2025版新教材高中数学第五章三角函数5.5三角恒等变换5.5.1两角和与差的正弦余弦和正切公式第1课时两角差的余弦公式导学案新人教A版必修第一册

第1课时两角差的余弦公式【学习目标】(1)了解两角差的余弦公式的推导过程，知道两角差的余弦公式的意义．(2)能利用两角差的余弦公式进行化简、求值、证明．【问题探究】如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1，0)，以x轴非负半轴为始边作角α，β，α－β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1、A1、P.请问P1、A1、P点的坐标如何表示？线段AP和A1P1有什么关系？题型1两角差的余弦公式的简洁应用例1求下列各式的值：(1)cos75°cos15°－sin75°sin195°；(2)cos7题后师说利用两角差的余弦公式求值的2个策略跟踪训练1(1)cos-πA．6-2C．6-2(2)sin75°cos105°＋sin15°sin105°＝________．题型2给值求值例2(1)已知cosα＝35，α∈(3π2(2)已知cosα＝13，cos(α－β)＝33且0<β<α<一题多变将本例(1)改为：已知cos(α＋π3)＝－35，且α∈(0，题后师说给值求值问题的解题策略跟踪训练2已知α，β∈(34π，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝12题型3给值求角例3已知cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α，β∈(0，题后师说给值求角的解题步骤跟踪训练3已知α，β均为锐角，且cosα＝255，cosβ＝随堂练习1.cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)的值为()A．－12B．C．－32D．2．sinα＝35，α∈(π2，π)，则cos(A．－25B．－C．－72103.2cosA．32B．C．3D．14．已知α，β均为锐角，且sinα＝255，sinβ＝课堂小结1.熟记两角差的余弦公式，既可以正用，又可以逆用．2．“给值求值”问题，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．3．“给值求角”问题，事实上可转化为“给值求值”问题．第1课时两角差的余弦公式问题探究提示：P1(cosα，sinα)、A1(cosβ，sinβ)、P(cos(α－β)，sin(α－β))AP＝A1P1例1解析：(1)cos75°cos15°－sin75°sin195°＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°＝cos(75°－15°)＝cos60°＝12(2)原式＝cos＝cos＝cos15°cos跟踪训练1解析：(1)cos-π12＝cos(π6-π4)＝cosπ6cosπ4＋sinπ6(2)原式＝cos15°cos105°＋sin15°sin105°＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos90°＝0.答案：(1)D(2)0例2解析：(1)∵cosα＝35，α∈(3π2，2π)，∴sinα∴cos(α－π3)＝cosαcosπ3＋sinαsinπ3＝3(2)因为0<β<α<π2，所以0<α－β<π因为cosα＝13，所以sinα＝1-cos又cos(α－β)＝33，所以sin(α－β)＝1-cos所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝13×3一题多变解析：∵cos(α＋π3)＝－35，且α∈(0，∴sin(α＋π3)＝4∵α＝(α＋π3)－π∴cosα＝cos[(α＋π3)－π＝cos(α＋π3)cosπ3＋sin(α＋π＝－35×1跟踪训练2解析：因为α，β∈(34π，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝1213，α＋β∈(32π，2π)，β所以cos(α＋β)＝45，cos(β－π4)＝－cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4＝cos(α＋β)cos(β－π4)＋sin(α＋β)sin(β－π＝45×-例3解析：∵α，β∈(0，π2)且cosα＝17，cos(α＋β)＝－∴α＋β∈(0，π)，∴sinα＝1-cos2sin(α＋β)＝1-cos2又∵β＝(α＋β)－α，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝-1114×又∵β∈(0，π2)，∴β＝π跟踪训练3解析：∵α，β均为锐角，∴sinα＝55，sinβ＝3∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝255×又sinα<sinβ，∴0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0，故α－β＝－[随堂练习]1．解析：由余弦的差角公式得cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝12答案：B2．解析：∵sinα＝35且α∈(π2，π)，∴cosα＝－45，∴cos(π4－α)＝cosπ4cosα＋sinπ答案：B3．解析：2cos20＝cos40°+答案：A4．解析：因为α，β均为锐角，且sinα＝255，sinβ＝所以cos