2023-2024学年陕西省西安交大附中航天学校八年级（下）第二次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年陕西省西安交大附中航天学校八年级（下）第二次月考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列图形中，是中心对称图形的是(

)A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.矩形2.下列从左到右的变形中，是因式分解的是(

)A.(a+1)(a−1)=a2−1 B.2ab2−43.等腰三角形的一角为100°，则另一角为(

)A.100° B.40° C.100°或40° D.50°4.若m>n，则下列不等式中正确的是(

)A.n−m>0 B.m−2<n−2 C.m+3<n+3 D.1−2m<1−2n5.如图，在▱ABCD中，AD=5，对角线AC与BD相交于点O，AC+BD=12，则△BOC的周长为(

)A.10

B.11

C.12

D.176.如果将分式2xx+y中的字母x与y的值分别扩大为原来的5倍，那么这个分式的值(

)A.扩大为原来的5倍 B.扩大为原来的10倍 C.缩小为原来的15 D.7.下列说法正确的是(

)A.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B.有一个角是直角的平行四边形是菱形

C.对角线相等的平行四边形是菱形 D.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形8.劳动节放假期间，小明准备打出租车去离家15千米的高铁站，由于恰逢打车高峰期，他决定骑共享单车前往高铁站，结果比打出租车要多花30分钟，已知出租车的平均速度是骑共享单车的平均速度的1.5倍，若设骑共享单车的平均速度为x千米∕时，则可列方程为(

)A.15x−151.5x=30 B.151.5x9.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A=50°，则∠B的度数为(

)

A.25° B.30° C.35° D.40°10.如图，在平面直角坐标系中点A的坐标为(0,6)，点B的坐标为(−32,5)，将△AOB沿x轴向左平移得到△A′O′B′，若点B′的坐标为(−192,5)，点A′落在直线y=kxA.−43 B.−34 C.二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.分解因式：a3−2a12.如图，点F为正五边形ABCDE的边CD的中点，连接AC、AF，则∠CAF的度数为______°.13.直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2

14.如图，在面积是12的平行四边形ABCD中，对角线AC绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交AD、BC于点E、F，若BF=2CF，则图中阴影部分的面积是______．15.若关于x的一元一次不等式组x−12−2x−13>−1x−m<0的解集是x<m.16.如图，已知在Rt△ABC(AC>BC)中，∠BCA=90°，BC=6，D为AB边上的中点，过点D的直线DF将△ABC的周长平分且交AC于点F，则DF的长为______．三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题5分)

解不等式组：4(x+1)≤7x+13x−4<x−8318.(本小题5分)

先化简，再求值：(x−2−4x−2)÷x−4x19.(本小题6分)

如图，在▱ABCD中，∠ABC=70°，请用尺规作图：在▱ABCD内找一点P使得∠PBC=35°，∠BPC=90°.(不写作法，保留作图痕迹)20.(本小题8分)

如图，在菱形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，延长CD到点F，使DF=CD，连接AC、CE、EF、AF．

(1)求证：四边形ACEF是矩形；

(2)若∠B=60°，AB=1，求四边形ACEF的周长．21.(本小题8分)

某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．

(1)求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？

(2)若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过96个，则商场购进乙商品最多多少个？22.(本小题8分)

材料1：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q=mn且p=m+n，则可以把x2+px+q因式分解成(x+m)(x+n)．

(1)x2+4x+3=(x+1)(x+3)；

(2)x2−4x−12=(x−6)(x+2)．

材料2：因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1

解：将“x+y”看成一个整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=(A+1)2再将“A”还原，

得：原式=(x+y+1)2

上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的思想方法，请你解答下列问题：

(1)根据材料1，把23.(本小题12分)

问题提出

(1)如图1，在△ABC中，AB=AC，点M为△ABC内一点，将线段AM绕点A逆时针方向旋转∠BAC的度数得到AN，连接NC，BM，则∠NCA与∠MBA的数量关系为______，MB与CN的数量关系为______．

问题解决

(2)如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，点M为△ABC内一点，连接AM，BM，其中BM=7，将AM逆时针旋转90°得到线段AN，交BM的延长线于点N，连接CN，求BN的长度．

拓展探究

(3)如图3，矩形ABCD中，CD=4，∠DAC=30°，E为直线AC上一动点.将DE绕D逆时针旋转90°，得到DF，连接BF，则BF的最小值为多少．

参考答案1.D

2.B

3.B

4.D

5.B

6.D

7.A

8.C

9.B

10.B

11.a(a−b)12.18

13.x<−1

14.2

15.m≤5

16.317.解：4(x+1)≤7x+13①x−4<x−83②，

由①得：x≥−3，

由②得：x<2，

∴18.解：原式=(x−2)2−4x−2⋅(x+2)(x−2)x−4

=x(x−4)x−2⋅(x+2)(x−2)x−419.解：如图，

①以点B为圆心，任意长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M、N，

②分别以M、N为圆心，大于12MN长度为半径画弧，两弧交于点E，

③以点C为圆心，任意长度为半径画弧，交BQ于点G、H，

④分别以G、H为圆心，CG长度为半径画弧，两弧交于点F，

⑤连接CF交BQ于点P，

∴点P即为所求．

证明：由作图可得，BQ平分∠ABC，FC平分∠BCD，

∵∠ABC=70°，

∴∠PBC=120.(1)证明：∵DE=AD，DF=CD，

∴四边形ACEF是平行四边形，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AD=CD，

∴AE=CF，

∴四边形ACEF是矩形；

(2)解：∵△ACD是等边三角形，

∴AC=AB=1，

∵四边形ACEF为矩形，

∴EF=AC=1，

过点D作DG⊥AF于点G，

∴AG=FG=AD×cos30°=32，

∴AF=CE=2AG=3，

∴四边形ACEF21.解：(1)设每个甲种商品的进价是x元，则每个乙种商品的进价是(x+2)元，

根据题意得：80x=100x+2，

解得：x=8，

经检验，x=8是原方程的解，且符合题意，

∴x+2=10，

答：每个甲种商品的进价是8元，每个乙种商品件的进价是10元；

(2)设商场购进乙商品y个，则购进甲商品(3y−5)个，

根据题意得：y+3y−5≤96，

解得：y≤25.25，

∵y为正整数，

∴y的最大值是25，

22.解：(1)x2−x−2=(x−2)(x+1)；

(2)①(x−y)223.(1)∠NCA=∠MBA，MB=CN；

(2)如图所示，

∵AB=AC=4，∠BAC=90°，

∴BC=AB2+AC2=42，

由旋转的性质可得：AM=AN，∠BAC=∠NAM，

∴∠BAC−∠CAM=∠NAM−∠CAM，即∠MAB=∠NAC，

∵AB=AC，

∴△BAM≌△CAN(SAS)，

∴∠ABM=∠ACN，BM=CN=7，

∵∠ADB=∠NDC，

∴∠BAD=∠CND=90°，

∴BN=BC2−CN2=5；

(3)如图，作DM⊥AC，FH⊥AC，DN⊥FH，

∴四边形DMHN为矩形，

∴∠DME=∠DNF=∠MDN=90°，

∵∠EDF=90°，

∴∠MDE=∠NDF，

∵DE=DF，

∴△MDE≌△NDF(AAS)，