高中数学人教A版（2019）必修第一册 第三章函数的概念与性质单元测试4

第三章函数的概念与性质单元测试4

(时间：120分钟满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的)

X

1.若函数Xx)=Qx+l)(x-a)为奇函数，贝ij“=()

A.；B.|C.D.1

2.若o>0,则函数y=|x|(x—a)的图象的大致形状是()

3.已知函数)，=/U+l)定义域是[-2,3],则y=/(x—2)的定义域是()

A.[1,6]B.[-1,4]C.[-3,2]D.[-2,3]

x1+2x,x<0,

9

4.已知函数<x)=I*-2x，x”().若八一“)+犬”)或，则实数a的取值范围是()

A.[-1,1]B.[-2,0]C.[-2,2]D.[0,2]

5.若«r)和g(x)都是奇函数，且尸(x)=/(x)+g(x)+2

在(0,+8)上有最大值8,则在(一8,0)上，

产(%)有()A.最小值一8B,最大值一8C,最小值一6D,最小值一4

—X，4,X<0,

<厂

hx^H——,x>0.

6.已知函数於）为奇函数，且危）=[厂（〃，b£R）,则八—2）=（）

A.-7B.7C.0D.2

7.设函数yu尸—,则下列函数中为奇函数的是()

l+x

A./(x-l)-lB./(x-l)+lC./(x+l)-lD./(x+l)+l

(不)一工(工)

M2/2《u8----

8.定义在(0,+8)上的函数7(x)满足为一电，且12)=4,则不等式ywx>0

的解集为()A.(4,+oo)B.(0,4)C.(0,2)D.(2,+a>)

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有

多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0

分)

9.定义新运算③：当〃沙时，a®b=a-,当时，.则函数“r）=（l③尤）x—（2®x）,

%e［-2,2］的值可以等于（）A.6B.1C.-4D.-6

10.下列说法正确的是（）

A.函数«x）的值域是［-2,2］,则函数式x+1）的值域为［-3,1］

B.既是奇函数又是偶函数的函数有无数个

C.若AU2=B,则4nB=4

D.函数次x）的定义域是［-2,2J,则函数«r+l）的定义域为［-3,11

m

11.（多选）已知幕函数危）=%〃（“，〃£N+,m,拉互质），下列关于«x）的结论正确的是（）

A.m,〃是奇数时，y（x）是奇函数

B.m是偶数，〃是奇数时，人冷是偶函数

c.加是奇数，〃是偶数时，是偶函数

m

D.o<—<1时，人工）在（0,+oo）上是减函数

/（-）

12.具有性质：*=-/（x）的函数，我们称为满足"倒负”变换的函数，下列函数中满足“倒

负''变换的函数是（)

尤,0<x<1,x,0<x<1,

<0,x=1,<0,x=l,

]---,X>I.一，无>1.

A.J(x)=x~^B.fix)=x+-C.J[x)=xD.X%)=I%

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）

13.若函数1x）=f—2（〃-l）x+2在区间（1,4）上不是单调函数，那么实数a的取值范围是

14.当0白02时，恒成立，则实数〃的取值范围是（）

A.（-00,1］B.（-co,0］C.（-co,3）D.（0,+oo）

15.已知函数4x）=x2—4x+a+3,aGR.

（1）若函数人x）的图象与x轴无交点，则实数a的取值范围为;

（2）若函数外）在［-1,1］上与x轴有交点，则实数a的取值范围为.

（7,一马

16.设大幻=/+1,g（x）=m（x））,F（x）=g（x）一祖x）.若存在实数人使F（x）在区间2上

单调递减且在区间（一万'°）上单调递增，则2=.

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤）

17.(本小题满分10分)已知函数<x)=|_r-2|(x+l).

(1)作出函数/(x)的图象；

(2)判断直线y=a与y=|x—'2|(x+l)的交点的个数.

18.(本小题满分12分)设J(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a,Z>SR,当a+厚0时，都

f(a)+f®:0

有a+b

(1)若34试比较7(a)与忌>)的大小关系;

⑵若八1+附+/(3-2加)20,求实数机的取值范围.

19.(本小题满分12分)已知函数危)=凶+嚏-1(/0).

(1)当机=2时，判断4x)在(-00,0)的单调性，并用定义证明；

2

(2)若对任意xGR,不等式八二)>0恒成立，求机的取值范围.

20.(本小题满分12分)已知函数｛x)和g(x)的图象关于原点对称，且人。=/+乂

(1)求函数g(x)的解析式；

⑵已知义4-1,若6(x)=g(x)—；l_/(x)+l在上是增函数，求实数；I的取值范围.

21.(本小题满分12分)某化学试剂厂以x千克/小时的速度勺速生产某种产品(生产条件要求

3

(5x+l--)

1人10),每小时可获得的利润是x万元.

(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于30万元，求x的取值范围：

(2)要使生产120千克该产品获得的利涧最大，则该工厂应该选何种生产速度？并求出最

大利润.

22.(本小题满分12分)

设0,bwR,若函数/(x)定义域内的任意一个x都满足/(x)+/(2a-x)=2/?,则函数/(x)的

图象关于点3力)对称;反之,若函数/(x)的图象关于点(。,毋对称，则函数/(x)定义域内的

5x+3

任意一个X都满足Z(x)+f(2a-x)=2/7.已知函数g(x)=-------.

x+1

(1)证明:函数g(x)的图象关于点(-1,5)对称；

(2)已知函数//(X)的图象关于点(1,2)对称，当XS[0,n时,/?(x)=，-mx+〃?+l(m<0)若对

2

任意的X]e[0,2],总存在*2e使得h(x])=)成立，求实数机的取值范围.

第三章函数的概念与性质单元测试4参考答案

（时间：120分钟满分：150分）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.若函数外）=（2x+l）（x-a）为奇函数，则“=（）

123

A.2B.]C・WD.1

【答案】：选A

因为贝彳）为奇函数，

所以火

所以用=-3（iLq）'

所以1+〃=3（1—。），解得。=；.

x（x—a）JC>0

函数y=|x|（x—4）=《'、'当xK）时，函数y=x（x—a）的图象为开口向上的抛

—X（,x-a）,x<0,

物线的一部分，与x轴的交点坐标为（0,0）,（a,0）.当x<0时，函数y=-x（x—幻的图象为

开口向下的抛物线的一部分.故选B.

3.已知函数），=於+1）定义域是[-2,3],则>=加-2）的定义域是（）

A.[1,6]B.[-1,4]C.[-3,2]D.[-2,3]

【答案】：选A

由题意知，一2人3,.*.-l<x+l<4.

：.-l<x~2<4,得1W烂6,即），=%一1）的定义域为“，6].

x2+2x,x<0,

9

4.已知函数於）=[尸一之无，x*（）•若人一切+人〃20,则实数。的取值范围是（）

A.[-1,1]B.[-2,0]C.[-2,2]D.[0,2]

【答案】：选C

]々>0,|”0,[67=0,

依题意可得+2（—a）+a~—2""。.或+2（—。）+。~+2""0.或[2（0~-2x0）<0.

解得一2%二2.

6.若7U)和g(x)都是奇函数，且F(x)=7(x)+g(x)+2

在(0,+◎上有最大值8,则在(一8,0)上，

尸(无)有()A,最小值一8B,最大值一8C.最小值一6D.最小值一4

【答案】：选D

和以力都是奇函数，，./u)+ga)也是奇函数・又Fa)=/a)+ga)+2在(0,+切)上有最

大值8,・\/(x)+ga)在(0,+8)上有最大值6,・\/(x)+g(x)在(一8,0)上有最小值-6,.•・F(x)

在(一oo,0)上有最小值一4.

—X，H----,X<0,

,a4

bx-\——,x>0.

6.已知函数段)为奇函数，且危)=〔尸3,b£R),则/—2)=()

A.-7B.7C.0D.2

【答案】：选B

当心>0时，一x<o,#一x)=R+S,又y(x)是奇函数，

所以〃=—4,b=—\,

a4八

-x-,x<0,

<不

34八

—XH....-,X>0.

所以兀c)=厂

所以人-2)=7.故选B.

7.设函数=~d，则下列函数中为奇函数的是()

1+x

A./(X-l)-lB./(X-D+1c./(X+D-1D./(X+l)+l

【答案】ACD

对于A,将的图象向右平移1个单位长度得到函数式x—i)的图象，若兀v)为奇函数,则其图

象关于点(0,0)对称,则函数f(xT)的图象关于点(1,0)对称,A正确；

对于B,若对xWR,有<x+l)=/(xT),即式x—2)/x),函数1x)的图象不一定关于直线x=l对

称,B错误；

对于C,将y(x+l)的图象向右平移1个单位长度得到函数«r)的图象，若函数«r+l)的图象关于

直线％=-1对称，则Xx)的图象关于直线m0对称，即4x)为偶函数,C正确；

对于D,若./U+xH/U—x)=2,即川+外一1=一[/(1一X)-1],则人》)的图象关于点(1,1)对称,口正确.

故选ACD.

xif（x］）-x2f（x2）_8

8.定义在（0,+oo）上的函数«r）满足为一工2,且式2）=4,则不等式火x）x>0

的解集为（）A.（4,+oo）B.（0,4）C.（0,2）D.（2,+oo）

【答案】C

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有

多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0

分）

9.定义新运算®当a泌时，a®b=a-,当4cb时，层则函数加0=（1®）x）x­（2®x）,

xG［-2,2］的值可以等于（）A.6B.1C.-4D.-6

【答案】：选ABC

x—2,—2VJVV,

由题意知«r）=（l位x）x—（2&x）={a''易知函数式x）在［-2,2］上单调递增，所

,jr—2,l<x<2,

以4x）d［—4,6］,所以函数«r）的值可以为一4,1,6.故选ABC.

10.下列说法正确的是（）

A.函数加0的值域是［-2,2］,则函数y（x+l）的值域为［-3,1］

B.既是奇函数又是偶函数的函数有无数个

C.若AUB=B,则AA8=A

D.函数人x）的定义域是［-2,2］,则函数式x+1）的定义域为［-3,1］

【答案案】：选BCD

由_/U）与应r+1）的值域相同知，A错误；设段）=0,且xeo,。是关于原点对称的区间，

则y（x）既是奇函数又是偶函数，由于。有无数个，故7U）有无数个，B正确；由AUB=8得，

AQB,从而AD8=A,C正确；由一29+1夕得一3SE1,D正确.故选B、C、D.

Ill

11.（多选）已知赛函数贝x）=x"（也"6N+,m,〃互质），下列关于段）的结论正确的是（）

A.m,〃是奇数时，是奇函数

B.m是偶数，〃是奇数时，是偶函数

c.加是奇数，〃是偶数时，式工）是偶函数

D.0<-<1时，«r）在（0,+a））上是减函数

m

解析：选ABKx）=x"='网,当加，”是奇数时，火x）是奇函数，故A中的结论正确；当

机是偶数，〃是奇数时，外）是偶函数，故B中的结论正确；当机是奇数，"是偶数时，丸的

在x<0时无意义，故C中的结论错误；当0.<1时，於）在（0,+oo）上是增函数，故D中的

结论错误.选A、B.

/(-)

12.具有性质：x=一40的函数，我们称为满足"倒负”变换的函数,下列函数中满足“倒

负”变换的函数是()

尤,0<x<1,XyO<X<1,

<0,x=l,,0,x=1,

]]—，尢>1.一>1.

A.y(x)=x--B.fi,x)=x+-C./)=〔XD.

【答案】：选AC

/㈠।(x—)

对于A,X=-—x=—x=-y(x),满足“倒负”变换.

/(-)]]

x

对于B,=-+x=x+-=j(x)^—j(x)9不满足“倒负”变换.

1/(-)11

对于C,当0a<1时，一>1,x=—T=—x=—fix);当x=\时，-=i,x=0=-/%)；

人i人

X

1/(~)1(」)

当£>1时，O/Vl，x=(=—X=—/w，满足"倒负”变换.

1/(-)1

对于D,当0<r<l时，->1,x=1=#—兀。不满足"倒负”变换.

x

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上)

13.若函数7U)=N-2(a—l)x+2在区间(1,4)上不是单调函数，那么实数a的取值范围是

【答案】：(2,5)

因为函数兀r)=l2—2(〃-l)x+2在区间(1,4)上不是单调函数，函数图象的对称轴为直线

x=a—1,所以1<4,所以2<〃<5.

14.当OS区2时，〃<一12+2%+3恒成立，则实数〃的取值范围是()

A.(—co,1]B.(—oo,0]C.(—co,3)D.(0,+co)

【答案】：选C

〃<—/+2x+3恒成立，则n小于函数y(x)=—N+2x+3,[0,2]的最小值，

而火x)=—/+2x+3,%e[0,2]的最小值为3,故“<3.

15.已知函数人外二^2—4x+〃+3,a£R.

(1)若函数兀0的图象与x轴无交点，则实数。的取值范围为;

(2)若函数外)在[-1,”上与x轴有交点，则实数〃的取值范围为.

【答案】：(1)：危)的图象与X轴无交点，

.../=16—4(〃+3)<0,：.a>\,即实数a的取值范围为(1,+oo).

(2)V函数於)的图象的对称轴为直线x=2,且开口向上，

.•.危)在［-1,1］上单调递减，

要使人用在［-1,1］上与x轴有交点，

f/⑴MO,

需满足.♦.一8%a,

即实数a的取值范围为［-8,01.

答案：(1)(1,+oo)(2)[-8,0J

16.设40=/+1,g(x)=；(/a)),F(x)=g(x)一以x).若存在实数人使尸(x)在区间上

单调递减且在区间(一三")上单调递增，则.

解：假设存在满足条件的实数2,则由次x)=/+l,g(X)=/(/a)),得g(x)=(/+l)2+l,

F(x)=g(x)—加x)=x4+(2—A)X2+2—A.

(-00,--)1(--,0)

令1=/,则1=/在(一8,0)上单调递减，且当天£2时，r>-；当2时,

故若F(x)在上单调递减，在上单调递增，则函数*)=~+Q—。+2一2

(小用)(0,—)

在2上单调递增，在2上单调递减，.・・函数仪。=产+(2_#f+2—4的图象的对称

2—21—2I

轴/=一^-为直线/=/,即-yu]，贝2=3.

故存在满足条件的实数2(2=3),使F(x)在区间上单调递减且在区间上单

调递增.

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤)

17.(本小题满分10分)已知函数./U)=pr-2|(x+l).

(1)作出函数y(x)的图象；

(2)判断直线y=a与y=|x—2|(x+1)的交点的个数.

解：(1)函数%)=以一2|(%+1),

2

去绝对值符号得於户1（x/—+x—叶2,2x二>2,<2.

可得7U）的图象如图所示.

由图象可知：当4<0时，有一个交点；当。=0时，有两个交点;

9

当0<“q时，有三个交点;

9

-9

4有两个交点；当疝时，有一个交点.

9

综上，当。<0或〃五时，有一个交点：

9

当。=0或。=W时，有两个交点；

9

当0<aq时，有三个交点.

18.（本小题满分12分）设人工）是定义在R上的奇函数，且对任意a,bGR,当a+屏0时，都

f0+fS）二.

有^

（1）若公也试比较五0与犬力的大小关系；

（2）若川+“）+八3-2加）20,求实数〃?的取值范围.

解：（1）因为所以〃一6>0,

/（〃）+/（由:0

由题意得"b,

所以犬4）+大一份>0.

又y（x）是定义在R上的奇函数，

所以4一份=-A〃），

所以y（a）-A/0>0,即式

（2）由（1）知人x）为R上的单调递增函数，

因为川+川）+.*3—2〃?巨0,

所以犬1+/n）>一代3—2m）,

即欠1+"?）次2加-3）,

所以1+m>2m—3,所以m<4.

所以实数，"的取值范围为(-8,4］.

JT1

19.(本小题满分12分)已知函数负x)=|x|+1—1(/0).

(1)当机=2时，判断凡r)在(一oo,0)的单调性，并用定义证明；

2

(2)若对任意xGR,不等式大X)>0恒成立，求机的取值范围.

2

【答案】：⑴当〃?=2,且x<0时，式x)=—x+(-1是单调递减的.

证明：设Xi<T2<0,则

/2,、

2(F+---1)

/X|)-/(X2)=-X1+--1-西

2（X2~~xi）

=（X2-Xl）4

XiX2

=（X2—Xl）,

又X\<X2<Q,所以X2—X|>0,XlX2>0,

所以(尤2—Xl)再3>0,

所以/(如)一兀冷)〉0,即/UD/X2),

2

故当机=2时，兀r)=—x+:—1在(-8,0)上单调递减.

m

・22F

(2)由)>o得|工|+大一i>o,

2222

变形为(")2—工+m>0,即—(1)2,

而产2一(广2)2=一24,

21X=+^-22cl1

当”=，时，即2时，("一(">)max=4，所以加>加

20.(本小题满分12分)已知函数兀r)和g(x)的图象关于原点对称，且人工)=/十大.

(1)求函数g(x)的解析式；

(2)已知;1«-1,若/z(x)=g(x)—2段:)+1在［—1,1］上是增函数,求实数2的取值范围.

解：(1)设函数产7U)的图象上任一点。(的,州)关于原点的对称点为P(x,y),

•.,点Q(xo,yo)在产/3)的图象上，故g(x)=-x2+x.

⑵由(1)知/?(%)=-(1+)^+(1-2)x+1,

当A=-1时,〃(x)=2x+l满足条件；当4<一1时,〃(x)的图象开口向上，且对称轴方程为

1-A

X=,

2(1+2)

则2(17A)47,解得-3424-1•综上，实数2的取值范围为-34；lWT.

21.(本小题满分12分)某化学试剂厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求

(5x+1—)

l<x<10),每小时可获得的利润是x万元.

(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于30万元，求x的取值范围；

(2)要使生产120千克该产品获得的利润最大，则该工厂应该选何种生产速度？并求出最

大利润.

3

(5x+1—)

解：(1)由题意可知，2x>30.

所以5X2-14x-3=(5x+l)(x-3)>0,

所以后一§或x>3.

又1SE10,所以把烂10.

所以x的取值范围是[3,10].

120(5x+l-3)

(2)易知获得的利润>=宁