四川省资阳市2024-2025学年高二数学下学期3月月考试题含解析

Page19四川省资阳市2024-2025学年高二数学下学期3月月考试题一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1.抛物线的准线方程是，则实数的值为（）A. B. C.8 D.【答案】B【解析】【分析】化简方程为，求得抛物线的准线方程，列出方程，即可求解.【详解】由抛物线，可得，所以，所以抛物线的准线方程为，因为抛物线的准线方程为，所以，解得.故选：B.2.若随机变量，则（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】依据，求出，然后依据期望的性质求解.【详解】因为，所以，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查随机变量的计算，明确随机变量期望的性质是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.3.已知是椭圆的两焦点,过点的直线交椭圆于点A、B,若,则(

)A.11 B.10 C.9 D.16【答案】A【解析】【分析】由椭圆的方程求出椭圆的长轴长，再由椭圆的定义结合求得结果【详解】如图，由椭圆可得：，则又且则故选【点睛】本题主要考查了椭圆的简洁性质，解题的关键是依据椭圆的定义即椭圆上的点到焦点的距离之和为，属于基础题．4.已知变量x，y具有线性相关关系，它们之间的一组数据如表所示，若y关于x的线性回来方程为1.3x﹣1，则m的值为（）x1234y0.11.8m4A.2.9 B.3.1 C.3.5 D.3.8【答案】B【解析】【分析】利用线性回来方程经过样本中心点，即可求解.【详解】解：由题意，2.5，代入线性回来方程为1.3x﹣1，可得2.25，∴0.1+1.8+m+4＝4×2.25，∴m＝3.1.故选：B.【点睛】本题考查线性回来方程经过样本中心点，考查学生的计算实力，比较基础.5.已知，，，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.75 D.0.25【答案】C【解析】【分析】先求得，由此求得.详解】，所以.故选：C6.已知集合，从中任选两个角，其正弦值相等的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据诱导公式确定正弦值相等的角有几对，然后可计算出概率．【详解】，，，，因此这一对正弦值相等，这三个中任取2个共有三对，它们正弦值相等，共有4对正弦值相等，而从5个角中任取2个有10种取法，∴概率为．故选：B．【点睛】本题考查古典概型，解题关键是求出基本领件的个数，可用列举法写出基本领件．7.五人并排站成一排，假如必需站在的右边，（可以不相邻）那么不同的排法有（）A.120种 B.90种 C.60种 D.24种【答案】C【解析】【分析】全排列求解出五人排成一排的全部排法，依据定序，利用缩倍法求出结果.【详解】全部人排成一排共有：种排法站在右边与站在右边的状况一样多所求排法共有：种排法本题正确选项：【点睛】本题考查排列组合中的定序问题，定序问题通常采纳缩倍法来进行求解.8.如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹是（）A.直线 B.圆C.双曲线 D.抛物线【答案】D【解析】【分析】由于在平面内，而平面，因此有，这样结合抛物线的定义可得结论．【详解】在正方体中，肯定有，∴点为平面内到直线和到点的距离相等的点，其轨迹为抛物线．故选D．【点睛】本题考查抛物线的定义，考查立体几何中的垂直关系．属于跨章节综合题，难度不大．9.若，则A.1 B.513 C.512 D.511【答案】D【解析】【详解】令，得,令,得10.日降雨量是在24小时内着陆在某面积上的雨水深度．如图某同学自制了一个底面直径为200mm，高为300mm的圆锥形雨量器，若一次降雨过程中，该雨量器收集的24小时的雨水高度是150mm，则日降雨量的等级是（）等级……小雨中雨大雨暴雨……24h降雨量（精确到0.1mm）……0.1~9.910.0~24.925.0~49.950.0~99.9……A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨150mm【答案】B【解析】【分析】利用圆锥内积水的高度是圆锥总高度的一半，求出圆锥内积水部分的半径，求出圆锥的体积，再求出平面上积水的厚度，由题意即可得到答案．【详解】圆锥的体积为，因为圆锥内积水的高度是圆锥总高度的一半，所以圆锥内积水部分的半径为，将，代入公式可得，图上定义的是平地上积水的厚度，即平地上积水的高，平地上积水的体积为，且对于这一块平地的面积，即为圆锥底面圆的面积，所以，则平地上积水的厚度，因为，由题意可知，这一天的雨水属于中雨．故选：B11.过双曲线M:的左顶点A作斜率为1的直线,若与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：由题可知A（－1，0），所以直线L的方程为y=x+1，两条渐近线方程为y=－bx或y=bx，联立y=x+1和y=－bx得B的横坐标为，同理得C的横坐标为，∵|AB|=|BC|，∴B为AC中点，有，即有－，解得b=3或0（舍去0）所以e=，故选A．点评：中档题，结合图形特征，分析得到坐标关系，从而建立了b的方程，使问题得解．12.直线与抛物线C：交于A，B两点，点P为抛物线的准线与x轴的交点，若，则（）A. B.3 C. D.6【答案】C【解析】【分析】由列方程求得两点的横坐标，结合抛物线的定义求得.【详解】直线，过抛物线的焦点，设，，消去并化简得，，.由于，所以，，，，，整理得，由于为正数，所以，所以.故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知绽开式中常数项为160，其中实数a是常数，则绽开式的各项系数和为______．【答案】729【解析】【分析】绽开式的通项公式为，由题意，可得，从而令即可得绽开式的各项系数和.【详解】解：绽开式的通项公式为，因为绽开式中常数项为160，所以，解得，所以令可得绽开式的各项系数和为，故答案为：729.14.分别掷3枚质地匀称的硬币，设事务A为“第1枚为正面”，事务B为“第2枚为反面”，事务C为“3枚结果相同”，则下列说法中正确的序号有______．①事务AB与事务C互斥；②事务A与事务C相互独立；③；④，事务AB与事务对立【答案】①②【解析】【分析】依据互斥事务，相互独立事务，对立事务的定义即可求解.【详解】对于①：互斥事务指不行能同时发生，因此事务AB指“第1枚为正面同时第2枚为反面”，很明显与事务C“3枚结果相同”不同时发生，所以该选项正确；对于②：，，，所以，故事务A与事务C相互独立该选项正确；对于③：，故该选项错误；对于④：，但事务与事务也可能同时发生，比如事务：“第1枚为正面，第2枚为反面，第3枚是正面”，对立事务必需前提是不能同时发生，因此本选项错误.故答案为：①②.15.已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，则球面面积为______．【答案】##【解析】【分析】由，可得的外接圆半径，再由求出球的半径R，最终依据球的表面积公式即可得答案.【详解】解：因为，所以的外接圆直径，所以，设球半径为，则，所以，所以球面面积为，故答案为：.16.阿波罗尼奥斯在其著作《圆锥曲线论》中提出：过椭圆上随意一点的切线方程为．若已知△ABC内接于椭圆E：，且坐标原点O为△ABC的重心，过A，B，C分别作椭圆E的切线，切线分别相交于点D，E，F，则______．【答案】4【解析】【分析】设、、，由重心的性质有、、，写出过切线方程并求交点坐标，进而推断△重心也为O，再由在椭圆上可得、、共线，即分别是的中点，即可确定面积比.【详解】若、、，则的中点、、，由O为△ABC的重心，则、、，所以、、，可得，由题设，过切线分别为、、，所以，，，所以，同理，即△重心也为O，又、、，可得、、，所以，同理可得、，所以、、共线，综上，分别是的中点，则【点睛】关键点点睛：设点坐标及过切线方程，并求出坐标，利用重心的性质确定△重心为O，并求证分别是的中点即可.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.p：“实数a满意”，q：“方程表示焦点在y轴上的椭圆”．（1）若m＝3，且命题“”为真命题，求实数a的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将代入求解命题中关于的不等式即可，解出当为真命题的的取值范围，考虑“”为真命题的对立面是为假命题且为假命题时，最终取补集即可；（2）利用因式分解求解关于关于的含有参数的不等式，利用充分不必要条件代入求参数范围即可,【小问1详解】当时，若为真命题则变为：所以，解得，若为真命题，则有所以为假命题且为假命题时，解得，故“”为真命题时，【小问2详解】对命题：转化为：，所以，对命题因为p是q的充分不必要条件，所以，等号不同时取解得：.所以的取值范围是.18.某同学参与3门课程的考试，假设该同学第一门课程取得优秀的概率为，其次、三门课程取得优秀的概率分别为p，，且不同课程是否取得优秀相互独立，记为该生取得优秀的课程数，其分布列为0123Pab（1）求p，q的值；（2）求a，b的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）列方程，从而求得.（2）结合概率和为，以及相互独立事务概率计算公式，计算出.【小问1详解】依图中可知，则，解得.【小问2详解】依题意，，解得.19.在边长为3的正三角形ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，且满意（如图1），将沿EF折起到的位置，使二面角成直二面角，连接，（如图2）（1）求证：平面BEP；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）在图1中，由余弦定理求出，依据勾股定理即可得，进而在图2中，可得，又平面平面BEP，从而依据面面垂直的性质定理即可证明平面；（2）以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，分别求出面与面的一个法向量，然后利用向量法即可求解二面角的余弦值.小问1详解】证明：由题意，在图1中，，又，所以由余弦定理可得，所以，所以，所以在图2中，，因为二面角为直二面角，即平面平面BEP，又平面平面BEP，平面，所以平面；【小问2详解】解：分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，，，，0，，，，，设面的法向量为，则，取，得，，，设面的法向量为，则，取，得，1，，，由图可知二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为．20.某公司订购了一批树苗，为了探讨其生长规律，从中随机抽测100株树苗的高度，经数据处理后得到如图①的频率分布直方图，其中最高的16株树苗高度的茎叶图如图②所示，以这100株树苗高度的频率估计整批树苗高度的概率．（1）求这批树苗的高度高于1.60的概率，并求图①中a，b，c的值；（2）探讨发觉高度在1.65以上树苗有特别的生长规律，于是从抽测高度在1.65以上（不含）的树苗中抽取3株做探讨，设X为高度在的树苗数量，求X的分布列和数学期望．（3）为做进一步对比探讨，需从这批订购的树苗中随机选取3株，记为高度在的树苗数量，求的分布列和数学期望；【答案】（1）这批树苗的高度高于1.60的概率为，（2）分布列见解析，数学期望为（3）分布列见解析，数学期望为【解析】【分析】（1）结合茎叶图以及古典概型的概率计算公式计算出所求概率.结合茎叶图以及频率之和为求得.（2）利用超几何分布的分布列计算公式，计算出分布列并求得数学期望.（3）利用二项分布的分布列计算公式，计算出分布列并求得数学期望.【小问1详解】这批树苗的高度高于1.60的概率为，，.【小问2详解】以上（不含）的有株，其中高度在的树苗数量为株，,,所以的分布列为：【小问3详解】依题意，即，,,,,所以的分布列为：所以.21.已知抛物线C：的焦准距为2，过C上一动点作斜率为，的两条直线分别交C于，两点（P，A，B三点互不相同），且满意．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线AB上一点M，满意，证明：线段PM的中点在y轴上．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）依据焦准距求得，从而求得抛物线的方程.（2）求得两点的横坐标，结合求得，从而证得结论成立.【小问1详解】由于抛物线的焦准距，所以抛物线的方程为.【小问2详解】直线方程为，由解得，同理可求得，由于，，则，由于，即，所以，，所以，即线段PM的中点在y轴上．22.如图椭圆的左右焦点分别为，，已知点和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且，与交于点P．①若，求直线的斜率；②求证：为定值．【答案】（1）；（2）①；②证明见解析.【解析】【分析】（1）依据椭圆的性质和已知和在椭圆上，列方程组求解即可得答案；（2）①由题意，直线与斜率存在且大于0，设