湖南枢所学校2024-2025学年高二数学上学期期中试卷

湖南省多所学校2024-2025学年高二数学上学期期中试卷留意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号，座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册、其次册占30%，选择性必修第一册占70%。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.倾斜角为135°，在轴上的截距为1的直线方程是A. B.C. D.2.A. B. C. D.3.下列关于空间向量的说法中错误的是A.零向量与随意向量平行B.随意两个空间向量肯定共面C.零向量是随意向量的方向向量D.方向相同且模相等的两个向量是相等向量4.若方程表示椭圆，则的取值范围为A. B. C. D.5.空间中有三点，，，则点P到直线MN的距离为A. B. C.3 D.6.某地举办“喜迎二十大，奋进新时代”主题摄影竞赛，9名评委对某摄影作品的评分如下：97，90，，95，92，85，87，90，94.去掉一个最高分和一个最低分后，该摄影作品的平均分为91分，后来有1个数据模糊，无法分辨，以表示，则A.84 B.86 C.89 D.987.已知，分别是双曲线：的左、右焦点，是上一点，且位于第一象限，，则的纵坐标为A.1 B.2 C. D.8.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面ACD，则的取值范围是A. B. C. D.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则A.的图象关于轴对称 B.的最小正周期是C.的图象关于点对称 D.在上单调递减10.如图，平面内的小方格均为边长是1的正方形，A，B，C，D，E，F均为正方形的顶点，P为平面外一点，则A. B.C. D.11.已知抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于，两点，的中点为M，A，M，B在直线上的投影分别为P，N，Q，则A. B. C. D.12.已知曲线：，则A.曲线围成的面积为B.曲线截直线所得弦的弦长为C.曲线上的点到点的距离的最大值为D.曲线上的点到直线的距离的最大值为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知向量，，，若，，共面，则__________.14.已知圆和圆的半径都为1，圆心分别为，，写出一个与圆和圆都相切的圆的方程：__________.15.古希腊宏大的数学家阿基米德早在2200多年前利用“靠近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.如图，某种椭圆形镜子根据实际面积定价，每平方米200元，小张要买的镜子的外轮廓是长轴长为1.2米且离心率为的椭圆，则小张要买的镜子的价格为__________元.（结果精确到整数）16.足球起源于中国古代的蹴鞠嬉戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早是外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某“鞠”的表面上有四个点P，A，B，C，满意，平面ABC，，若三棱锥的体积为2，则制作该“鞠”的外包皮革面积的最小值为___________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（10分）为丰富学生的校内生活，提升学生的实践实力和综合素养，培育学生的爱好爱好，某校安排借课后托管服务平台，开设书法爱好班.为了解学生对这个爱好班的宠爱状况，该校随机抽取了本校100名学生，调查他们对这个爱好班的宠爱状况，得到数据如下.宠爱不宠爱合计男402060女301040合计7030100（1）从这100名学生中随机抽取1人，求该学生是女学生且宠爱书法爱好班的概率；（2）从该校随机抽取1名男学生和1名女学生，求这2名学生中恰有1人宠爱书法爱好班的概率.18.（12分）已知圆经过点，，.（1）求圆的标准方程；（2）过点向圆作切线，求切线方程.19.（12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求平面与平面夹角的余弦值.20.（12分）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.（1）求角的大小；（2）求的取值范围.21.（12分）已知双曲线：的离心率为，且焦点到渐近线的距离为1.（1）求双曲线的方程；（2）若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.22.（12分）如图，菱形的边长为2，，E为AB的中点.将沿DE折起，使A到达，连接，，得到四棱锥.（1）证明：.（2）当二面角在内改变时，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.高二数学试卷参考答案1.B因为直线的倾斜角为135°，所以斜率为-1.因为直线在轴上的截距为1，所以所求直线方程为，即.2.D3.C在直线上取非零向量，把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量，C错误.4.D因为方程表示椭圆，所以，，且，解得.5.A因为，所以的一个单位方向向量为.因为，所以点到直线的距离为.6.C当时，，则不符合题意；当时，，则不符合题意；当时，，解得.7.C因为，所以.由双曲线的定义可得，所以，解得，故的面积为.设的纵坐标为，的面积为，解得.8.B设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG.易得，，因为平面，平面，，，所以平面平面.因为平面，所以H为线段FG上的点.易得平面，因为，所以平面，，.因为，所以，..因为，所以.9.BCD将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，则.则A错误，B正确.令，，解得，，当时，.则C正确.令，，解得，，则D正确.10.ABD在平面内选取两个相互垂直的单位向量，，且，则，，，则，.所以，.，.11.ACD抛物线的焦点为，准线方程为.设直线的方程为，，，则，.联立方程组得，则，.因为，所以，，所以，所以，故A正确；因为，所以，故C正确，B错误；因为，所以，故D正确.12.ABD当，时，曲线：；当，时，曲线：；当，时，曲线：；当，时，曲线：.画出曲线，如图所示.曲线围成的面积为，A正确.曲线截直线所得弦的弦长为，B正确.以为圆心作圆与曲线相切，设其中一个切点为，则曲线上的点到点的距离的最大值为，C错误.数形结合可得，曲线上到直线距离最大的点在第一象限，到直线的距离，曲线上的点到直线的距离的最大值为，D正确.13.1因为，，共面，所以，即，则，解得，，.14.（或或）与圆和圆都相切的圆如图所示，分别为，，.15.151设镜子的外轮廓对应的椭圆的长半轴长与短半轴长分别为米，米，则故小张要买的镜子的价格为元.16.如图所示，取的中点，过作，且，因为平面，所以平面.因为，所以，所以，所以是三棱锥外接球的球心，为球的半径.因为，所以.因为，所以球的半径，当且仅当时，等号成立，此时，所以，故所求表面积的最小值为.17.解：（1）从这100名学生中随机抽取1人，该学生是女学生且宠爱书法爱好班的概率为.（2）由题意可知该校男学生宠爱书法爱好班的频率为.由题意可知该校女学生宠爱书法爱好班的频率为.故所求概率.18.解：（1）设圆的方程为，则解得，，，所以圆的方程为，故圆的标准方程为.（2）当切线斜率不存在时，切线方程为.当切线斜率存在时，设切线方程为，即.由，解得，所以切线方程为，即.综上所述，所求切线方程为或.19.解：（1）以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，所以，故异面直线与所成角的余弦值为.（2），设平面的法向量为，则，即令，得.易知是平面的一个法向量，由，得平面与平面夹角的余弦值为.20.解：（1）由正弦定理可得，即.因为，所以，即.因为，所以，.因为，所以.（2）.因为为锐角三角形，所以，则.所以，.故的取值范围为.21.（1）解：设双曲线的一个焦点为，一条渐近线的方程为，所以焦点到渐近线的距离为.因为，所以，，所以双曲线的方程为.（2）证明：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，.当直线的斜率存在时，不妨设直线：，且斜率，联立方程组得，由，得，联立方程组得.不妨设直线与的交点为，则.同理可求，所以.因为原点