高中数学经典的解题技巧和方法（导数及其应用）

高高中数学经典的解题技巧和方方法（导数及其应

用用）

导数及其应用用是高高中数学考试的必考内容，而而且是这几几年年考试的热点跟增长点，无无

论是期中、期末还

是会考、高高考，都是高高中数学的编辑部特意针对这两个部分

的内容和题型总结归纳了了具体的解题技巧和方方法，希望能够帮助到高高中的同学们，让同学们有

更更多、更更好、

更更快的方方法解决数学问题。好了了，下面面就请同学们跟我们一一起来探讨下集合跟常用用逻辑

用用语的经典解题技

巧。

首首先，解答导数及其应用用这两个方方面面的问题时，先要搞清楚以下几几个方方面面的基本概

念性问题，同学们

应该先把基本概念和定理理完全的吃透了了、弄弄懂了了才能更更好的解决问题：

1.导数概念及其几几何意义

（1）了了解导数概念的实际背景。

（2）理理解导数的几几何意义。

2.导数的运算

y=C(C^>^^),y=x,y=xi,y=^,y=-,y=4x

(1)能根据导数定义求函数x的导数。

（2）能利利用用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。

（3）能求简单的复合函数（仅限于形如了（⑪+力的复合函数）的导数。

3.导数在研究函数中的应用用

（1）了了解函数单调性和导数的关系，能利利用用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间

（其中多项

式函数一一般不不超过三次）。

（2）了了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用用导数求函数的极大大值、极小小

值（其中多项

式函数一一般不不超过三次）；会求闭区间了了函数的最大大值、最小小值（其中多项式函数一一般

不不超过三次）。

4.生生活中的优化问题

会利利用用导数解决某些实际问题

5.定积分与微积分基本定理理

（1）了了解定积分的实际背景，了了解定积分的基本思想，了r解定积分的概念。

（2）了了解微积分基本定理理的含义。

好了了，搞清楚了了导数及其应用用的基本内容之后，下面面我们就看下针对这两个内容的具体的

解题技巧。

一一、利利用用导数研究曲线的切线

考情聚焦：1.利利用用导数研究曲线丁=/（"）的切线是导数的重要应用用，为近几几年年各省市

高高考命题的热

点。

2.常与函数的图象、性质及解析几几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一一步

的形式

出现，属容易易题。

解题技巧：1.导数的几几何意义

函数y=/a）在/处的导数/,a）的几几何意义是：曲线y=/W在点？（/，/&＞））处的切线的斜

率

（瞬时速度就是位移函数s（f）对时间，的导数）。

2.求曲线切线方方程的步骤：

（1）求出函数y=/a）在点的导数，即曲线y=/a）在点「（/，/&＞））处切线的斜率；

（2）在已知切点坐标「（石＞，/（/））和切线斜率的条件下，求得切线方方程为丁一为=r（xoX”―天）。

注：①当曲线歹=/（力在点尸（々，/（/））处的切线平行行行于y轴（此时导数不不存在）时，由切

线定义可

知，切线方方程为x=/；

②当切点坐标未知时，应首首先设出切点坐标，再求解。

X

例例1：•海海南高高考.理理科T3）曲线,-X+2在点（一1，一1）处的切线）

（2010方方程为（

（A）（B）y=2x-l（C）y=-2x-3（D）y=-2x-2

t»—9V-1

【命题立立意】本题主要考查导数的几几何意义，以及熟练运用用导数的运算法则进行行行求解.

【思路路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方方程.

【规范解答】选人.因＞/=—J八左=y|_J=2

为Q+2）,所以，在点（一1，一1）处的切线斜率（T+2）,

以，切线方方程为y+l=2（x+l）,即y=2x-l,故选A.

二二、利利用用导数研究导数的单调性

考情聚焦：1.导数是研究函数单调性有力力力的工工具，近几几年年各省市高高考中的单调性问题,

几几乎均用用它解

决。

2.常与函数的其他性质、方方程、不不等式等交汇命题，且函数一一般为含参数的高高次、分式或

指、对数式

结构，多以解答题形式考查，属中高高档题目目。

解题技巧：利利用用导数研究函数单调性的一一般步骤。

（1）确定函数的定义域；

(2)求导数/'(X)；

2

（3）①若求单调区间（或证明单调性），只需在函数/（劝的定义域内解（或证明）不不等式/'（X）

＞0

或ra）vo。

②若己知了（劝的单调性，则转化为不不等式/'（x）K）或/'（x）W0在单调区间上恒成立立问

题求解。

/（x）=lnx-ax+-——-l（ael?）

例例2：（2010•山山东高高考文文科・T21）已知函数X

（1）当。=一1时，求曲线y=/a）在点（2，/（2））处的切线方方程；

（2）当“"5时，讨论f（x）的单调性.

【命题立立意】本题主要考查导数的概念、导数的几几何意义和利利用用导数研究函数性质的能力

力力.考查分类讨

论思想、数形结合思想和等价变换思想.

【思路路点拨】（1）根据导数的几几何意义求出曲线y=/（X）在点（2,/（2））处的切线的斜率；（2）

直接利利

用用函数与导数的关系讨论函数的单调性，同时应注意分类标准的选择.

X+2

1fH.lnx+x+--l,xe（0,400）,f'（x）=-^-

【规范解答】⑴当"T时，/（力=x所以''x2

因此，/'（2）=1,即曲线y=/（x灌点（2,f（2）处的切线斜率为1

又又"2）=1112+2,所以曲线y=/（x）在点（2,7\2））处的切线方程为y—（ln2+2）=x-2,

BPx-j+ln2=0.

ax2-x+l—。

/(x)=lnx-ar+-——-1xe(0,+QO)，令

(2)因为x，所以xx2

2

g(x)=ax-x+l-a,xe(0,-K»)5

(1)当"0时，g(x)=T+l,x«0,桢)，所以

当x«0,l）时g（x）＞0此时rG）«0函数/（x）单调递减；

当x«l,+8）时，g（x）＜0,此时r（x）40,函数/（x）单调递增.

1

（2）当"0时，由即ax2-x+l-a=Ox

l,x2

，解得

a<—x=x,g（x）＞°恒成立立，此时/'G）V°,函数/（X）在（0,+oo）上单调

①当2时，

，至、,日工

3

0<a<——-1>1>O

②当2时，a,

%G(°。时，gO此时，°,函数/(X)单调递减

44)时

g(x)<。,此时/«)>。，函数/(x)单调递增

XG(--1,+00

时,g(x)>°,此时ra)>°,函数/a)单调递减

—1<0

③当。<0时，由于a,

x«0，l)时，g(x)>°,此时/'(x)>°,函数/(x)单调递减：

X«L+8)时，g(x)<0,此时/，W>°,函数/(X)单调递增.

综上所述：

当a<0时，函数/CO在(°」)上单调递减;函数/GO在。，舟)上单调递增

当"一5时，函数/(%)在(°，+°°)上单调递减

当n时1，函数/G)在(°，。上单调递减；函数在'“1上单调递增；

-/、

函数/(X)在(21'田)上单调递减.

【方方法技巧】

1、分类讨论的原因

(1)某些概念、性质、法则、公式分类定义或分类给出；

(2)数的运算：如除法运算中除式不不为零，在实数集内偶次方方根的被开方方数为非非负数，对数

中真数与底数的

要求，不不等式两边同乘以一一个正数还是负数等；

(3)含参数的函数、方方程、不不等式等问题，由参数值的不不同而而导致结果发生生改变；

(4)在研究几几何问题时，由于图形的变化(图形位置不不确定或形状不不确定)，引起问题的结果有多

种可能.

2、分类讨论的原则

(1)要有明确的分类标准；

(2)对讨论对象分类时要不不重复、不不遗漏漏;

4

（3）当讨论的对象不不止止一一种时，应分层次进行行行.

3、分类讨论的一一般步骤

（1）明确讨论对象，确定对象的范围；

（2）确定统一一的分类标准，进行行行合理理分类，做到不不重不不漏漏；

（3）逐段逐类讨论，获得阶段性结果；

（4）归纳总结，得出结论.

三、利利用用导数研究函数的极值与最值

考情聚焦：1.导数是研究函数极值与最值问题的重要工工具，几几乎是近几几年年各省市高高考中

极值与最值问

题求解的必用用方方法。

2.常与函数的其他性质、方方程、不不等式等交汇命题，且函数一一般为含参数的高高次、分式、

或指、对数

式结构，多以解答题形式出现，属中高高档题。

解题技巧：1.利利用用导数研究函数的极值的一一般步骤：

（1）确定定义域。（2）求导数/'（X）。（3）①或求极值，则先求方方程/'（刈=0的根，再检验

小）在

方方程根左右值的符号，求出极值。（当根中有参数时要注意分类讨论）

②若已知极值大大小小或存在情况，则转化为已知方方程/'（x）=0的根的大大小小或存在情况，从而

而求解。

2.求函数丁=/（力的极值与端点处的函数值f（a），,3）比比较，其中最大大的一一个是最大大值，

最小小的----

个是最小小值。

例例3：（2010•天津高高考理理科•T21）已知函数,（X）=旄e的

（I）求函数/（X）的单调区间和极值；

（H）已知函数^=8（6的图象与函数y=/（x）的图象关于直线X>1对称，证明当X>1时，

f（x）>g（x）

（in）如果演**2,且/&）=/（/）,证明天+吃>2

【命题立立意】本小小题主要考查导数的应用用，利利用用导数研究函数的单调性与极值等基础知

识，考查运算

能力力力及用用函数思想分析解决问题的能力力力。

【思路路点拨】利利用用导数及函数的性质解题。

【规范解答】

(I)解：「。)=(1一/:令E(x)=O,解得x=l,

当x变化时，F(x),f(x)的变化情况如下表

5

X“)1(…

「(X)+0-

极大大值［来源:

f(x)

学。科。网网］

所以f(x)在(1，+8)内是增函数，在(1，心)内是减函数。

£

函数f(x)在x=l处取得极大大值f(l)且f(l)=e

(n)证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)e'-2

令F(x)=f(x)-g(x),即/“)=xex+(x-2)e*2

于是尸'a)=(x-l)(e*2-l)er

当X>1时，2x-2>0,从而而又e-x>0,所以F，(x)>0,从而而函数F(x)在口,+8)是增函数。

又又F(l)=e'，-e'1=。，所以x>l时，有F(X)>F⑴=0,即f(x)>g(x).

(HI)证明：(1)

若(再一1)(工2-1)=0油(I)及f(X)=f(X2),贝此=工2=1与工1矛盾。

(2)若(石一1)。2-1)>0,由(I)及f(X)=f(X2)，得石=*2与%矛盾。

根据(1)(2)得(不-1)(工2-1)<0，不妨设《1<也>1・

由(H)可知，2_々>2_々,贝|」2_々=寅2_5),所以从而而«%)>六2_修)因为

2-%2,

所以2一/<1,又又由(I)可知函数f(x)在区间(-00,1)内是增函数，所以图>2-即

演+X2>2o

四、利利用用导数研究函数的图象

考情聚焦：1.该考向由于能很好地综合考查函数的单调性、极值(最值)、零点及数形结合思想等

重

要考点，而而成为近几几年年高高考命题专家的新宠。

2.常与函数的其他性质、方方程、不不等式、解析几几何知识交汇命题，且函数一一般为含参数的高

高次、分式、

指、对数式结构，多以解答题中压轴部分出现。属于较难题。

例例4：(2010.福建高高考理理科.T20)(I)已知函数f(x)=X3-x,其图像记为曲线C.

(i)求函数f(x)的单调区间；

(ii)证明：若对于任意非非零实数XI,曲线C与其在点Pl(xi,f(x>)处的切线交于另一一点P?

(X2,f(X2).曲线

C与其在点P2处的切线交于另一一点P3(X3f(X3)),线段PP2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面面积

分别记为

6

曳

S1,S2,则$2为定值:

（口）对于一一般的三次函数g（x）=ax3+bx2+cx+d（a。。），请给出类似于（I）（ii）的正确命题，并予以

证明。

【命题立立意】本小小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括、推理理论证、运算求

解

能力力力，考查函数与方方程思想、数形结合思想、化归转化思想、特殊与一一般的思想。

【思路路点拨】第一一步（1）利利用用导数求解函数的单调区间，（2）利利用用导数求解切线

的斜率，写出切线方方

程，并利利用用定积分求解号,$2及其比比值；第二二步利利用用合情推理理的方方法对问题进行行行

推广广得到相关命题，并利利

用用平移的方方法进行行行证明。

【规范解答】（I）（。/'（乃=3*2-1=（缶+1）（石工-1）,

X>--1--oTJ7y<------1--

令ra）<o得到V3石，令ra）<o有

一忑《〈忑,因此原函数的单调递增区间为"8'足

1；单调递减区间为

寸（M）；

（ii）/'（x）=3/7,4（再户；一玉），r（X［）=3x^-l,因此

过点々的切线方方程为：^=0叶_1*_玉）+*_苍，即，=（3靖一1）一2石［由

y=0芯2_］A_2玉3

3

,丁=dr得x-x=（3叫2_1>_2石3,所以x=£或％=_2石，故W=一2七进而而有

2x，3­|演2工2+2玉3工274

Si=|j（x-3x^x+2x^ytx=7~石

’,用用/代替芯，重复上面面的

计

空出x、o昱=j_

算，可得玉=-2通和邑一产,又又演=-2叫/0,,・昆4%0°,因此有516

（H）【命题】若对于任意函数8（力="3+及2+以+”的图像为曲线。，其类似于（l）（ii）的命题为:

若对

__b_

任意不不等于一五的实数不，曲线与其在点耳（玉出（再））处的切线交于另一一点8（X2，g（X2））,曲线。

与其

在点月（工2函（工2））处的切线交于另外__点6a3，g（w））,线段与曲线C所围成面面积为

。C

&=上

则S216。

7

【证明】对于曲线7=奴3+.2+=+",无无论如何平移，其面面积值是恒定的，所以这里里里仅

考虑

2

7=@3+反2+6的情形，y=3oc+2Z>x+cF［（xx,ax［+bx^+c^）/'（^）=3axf+Ib^+c

因此过点々的切线方方程为：

y=（3*+2bxi+c）x-2x^—bxf

4

丁=（3心；+孙+4工一24-房，联立立［y=⑪3+加^+^,得到：

ax3+bx2-^axf+2bx^+bx^+2xf=0

化简：得到

,b+2axl力+4aM+6必叫+㈤、

从而而Q-%）2（@+6+2@J=0所以2a—'a,同样运用用⑴中方

方法便便

x3=-+4xl=-2x2

可以得到a'

所以516。

【方方法技巧】函数导数的内容在历届高高考中主要切线方方程、导数的计算，利利用用导数判断函

数单调性、极值、

最值等问题，试题还与不不等式、三角角函数、数列列、立立几几、解几几等知识的联系，类型有交

点个数、恒成立立问

题等，其中渗透并充分利利用用构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要的思想方方法，主

要考查导数

的工工具性作用用。

例例5.（2010•江西西高高考理理科,T12）如图，一一个正五角角星薄片片（其对称轴与水水面面

垂直）匀速地升出水水面面，记

t时刻五角角星露露出水水面面部分的图形面面积为s«）（s（°）=°）,则导函数y=s"）的图像大大致

为

【命题立立意】本题将各知识点有机结合，属创新题型，主要考查对函数的图像识别能力力力，灵活

分析问题和

8

解决问题的能力力力，考查分段函数，考查分段函数的导数，考查分类讨论的数学思想，考查函数的

应用用，考

查平面面图形面面积的计算，考查数形结合的思维能力力力.

【思路路点拨】本题结合题意及图像的变化情况可用用排除法；也可先求面面积的函数，再求其导数,

最后结合

图像进行行行判断.

【规范解答】选A.方方法一一：在五角角星匀速上升过程中露露出的图形部分的面面积共有四段

不不同变化情况，第

一一段和第三段的变化趋势相同，只有选项A、C符合要求，从而而先排除B、D,在第二二段变化

中，面面积的增

长速度显然较慢，体现在导函数图像中其图像应下降，排除选项C,故选A.

方方法二二：设正五角角星的一一个顶点到内部较小小正五边形的最近边的距离为1,且设

tanl8°=m,则依据

04f<1

2m,

2mt1<f,+1

2

(Jl+力2++4)Vl+m

2m.,-

S'(f)=~~f<2故选A.