.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

利用基本事实4和基本事实2可证三线共点.

【详解】

证明连接GE,HF.

因为E,G分别为BC,A8中点，所以GE〃1AC.

2

因为。尸：尸C=l：3,=1：3,所以"FV/’AC.

3

从而GE〃HF且GE#HF,故G,E,F,，四点共面且四边形EFHG为梯形，

因为EF与GH不能平行，设EFCGH=O,则Oe平面480,06平面BCD

而平面ABDA平面38=80,所以GH,BD交于一点、.

【典例15］如图，不共面的四边形AB8H,BCC'B',C44。都是梯形.求证：三条直线AV,BB',CC相

交于一点.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

分析先证其中两条直线共而且交于一点，再证这点也在第三条直线上即可.

【详解】

因为在梯形A88次中，A'B'//AB,所以A4',89在同一平面A5内.

设直线44',89相交于点P,如图所示.

同理8夕，CC同在平面8。内，CC,A4'同在平面A'C内.

因为PGAA144匕平面4C,所以Pe平面4c.

同理点尸6平面BC,所以点尸在平面A，C与平面5c的交线上，

而平面A'CB平面BC'=CC,故点PG直线CC,即三条直线441BB',CC相交于一点.

福分层提分

题组A基础过关练

1.下列叙述错误的是（）

A.若pGaCp,且anp=l,则p£l.

B.若直线々n/?=A,则直线。与/?能确定一个平面.

C.三点A,B,C确定一个平面.

D.若Ad/,Be/且AWa,则/ua.

【答案】C

【解析】

由空间线面位置关系，结合公理即推论，逐个验证即可.

【详解】

选项A,点P在是两平面的公共点，当然在交线上，故正确；

选项8,由推论可知，两相交直线确定一个平面，故正确：

选项C,只有不共线的三点才能确定一个平面，故错误；

选项。，由基本事实1,直线上有两点在一个平面内，则整条直线都在平面内.

故选：C

2.下面四个条件中，能确定一个平面的是（）

A.空间中任意三点B.空间中两条直线

C.空间中两条相交直线D.一条直线和一个点

【答案】C

【解析】

根据每个选项，可举出相应的反例进而得到结果.

【详解】

A,空间任意三点，当三点共线时能确定一条直线而不是平面，故不正确；

B.空间两条直线，当两条直线重合时，过这条直线的平面有无数个，故不正确；

C.空间两条平行直线，根据课本中的判定得到是正确的；

D.一条直线和一个点，当这个点在直线上时，过这条直线的平面有无数个，故不正确.

故选：C.

3.设/,，〃表示两条不同的直线，％夕表示两个不同的平面，。表示一个点，给出下列四个命题，其中正确

的命题是（）

①Qwa,luanQel②/c〃z=。，mu。③/〃加，lua,Q^m,Qwcnmua

④aJ_/且aP=m,Q&P,Q&l,ILa=lu/3

A.①②B.②③C.②③D.③④

【答案】D

【解析】

【分析】

根据点线面的位置关系，判断①的正确性.根据基本事实1判断②的正确性，根据基本事实2及其推论判断

③的正确性，根据面面垂直的性质，判断④的正确性.

【详解】

对于①，。点和直线/都在平面a内，但是。不一定在直线/上，故①错误.

对于②，根据条件可知直线/有一个点。在夕内，根据公理1，无法判断直线/是否含于平面尸，故②错误.

对于③，由于〃/m,所以/与加共面，直线/与Q确定一个平面，且Qe，〃，Qea,所以机ua,故③正确.

对于④，a,4且ap=m,而Qe/?,Qel,,过一点只能作平面的一条垂线，且。所以/u1，

故④成立

故选：D

【点睛】

本小题主要考查空间点、线、面位置关系有关命题真假性的判断，属于基础题.

4.空间中AB,C,D,E五点不共面，已知AB,C,。在同一平面内，B,C,D,E在同一平面内，那

么B,C,D三点、()

A.一定构成三角形B.一定共线C.不一定共线D.与AE共面

【答案】B

【解析】

【分析】由已知条件可知，B,C,。既在平面ABCD上又在平面BCDE匕结合公理3即可得出.

【详解】设平面ABCD为a,平面BC£)E为夕，且AB,C,D,E不共面，则BCua,C£)ua,

BCu民COuP，则a,尸必相交于直线/，且3e/,Ce/,Z)e/,故5,C,。三点一定共线且位于平面A8CZ)

与平面B8E的交线上.

【点睛】本题对空间中三点共线进行考查，解题的关键是基本事实3的运用.

5.如图，四棱锥P-A3C£>,ACBD=O,M是PC的中点，直线AM交平面尸瓦)于点N,则下列

结论正确的是

A.O,N,P,M四点不共面B.四点共面

C.三点共线D.P,N,O三点共线

【答案】D

【解析】

【分析】

根据基本事实一、二、三逐一排除即可.

【详解】

直线AC与直线P0交于点。，所以平面PCA与平面PBD交于点O,所以必相交于直线PO,直线AM在平

面PAC内，点NeAM故Ne面PAC,故O,N,P,M四点共面，所以A错.

点D若与M,N共面，则直线BD在平面PAC内，与题目矛盾，故B错.

0，M为中点，所以OM//PA,ONcPA=P,故ONcOM=O,故C错.

故选D.

【点睛】

本题属于中档题，考查基本事实一、二、三的应用，学生不易掌握，属于易错题.

6.一个平面将空间分成两部分，两个平面最多将空间分成四部分，三个平面最多将空间分成八部分……由

此猜测，〃（〃wN*）个平面最多将空间分成（）部分.

A.2〃B.C.2〃D.+1

6

【答案】D

【解析】

由2,3,4,5个平面把空间最多分成的部分数可排除A,B,C.

【详解】

由一个平面将空间分成两部分，两个平面最多将空间分成四部分，三个平面最多将空间分成八部分，可以

排除A3两个选项.四个平面时，可以考虑在三个平面最多将空间分成八部分的情况下再加一个平面，则第

四个平面最多可以将该八部分中的七个分为两部分，所以四个平面最多将空间分成十五部分，可以排除C

选项.

故选：D.

【点睛】

本题考查平面分空间问题，解题时通过从特殊到一般进行归纳，也可通过特殊个数平面分空间个数来否定

三个选项.

7.如图是正方体或四面体，P,Q,R,S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是（）

【答案】D

【解析】

利用异面直线的判定方法可得正确的选项.

【详解】

在A图中，分别连接PR,QS,则PR//QS,所以P,S,R,。四点共面,

在B图中，过尸,S,H,Q可作一个正六边形，如图所示，故尸,S,R,Q四点共面,

在C图中，分别连接PQ,RS,则PQ〃RS,所以P,S,R,。四点共面,

在D图中，PS与RQ为异面直线，所以P,S,R,Q四点不共面,

故选:D.

【点睛】

关键点睛：解题关犍在于对异面直线的判定方法的理解，难度属于基础题

8.下列结论中不正确的是（）

A.若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点

B.若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线

C.若点A既在平面a内，又在平面月内，则a与4相交于6,且点A在匕上

D.任意两条直线不能确定一个平面

【答案】D

【解析】

【分析】

由平面基本性质若两个不重合的平面有一个公共点，则两平面相交于过这一点的一条直线，有无数个公共

点，可判断A,C正确，

由直线与直线外一点确定一个平面可得选项B正确；

由两条直线平行或相交，则可以确定一个平面可得选项D错误.

【详解】

解：由平面基本性质可知，若两个不重合的平面有一个公共点，则两平面相交于过这一点的一条直线，有

无数个公共点，因此选项A,C正确；

当平面四个点中，有三点共线，由直线与直线外一点确定一个平面可得此四个点共面，

故假设不成立，即其中任意三点不共线，因此选项B正确；

若两条直线平行或相交，则可以确定一个平面，因此选项D错误.

故选D.

【点睛】

本题考查了平面的基本性质、线面关系，重点考查了空间想象能力，属基础题.

9.在空间四边形ABC。各边A3、BC、CD、D4上分别取点E、F、G、H,若直线EF、G”相交于点

尸，则（）

A.点尸必在直线AC上B.点尸必在直线8。上

C.点户必在平面内D.点尸必在平面BCO内

【答案】A

【解析】

【分析】

根据平面的基本性质公理，利用两个平面的公共点在两平面的公共直线上来判断即可.

【详解】

•••EF在面ABC上，而GH在面A0C上

且EF、G”能相交于点P,

二P在面ABC与面AOC的交线上，

：AC是面A3C与面ADC的交线，

所以点尸必在直线AC上.

故选：A.

【点睛】

本题考查平面的基本性质及其推论，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答.

10.A,B,C表示不同的点，〃，/表示不同的直线，a,4表示不同的平面，下列推理表述不正确的是（）

A.Ae/,Aea,BGI,BGanlua

B.A6a,Aw夕，BG。,8Ca=an4=直线AB

C.A,B,Cea,A,B,Ce夕，且A,B,C不共线=a与"重合

D.Ida,“ua,今/与“不能确定唯一平面

【答案】D

【解析】

【分析】

由平面性质的三个公理得选项A正确；an/?=直线4B,所以选项BiE确；因为不共线的三个点只能确定一

个平面，所以选项C正确；/与〃能确定唯一平面，所以选项D不正确.

【详解】

由平面性质的三个公理得选项A正确；

由题得A8u%A8u£,所以＜加夕=直线A8,所以选项B正确：

因为不共线的三个点只能确定一个平面，所以a与3重合，所以选项C正确；

/ua,〃ua,inn=A,/与〃能确定唯一平面，所以选项D不正确.

II.平面内8条直线没有四条直线共点，最多三条直线平行，至少有几个交点（）

A.9个B.10个

C.11个D.12个

【答案】C

【解析】

【分析】

根据已知条件，可以有二组三条直线平行，再分析如何增加两条直线使交点最少，作图即可求解.

【详解】

因为最多三条直线平行，可以有二组三条直线平行，

如图“〃2%，4也私，这6条线共有9个交点,

如图交点分别为AB,C,D,E,F,G,H,M,

若要使交点最少可以使/7过两组平行线的三个交点，此时没有增加新的交点，

因为平面内8条直线没有四条宜线共点，4不能过三条线的公J[•点，

比如不能过图中的AE,M,

由于不能过点E为了保证交点最少，4可以过两条直线的交点,

最少增加2个新的交点，如图点。,2，

所以至少有9+2=11个交点，

故选：C.

题组B能力提升练

1.（多选）已知A,8,C表示不同的点，/表示直线，a,夕表示不同的平面，则下列推理正确的是（）

A.Ael,Aea,Bel,Bqa=luaB.Aea,Aw/},Bea,Be/3=AH

C.I（^a,Ae/=AeaD.Asa,AGI,/<Xa=>/ca=A

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据点线面的位置关系即可得到答案.

【详解】

根据公理1可知A正确；

根据公理3可知B正确；

易知D正确；

点A可以为/,a的交点，C错误.

故选：ABD.

2.（多选）以下四个命题中，正确的是（）

A.不共面的四点中，其中任意三点不共线

B.若点A,B,C,。共面，点A,B,C,E共面，则A,B,C,D,E共面

C.若直线a,6共面，直线a,c共面，则直线瓦c共面

D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面

【答案】AD

【解析】

【分析】

A选项举出反例即可说明；C选项根据共面不具有传递性即可判断；B选项根据点共面的性质判定即可；D

选项根据过直线与直线外一点可确定个平面，即可判断.

【详解】

4正确，可以用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；

8从条件看出两平面有三个公共点A,B,C,但是若4,B,C共线，则结论不正确；

C不正确，共面不具有传递性，若直线”，方共面，直线a,c共面，则直线〃，。可能不在一个平面内；

。正确，两两相交的直线有三个公共点，确定一个平面.故选：AD.

3.如图所示，在正方体ABCQ-AAGR中，。为的中点，直线AC交平面于点M，则下列结论

正确的是（)

D\

A.G，M,。三点共线B.C，M,O,C四点共面

C.G，O,A,"四点共面D.A，D,O,M四点共面

【答案】ABC

【解析】

【分析】

根据点与线、点与面、线与面的位置关系判断即可；

【详解】

解：在正方体ABCO-A/GR中，。为的中点，直线AC交平面于点M,

在选项A中，•直线AC交平面CB。于点"，

.•.加€平面68。，Me直线AC,又ACu平面ACGA，.'Me平面ACGA,

。为。B的中点，3Z)u平面。田。，底面438为正方形，所以。为AC的中点，

平面CBQ,且Oe平面ACG4，

又G©平面G8。，且平面ACGA，

C,,M,。三点共线，故选项A正确：

在选项8中，；G，M,。三点共线，，G，M,0,C四点共面，故8正确；

在选项C中，C,,M,。三点共线，，G，M,0,A四点共面，故C正确：

在选项。中，.直线。W'CC,=C,,OOJ/CG，

£»,,D,0,M四点不共面，故O错误.

故选：ABC.

4.在空间四面体ABC。中，如图，旦'G,“分别是AB,8cAO,DC的中点，则下列结论一定正确的为

()

A.EG=FHB.EF=GH

C.EH与FG相交D.EG=HG

【答案】ABC

【解析】

【分析】

由题易得四边形EFHG为平行四边形，即可得到结论.

【详解】

如图

•••E,F,G,H分别是A5,BC,AD,DC的中点，

二EG〃B。且EG=!B。，FH〃BDS.FH=、BD,

22

：.EGFH且EG=FH,

...四边形EFHG为平行四边形，

二选项ABC正确；

又由题可知〃G=gAC,EG与"G不一定相等，故选项D错误.故选：ABC.

5.三个平面可以把空间分成"个部分，在下列选项中，”的值正确的有（）

A.5个B.6个C.7个D.8个

【答案】BCD

【解析】

【分析】

三个平面可以把空间分成4,6,7,8个部分，即可选出答案.

【详解】

三个平面两两平行，分成4个部分，如图I

三个平面中有2个平行，另一个与它们相交，分成6个部分，如图2

三个平面两两相交于同一直线，分成6个部分，如图3

三个平面两两相交，三条交线两两平行，这时把空间分成7个部分，如图4

三个平面两两相交，三条交线共点，这时把空间分成8个部分，如图5

6.(多选题)如图，正方体ABCO-AMGR中，若E,£G分别为棱8C,CG，4G的中点，。,。2分别是四边

形AORA，AMGR的中心,则()

D】

A.AC,a，A四点共面B.。，纹G,尸四点共面

C.A,E,F，A四点共面D.GE,。-。?四点共面

【答案】ACD

【解析】

【分析】

对于A,易知AC,R共面，再判断。|是否在这个平面即可；对于B,显然E,F,G在平面8CC画内，。不

在平面BCCg内，可知。，瓦G,尸四点不共面；对于C,由已知可知EF//A4,可判断四点共

面；对于D,连接GO?并延长，交AQ于“，连接H。-可知HOJ/GE,可判断G,瓦02四点共面.

【详解】

对于A,由。是四边形的中心，知。|是A2的中点，所以a在平面ACQ内，所以A,C,«，A