初中几何重点模型30 圆与动点相关的问题(基础训练)（老师版）

专题30圆与动点相关的问题

【基础训练】

一、解答题

点B的坐标为（4,m）.

（1）求抛物线的解析式;

（2）点。为抛物线上位于直线8c上方的一点，过点。作。轴交直线BC于点E,点尸为对称轴上一

动点，当线段的长度最大时，求9+24的最小值；

（3）设点M为抛物线的顶点，在V轴上是否存在点。，使NAQM=45。？若存在，求点。的坐标；若不存

在，请说明理由.

【答案】（1）y=-gf+x+g；己）|石；（3）存在，点。的坐标为Q（O,2-G）、22（0,2+>/3）

【解析】

【分析】

（1）先将点B的坐标为（4,机）代入代入直线解析式中，求得点B的坐标，再利用A,8坐标，待定系数法求二

次函数解析式；

（2）设+，*+/）,则+，DE=—-2）'+2,当m=2时，Z5E有最大值为2,此

时。（2,作点A关于对称轴的对称点4,连接4D,与对称轴交于点尸，PD+B4=PD+A4，=A。此

时PD+P4最小，勾股定理即可求得；

（3）作轴于点//,连接4W、A。、MQ、HA.HQ,由NAQM=45。可知NAQM,

继而可得：QH=HA=HM=2,设。（0/）,勾股定理即可求得点。的坐标

【详解】

解：（1）将点B的坐标为（4,⑼代入

7

y=T+]，

"2=-4+—=——,

22

.♦.8的坐标为（4,一£）,

将A（3,2）,{4,-；）代入

12,

V=——r+to4-C,

2

--X32+3Z?+C=2

,2

--x42+4/?+c=--

22

7

解得b=l,c=一，

2

i7

...抛物线的解析式尸=r+x+f

见」川+〃，+4

（2）设。

22J

DE=[-m'+机+g）一（一根+g）=_；，"2+2^"=-^（m—2）2+2,

.•.当机=2时，OE有最大值为2

此时《2,J

作点A关于对称轴的对称点A,连接A'。，号对称轴交于点P.

此时叨+F4最小,

：A(3⑵，

4'(-1,2),

47)=51-2)2+(2一五=1>/5，

即PD+P4的最小值为3后；

(3)作4H_Ly轴于点//,连接AM、AQ、MQ、HA.HQ,

：A(3,2),

AAH=MH=2,"(1,2)

♦.•NAQM=45。，ZAHM=90°,

：.ZAQM=-ZAHM,

2

可知VAQM外接圆的圆心为a,

：.QH=HA=HM=2

设Q(0,r),则7(O-l)2+(r-2)2=2,

t=2+V3或2-

...符合题意的点2的坐标：Q（0,2-73）,2（0,2+6）.

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像与性质，勾股定理，将军饮马求线段和的最小值，

三角形的外心，圆周角定理，正确作出图形是解题的关键.

2.（1）如图1,在正二A8C的外角NC4”内引射线AM,作点C关于A"的对称点E（点E在NC4”内），

连接8E,BE、CE分别交AM于点尸，G.则NFEG=

（2）类比探究：如图2,把上题中的“正二ABC”改为“正方形ABDC”，其余条件不变，请求出NFEG的度

数；通过以上两例探索，请写出一个关于NEEG与N8AC的数量关系的正确结论：：

（3）拓展延伸：如图3,若以正方形AOOC的顶点。为原点，顶点A,£＞分别在x轴，y轴上，点A的坐

标为（4,0）,设正方形4ODC的中心为P,平面上一点尸到P的距离为2夜.

①直接写出NO外的度数：

②当5以。=6时，求点尸的坐标；并探索是否有最大值？如果有，请求出；如果没有，请说明理由.

【答案】（1）30"；（2）NFEG=g/BAC,理由见解析：（3）①45。；②有，尸（2,2+2夜）

【解析】

【分析】

（1）证明Nl=/2,Z3=Z4,/1+/2+60。+/3+/4=180。得Nl+/3=60。，进一步可得结论；

（2）连接CE8C,证明NAEB=NABE,再进一步证明2NAFB=90°得NGfE=NGEP=45°,故可得结论;

（3）①由题意可知尸（2,2）,点F在以P为圆心，2a为半径的圆上，由圆周角定理可得结论;②设*x,y），

根据三角形面积公式求出y的值，在油PM中，PB=\x-2\,BF=\,根据勾股定理得3尸+3尸=p尸，

列出方程求出x的值即可得点尸的坐标，当PF〃y轴时，面积最大，求值即可.

【详解】

解：（1）如图1中,

图1

•.•点E是点C关于AM的对称点，

NAGE=90。，AE=AC,Z1=Z2.

•正AABC中，NA4c=60。，AB=AC,

：.AE=AB,得N3=N4.

在AABE中，Zl+Z2+60°+Z3+Z4=180°,

.*.Zl+Z2+Z3+Z4=I20°,

/.Zl+Z3=60°.

在△AEG中，ZFEG+Z3+Z1=9O°,

二ZF£G=30°.

故答案为：30°；

(2)连接C£8c

图2

VC,E关于AM对称

：.AM±CE,GC=GE

：.AC=AEyZAGE=90°

：.ZCAG=NEAG,ZAEB=ZABE；

在正方形AMC中，AC=AB,ABAC=90°

:.AB=AE,

:.ZAEB=ZABE；

在△84尸中，ZAFB+ZABF+ZBAF=180°；

即ZAFB+ZAE3+90。+ZE4G=180°

丁ZAFB=ZAEB+ZE4G

/.2ZAFB=90°

:.ZGFE=ZAFB=45°

：."EG=45。

结论：ZFEG=-ZBAC

2

（3）①由题意可知P（2,2）,点尸在以P为圆心，2a为半径的圆上，如图,

连接PO,PA,则NAPO=90。

Z.ZAFO=-ZAPO=45°

2

故答案为：45°

②设p（x,y）则5〃°=goA,|y|=6

即21yl=6,

由题意得y>o,

）=3

由题意可知尸（2,2）,点尸在以P为圆心，2&为半径的圆上;

过点P作尸B〃x轴，过点F作FB〃y轴，则NP5尸=90°

在用PBF中，PB=\x-2\,BF=l,

根据勾股定理得BP2+BF2=PF2

即|x-21+『=(2&y

解得不=2+不,w=2-不

故厂(2+b,3)或尸(2-b,3)

Sno=^OA-\y\,当PF//y轴时，面积最大，此时下(2,2+2血)

S.=g043=4+40

【点睛】

本题属于四边形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定

理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

3.如图1,在汝ABC中，ZC=90°,AB=10,BC=6,。是AC的中点，以点。为圆心在AC的右侧作

半径为3的半圆0,分别交AC于点。、E,交AB于点G、F.

思考：连接OF,若OFLAC,求质的长度；

探究：如图2,将线段8连同半圆。绕点C旋转.

(1)在旋转过程中，求点。到距离的最小值；

(2)若半圆。与向ABC的直角边相切，设切点为K,连接AK,求AK的长.

【答案】思考：5；探究：(1)I；(2)行或8-4

【解析】

【分析】

思考：如图，在即ABC'\',ZC=90°,AB=10,BC=6,可得AC=8可得AO=CO=4,结合O尸J.AC,

OF=3,利用勾股定理可得答案；

探究：(1)如图，当CD_LA8时，点。到A8的距离最小，由三角形面积公式可得，

SA48C=^ACxBC=^ABxCG,求解CG即可得到答案；

(2)当半圆。与BC相切时，如图，设切点为K,连接OK,4K，则NOKC=90。，在RjOCK中，OK=3,

OC=4,求解CK=>/7再在RfZsACK中，AC=8,求解AK=JAC?+CK?=瓦,当半圆。与AC相时,如

图，设切点为K,连接OK,则NOKC=90。，在ROCK中，OK=3,OC=4,求解CK="，可得AK=8-近，

从而可得答案.

【详解】

解：思考：如图，在Rf.ABC中，ZC=90°,=BC=6,

：.AC=8

•••。是AC的中点,

，AO=CO=4,

OF1AC,OF=3,

,AF=ylo/r+OF2=5-

探究：(1)如图，当CD1.A5时，点。到AB的距离最小,

由三角形面积公式可得，S^ABC=^ACXBC=^ABXCG

.24

4

,OG=CG-OC=-

5

4

点。到AB距离的最小值是1

(2)当半圆。与BC相切时，

如图，设切点为K,连接OK,AK，则NOKC=90。,

,在RfOCK中，0K=3,0C=4,CK=4

:在RfZXACK中，AC=8,

AK=y/AC2+CK2=伉

当半圆。与AC相时,如图,设切点为与,连接0K,

/.NOKC=90°

A

•在拓OCK中,OK=3,0C=4,

CK=y/l

AK=8-不

，AK的长为J7T或8-近

【点睛】

本题考查的是勾股定理的应用，切线的性质，数学分类思想的应用，掌握以上知识是解题的关键.

4.如图，点P在反比例函数y="(x<0)上，PAl_x轴于点A,点B在y轴正半轴上，PA=PB,OA、OB

X

的长是方程t2-16t+48=0的两个实数根，且OA>OB,点C是线段PB延长线上的一个动点，△ABC的

外接圆。M与y轴的另一个交点是D.

(1)求k的值；

(2)当圆心M在y轴上时，请判断四边形PAMB的形状，并说明理由；

(3)当圆心M在y轴上时，设点Q是圆M上一动点，则P、Q两点之间的距离达到最大值时，求点Q的

坐标.

【答案】(1)%=—240；(2)四边形PAMB是菱形，理由见解析；(3)Q(2屈，-16-6710

【解析】

【分析】

(1)解方程求出OA、0B的长，进而可得点A、B的坐标，设出P点坐标，根据PA=PB列方程求解即可；

(2)易求PA=PB=20,设。M的半径为r,根据勾股定理列方程求出r的值，得出MA=MB=20,即可

证明四边形PAMB是菱形；

(3)连接PM并延长，交(DM于点Q,此时点P、Q之间的距离达到最大值，过点P作PE±y轴于点E,

过点Q作QF_Ly轴于点F,首先求出PM的长，然后利用三角函数分别求出FQ和MF的长即可解决问题.

【详解】

解：(1)解方程［2—161+48=0得：t=4或t=12,

VOA,OB的长是方程t2-16t+48=0的两个实数根，且OA>OB,

/.OA=12,OB=4,即点A、B的坐标为(-12,0),(0,4),

VPA±x轴于点A,

.•.设P点坐标为,124)，

由PA=PB得：(喂)=122

解得：％=-240；

(2)四边形PAMB是菱形;

理由：连接AM,

由(1)可得P点坐标为(-1220),

，PA=PB=20,

设^ABC的外接圆(DM的半径为r,

:圆心M在y轴上，OA=12,OB=4,

，OM=r-4,

在Rt^AOM中，OA2+OM2=AM2,g|J122+(r-4)2=r2,

解得：r=20,

AMA=MB=20,

，PA=PB=MA=MB,

・・・四边形PAMB是菱形;

(3)连接PM并延长，交③M于点Q,此时点P、Q之间的距离达到最大值，过点P作PELy轴于点E,

过点Q作QF，y轴于点F,

当圆心M在y轴上时，由(1)(2)可知PE=12,OE=20,OM=20-4=16,MQ=20,

；.ME=16+20=36,

PM=V122+362=12V10-

..PE12屈*PE12]_

・・sm/PME=-----=-----T==--,tanZ.PME=------

PM12V1010ME363

.•/DA/f"•/GSFQFQVIO

・・sm/PME=smZ.FMQ-------=-----=------,

MQ2010

FQ=2V10,

FQ2V101

tanNPME=tan乙FMQ-

~MF~MF-3

，MF=6而,

.".OF=OM+MF=16+6x/10,

二点Q的坐标为（2屈，-16-6V10）.

【点睛】

本题为反比例函数综合题，涉及到解一元二次方程、圆的基本知识、勾股定理、两点间距离公式、菱形的

判定、解直角三角形等知识，明确第（3）问中PQ过圆心M时，点P、Q之间的距离达到最大值，是本题

解题的关键.

5.如图，AB是。。的一条弦，C、。是。。上的两个动点，且在AB弦的异侧，连接CD.

（1）若AC=BC,AB平分NC8O,求证：AB=CD；

（2）若N4OB=60。，。。的半径为1,求四边形ACBO的面积最大值.

【答案】（1）证明见解析；（2）V3.

【解析】

【分析】

（1）证AC=BC=AO即可得AB=C。,继而求证结论；

（2）如图，连接OA、OB、OC,0c交AB于“，由/A£）B=60。和AC=BC求得/ADC=/8Z?C==30°,OC1AB,

AH=BH,继而求出A8的长，由S峭％ABCD=SAABD+SAABC可知，当。点为优弧A8的中点时，即CO为。O

的直径时，四边形ACBO的面积最大，进而求解.

【详解】

（1）'：AC=BC,

,AC=A8

\'AB平分/C8O,

ZABC=ZABD,

­•AC=AD>

AB=CD<

；.AB=CD；

（2）连接。4、OB、OC,OC交A8于“，如图，

:AC=BC，

AZADC=ZBDC=^ZADB=30°,OCLAB,AH=BH,

：.ZBOC=60°,

：.OH=g0B=；,BH=《iOH=B,

222

；.AB=2BH=6

四边形ACBD的面积=SzABC+SAABD,

.•.当。点到48的距离最大时，SzABO的面积最大，四边形4C8Q的面积最大，此时。点为优弧A8的中

点，

即8为OO的直径时，四边形AC8O的面积最大，

四边形AC8。的面积最大值为a•6x2=收

本题主要考查角平分线的性质和圆周角定理及其推论，解题的关键是灵活运用圆周角定理(在同圆或等圆

中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)及其推论(同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆或

直径所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.).

6.有这样一类特殊边角特征的四边形，它们有“一组邻边相等且对角互补”，我们称之为“等对补四边形”.

(1)如图1,四边形ABC。中，ZBAD=ZBCD=90°,AD=AB,AE_LCZT于点E,若AE=4,则四边形A8CD

的面积等于.

(2)等对补四边形中，经过两条相等邻边的公共顶点的一条对角线，必平分四边形的一个内角，即如图2,四

边形ABC。中，AD=DC,NA+/C=180。，连接B。，求证：8。平分NABC.

(3)现准备在某地著名风景区开发一片国家稀有动物核心保护区，保护区的规划图如图3所示，该地规划部

门要求：四边形ABCD是一个“等对补四边形”，满足AD=DC,AB+4O=12,N8AD=120。，因地势原因，

要求3WAH6,求该区域四边形ABC。面积的最大值.

【答案】⑴9

(2)见解析

⑶27g

【解析】

【分析】

(1)过A作AF_LBC,交CB的延长线于尸，求出四边形AACE是矩形，根据矩形的性质得出/a四=90。，

jRH；ZDAE=ZBAF=90°-ZBAE,根据AA5得出皿B三AAED,根据全等得出AE=AF=3,$凶郎=$谢，求出

SjE方彩"CE=9,求出S叫边柩械p=SjE方留MC£，代入求出即可；

(2)如图1中，连接AC,BO.证明A,B,C,。四点共圆，利用圆周角定理即可解决问题.

(3)如图3中，延长84到H,使得AH=BA,连接£归，过点DA作DKLAH于K,根点B作及0J_£W

于M,BNLCD于N.设=构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题.

(1)

解：如图1,过A作交CB的延长线于尸，

QAE1CD,ZC=90°

.-.ZA£D=ZF=ZC=90°,

..・四边形AFCE是矩形，

:.ZFAE=90°,

ZDAB^90°,

ZDAE=ZBAF=900-ZBAE,

在AAFB和AAED中，

ZF=NAED

"NFAB=NDAE,

AB=AD

.-.MFfi=AA£ZXA4S),

/.AE=AF=4>S,MFB=s1M切,

四边形AFCE是矩形，

・•・四边形AFCE是正方形,

,,S正方形AFCE=4X4=16，

***S四边形A8CD

=S四边形A8CE+

二S四边形A8C£+S/^FB

=S正方形AFC£

=16.

故答案为：16：

(2)

」.A,B,C,。四点共圆,

AD=DC,

•••AD=DC^

/.ZABD=NCBD,

.•.3D平分4ABC.

(3)

解：如图3中，延长84到“，使得4"=AO,连接过点D4作。KJ_A”于K,过点3作

于M,3N_LCD干N.设A3=x.

H

.ZJ3AD+ZC=180°,ZSAD=120°,

/.ZC=60°,

.\ZHAD=60°,

AD=AH,

.•.AA。，是等边三角形，

.•.4=60。，

.•."=NC,

由(2)可知.8D平分NA3C,

:.ZDBA=ZDBC,

BD=BD,

:MBH^NDBC,

:.ABDM=^BDN,DH=AD=\2-x,

BMLDH,BN1CD,

/.BM=BN,

AH+AB=AB+AD=\2,

：.BM=BN=BH-sin60°=66,DK=AD-sin60。=5(12-x),

S四边囱8c•"=SA&CO+SAAB。=g.(12-x)-6君+；-♦孚(12-司=-乎/+366,

V3<12-x<6,

.♦.64x49

；.x=6时，S有最大值，最大值5=276.

【点睛】

本题属于四边形综合题，考查了“邻等对补四边形”的定义，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，四点

共圆，二次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建

二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题，属于中考压轴题.

7.定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”，例如：凸四边形A8CD中，若NA=NC,

ZB^ZZ),则称四边形ABC。为准平行四边形.

(1)如图(1乂、/\8、(7是。。上的四个点，ZAPC=NCPB=60。，延长8P到。，使AQ=AP.已知/QACr/QBC,

求证：四边形AQ8C是准平行四边形；

(2)如图(2),准平行四边形ABCO内接于。O,AB/AD,BC=DC,若。。的半径为5,AB=6,求四边形

ABCQ的面积；

(3)如图(3),在RSA8C中，NC=9(T,NA=30。,8c=2,若四边形ABCD是准平行四边形，且N8CZV/BA。，

求BO长的最大值.

【答案】(1)证明见解析

(2)49

(3)273+2

【解析】

【分析】

(1)根据题意，利用等边三角形的判定定理可得是等边三角形，可得ZAQP=ZAC8=60。，由

NQAC*NQBC,可证四边形A。8c是准平行四边形；

(2)连接8。，由准平行四边形的性质可得N&M)=N8C£)=90。，ZABCZADC,得出50是直径，利

用勾股定理可得仞=8,8c2=50,结合图形，四边形ABC。的面积为二题与一88的面积和，求解即

可得；

(3)根据题意作：AC。，然后作ACD的外接圆。。，过点。作OELAC于E,0FJ_8C延长线于尸，利用

三角形内角和定理及锐角三角函数解三角形可得NABC=60。，AC=tanNABCBC=，根据四边形A8C7)

是准平行四边形，得出ZABC=ZADC=60°,山等边对等角及三线合一性质可得N4co=NC4O=30°,

CE=AE=^AC=43,利用锐角三角函数可得0E=l,CO=2OE=2,由矩形的判定可得四边形CFOE是

矩形，BF=BC+CF=3,利用勾股定理得出8。=2有，结合图形可得：当点。在80的延长线时，BO的

长有最大值，求解即可得.

(1)

证明：VZAPC=ZCPB=60°,

NAPQ=60°,ZAPB=12O°,

•••四边形AP8c是圆的内接四边形，

二ZAPS+ZACB=180°,

/.ZACB=60。，

VAQ=AP,NAPQ=60。，

.•.-APQ是等边三角形，

/.NAQP=NACB=60°,

又,:ZQAC^ZQBC,

二四边形AQ8C是准平行四边形；

(2)

如图所示：连接84，

•••四边形A8CO是圆内接四边形，

NBAD+ZBCD=180°,ZABC+ZADC=180°,

•.FC不是直径，

ZABC^ZADC,

四边形ABCD是准平行四边形，

，ABAD=ZBCD.ZABC丰ZADC,

/BAD=/BCD=90°,

二8。是直径，

BD=W,

AB2+AD2=BD2，

36+A£>2=100.

，AZ>=8,

BC2+CD2=BD2,BC=CD,

：.BC2=50,

•••四边形A8C。的面积为：

SABD+SBCD>

=-xABxAD+-xBCxCD=49；

22

11,

=-x6x8+-xfiC2,

22

=49,

二四边形ABC。的面积为49；

(3)

如图所示：根据题意作ACD,然后作aACZ)的外接圆。。，过点。作OEJ_AC于E,。尸，8c交BC延长

线于「，

V=90°,ABAC=30°,BC=2,

，ZABC=60°,AC=tanNABOBC=2n,

:四边形ABC。是准平行四边形，^ZBCD^ZBAD.

・・・ZABC=ZADC=GO0,

：.ZAOC=120°,且QE_LAC,OA=OCf

ZACO=ZCAO=30°,CE=AE=-AC=y/3,

2

/.OE=CE-tanZAC。=6?t3n=3C.CO=2OE=2,

，OC=OD=OA=2,

VOELAC,OF上BC,ZECF=9O°,

，四边形C尸。E是矩形，

:.CE=OF=上,OE=CF=l,

：.BF=BC+CF=3,

BO=-JBF2+FO2="+(国=25

•••当点。在BO的延长线时.，8。的长有最大值，

二长的最大值为：BO+OD=2y/3+2.

【点睛】

题目主要考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直径所对的圆周角为直角，利用勾股定理，

锐角三角函数解三角形，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运

用这些知识点是解题关键.

说明理由；

(2)已知二次函数y=N-4x+4图象的顶点为A,坐标圆的圆心为P,如图1,求APOA周长的最小值；

(3)已知二次函数y=a/-4x+4(0＜。＜1)图象交x轴于点A,B,交)，轴于点C,与坐标圆的第四个交点为

D,连结PC,PD,如图2.若NCPD=120°,求a的值.

【答案】(1)0P是二次函数y=/-4x+3的坐标圆，理由见解析

(2)APQA周长的最小值为6

4百+3

(3)a=-----------

12

【解析】

【分析】

(1)先求出二次函数y=/-4x+3图象与x轴、y轴的交点，再计算这三个交点是否在以P(2,2)为圆心,

石为半径的圆上，即可作出判断.

(2)由题意可得，二次函数产x2-4x+4图象的顶点A(2,0),与y轴的交点H(0,4),所以APOA周长

=PO+PA+OA=PO+PH+2>OH+2,即可得出最小值.

(3)连接CD,PA,设二次函数产以2一曲+4图象的对称轴/与CO交于点E,与x轴交于点F,由对称性知，

对称轴，经过点尸，目LCQ,设尸E="i,由/CPO=120°,可得以=PC=2mCE=gm,PF=4-m,表示出

AB.AF=BF,在对△勿尸中，利用勾股定理建立方程，求得根的值，进而得出a的值.

(1)

对于二次函数y—x2-4x+3,

当x=0时，y=3：当y=0时，解得x=l或x=3,

.•.二次函数图象与x轴交点为A(1,0),8(3,0),与y轴交点为C(0,3),

■:点P(2,2),

:.PA=PB=PC=^,

二。P是二次函数y=/-4x+3的坐标圆.

(2)

如图1.连接

♦.•二次函数y=/-4x+4图象的顶点为A,坐标圆的圆心为P,

：.A(2,0),与y轴的交点H(0,4),

/.△POA周长=PO+PA+OA=PO+PH+2>OH+2=6,

...△POA周长的最小值为6.

⑶

如图2,连接CD,PA,

设二次函数y=ox2-叙+4图象的对称轴/与CD交于点E,与x轴交于点F,

由对称性知，对称轴/经过点P,且LCD,

・,46—16〃4J1—a

*-"---------=-------,

aa

:.AF=BF=^^~,

a

9：ZCPD=\20°,PC=PD,C(0,4),

:.ZPCD=ZPDC=30°,

设尸£=〃?，则%=尸。=2"2,CE=6m,PF=4-m,

2

•/二次函数y=cix2-4x+4图象的对称轴/为x=—,

a

r-22

/.yj3m=—,即〃=—f=—,

a73tn

在/?/△PAF中，PA2=PF2+AF2,

/A\227、一a、，

・•・4./n-2=(4-in)+(------)~,

a

4(1--^=)

HP4/n2=(4-加了H----:M

3m2

8

化简，得(8+26)〃?=16,解得机=

4+有

46+3

12

【点睛】

此题是二次函数与圆的综合题，主要考查了二次函数的性质、圆的基本性质、解直角三角形、勾股定理等

知识以及方程的思想，添加辅助线构造直角三角形是解答本题的关键.

9.如图1,已知。。的内接四边形4BCD,AB//CD,BC//AD,AB=6,BC=8.

M

0

图3

(1)求证：四边形ABCD为矩形.

(2)如图2,E是AO上一点，连接CE交AD于点F,连接AC.

①当点D是匿中点时，求线段DF的长度.

②当16s△£>CF=3S幽缈ABC。时，试证明点E为AD的中点.

(3)如图3,点E是。0上一点(点E不与A、C重合)，连接EA.EC、0E,点、/是△AEC的内心，点

M在线段0E上，且ME=2M0,则线段MI的最小值为.

【答案】(1)见解析

9

(2)①。尸=：,②见解析

(3)5x/2-y

【解析】

【分析】

(1)先证明四边形ABC。为平行四边形，再利用圆内接四边形对角互补的性质可证明/4=/C=90。，即可

证明四边形A8co为矩形；

(2)①证明△DCF~△DAC,利用相似三角形的性质即可求解；

②由已知求得SA£>CF=：SzD4C,得到导"=M=求得DF=3,AF=5,过点尸作FG,4c于点G,

83DACDA6

证明Rt4AFG~Rt&ACD,求得FG=DF=3,进而证明结论成立；

(3)当点E运动到4c上方时，利用内心的性质证得点/在以点N为圆心，5yli为半径的圆的一段圆弧上，

当/、加、N在同一直线上时，/M取得最小值，计算即可求解；当点E运动到AC下方时，E、N重合时，IM

取得最小值，同理可求解.

(1)

证明：•:ABIICD,BC//AD,

二四边形ABCD为平行四边形，

ZA=ZC,

•.•四边形A8CD为。。的内接四边形，

AZA+ZC=180°,

,ZA=ZC=90°,

.•.平行四边形ABC。为矩形；

(2)

①：四边形ABC。为矩形，且AB=6,BC=8,

/.AB=CD=6,BC=AD=S,AC=46+8?=10»

,点D是CE中点，

AZDCF=ZDAC,ND公共,

：./\DCF~DAC,

.DFDC....DF6

.・----=----,即----=—,

DCDA68

②•・•四边形ABC。为矩形,

，S^ABCD=2SADAC,ZD=90°,

V16SADCF=3S四边形ABCD,

3

A5ADCF=~DAC,

8

..SDFC_DF_3

：.DF=3f4F=5,

过点尸作RGLAC于点G,

・♦・•△AFG〜Ri&ACD,

.=空,即1型

ACCD106

：.FG=3,

：.FG=DF=3,

VFG1AC,ZD-90°,

.♦.CF是/AC。的平分线，

...点E为4。的中点；

(3)

解：当点E运动到AC上方时，

连接A/、C1,连接E/并延长交。。于点M连接AN、CN,

ED

・・,点/是AAEC的内心，且AC=IO,

：・4AEN=/CEN,NEA1=NCAI,

：.AN=CN=—AC=5d2，/AEN=NCEN=/CAN=A5°,

2

丁/NAI=/CAI+/CAN=NCAI+45。,/NIA=NEAI+NAEN=/EAI+45。,

:./NAI=/NIA,

：.AN=NI=CN=5y[2，

・♦•点/在以点N为圆心，50为半径的圆的一段圆弧上，如图,

当/、M、N在同一直线上时，/M取得最小值,

•:ME=2M0,OE=-AC=5,

2

：.MO=-,MN=MO+ON=-+5=—

333t

：.1M的最小值为；

当点E运动到AC下方时，E、N重合时，取得最小值,

同理可求得/M的最小值为5夜-弓；

故答案为：5五-g.

【点睛】

本题是圆的综合题，考查了圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，内心的性质，解答本题的关

键是明确题意，找出所求问题需要的条件.

10.在平面直角坐标系中，OC与X轴交于点A,B,且点B的坐标为(8,0),与y轴相切于点。(0,4),

过点A,B,。的抛物线的顶点为E.

J'小JA

备用图

(1)求圆心C的坐标与抛物线的解析式；

(2)判断直线AE与。C的位置关系，并说明理由；

(3)若点M,N是直线y轴上的两个动点(点M在点N的上方)，且MN=1,请直接写出的四边形E4MN周

长的最小值.

【答案】⑴C(5,4),y=；x2_^x+4；

(2)AE是。C的切线，理由见解析；

19+阿

O■•

4

【解析】

【分^1?】

(1)如图1,连接CO,CB,过点C作于M.设。C的半径为八在RQ8CM中，利用勾股定理

求出半径，可得点C的坐标，根据函数的对称性，得A(2,0),用待定系数法即可求解.

(2)结论：AE是OC的切线.连接4C,CE,由抛物线的解析式推出点E的坐标，求出AC,AE,CE,利

用勾股定理的逆定理证明ZC4E=90°即可解决问题.

1519

(3)由四边形成用2周长=4£+4历+仞7+的=一+4用+1+加尸=一+4例+用/，可得当汗河+陆有

44

最小值时，四边形E4MN周长有最小值，即当点M在线段4尸上时，4M+M尸的最小值为即可求

解.

(1)

解：(1)如图，连接CO,CB,过点C作CMLA8于

设。C的半径为r,

,与y轴相切于点D(0,4),

：.CDLOD,

":NCDO=NCMO=ZDOM=90°,

...四边形ODCM是矩形，

，CM=OO=4,CO=OM=r,

,:B(8,0),

：.0B=8,

：.BM=S-r,

在/?/△CMB中，；BC2=CM2+BM2,

：.^=42+(8-r)2,

解得r=5,

二圆心C(5,4),

•••抛物线的对称轴为x=5,

又,；点B(8,0),

，点A(2,0),

则抛物线的表达式为y=“(x-2)(x-8),

解得!，

将点。的坐标代入上式得：4=ax(0-2)x(0-8),a=

4

故抛物线的表达式为户;《

2)(.r-8)=-x2--.r+4.

42

⑵

解：结论：AE是OC的切线.

理由如下：连接AC,CE.

y八

0x

图2

9

当x=5时，y=--,

9

•・•顶点“⑸

・1底小一2)2+卜卜0片

CE=4+-=—,AC=5,

44

：.EC2=—AE2+AC2=—

16f16

.,.E-2+A0,

AZCAE=90°,

：.CA±AEf

・・・AE是。。的切线.

(3)

解：如图3,作点A关于y轴的对称点4(-2,0),过点E作EF〃MN,且*'=MN=1,连接AM,A'F,

MF,

・，点A与点4关于y轴对称，

・・・AM=A用，

*：EF〃MN,EF=MN,

・・・四边形MNE尸是平行四边形，

:,MF=NE,

1519

,/四边形EAMN周长=AE+AM+MN+NE=—+AM+1+MF=—+A'M+MF,

44

・••当4M+MF有最小值时，四边形EAMN周长有最小值，

.••当点M在线段4尸上时，AM+M尸的最小值为AF,

,:EF〃MN,EF=MN=1,

工点产(5,--),

4

.4Al/u八2(5-丫7809

・・g{(5+2)+匕-。)

/.四边形EAMN周长的最小值=2+邈I=19上师.

444

【点睛】

本题主要考查二次函数与圆的综合运用，数形结合能提高解题效率.

11.如图，抛物线ynar'+Ox+c与x轴交于A,B两点，与N轴交于点C,已知。3=2OC=4OA.

(1)若04=1,求抛物线解析式及顶点坐标；

(2)在(1)的条件下，抛物线对称轴是否存在一点Q,使得ZAQC=ZABC,若存在请求出。点坐标，若不存

在，请说明理由；

(3)在(2)的条件下，若(2)中存在点Q,取x轴上方的点为点Q,若不存在，取点C关于x轴的对称点为

点Q,点。为抛物线顶点，过点。作轴垂线《，点P为4上任意一点，过点P作x轴垂线"，点M为4上

一点，始终有PM=QW,设点尸的横坐标为用含f的代数式表示点PM的长，的最小值是多少.

【答案】⑴y=z(x—[)2—手；顶点、。坐标为(。，-3；

228z占

(2)。坐标为《，|)或(|，

c4212241,..,,45

(3)PM=—t>PM有琅小值为77

45458016

【解析】

【分析】

(1)运用待定系数法即可求得抛物线解析式，再利用配方法可求得顶点坐标；

(2)先证得AAOCSACOB,得出NACO+N8co=90。，如图1,以AB为直径作圆必经过点C,NA8c为以

3

AB为直径的圆的一个圆周角，故点。为该网坷直线x的交点，运用圆的性质即可求得答案；

3(25、25

(3如图2,设点”坐标为",s),过点M作直线x=5丁点E,JiliJPM=5-1l=5+y,ME=\t-

||，QE=|T，利用勾股定理可得；($+却化简得：,吟弋，进而可

得：PM=s-(-^)=^t2-i|t+^,再利用二次函数性质即可得出答案.

o4545oO

⑴

解：设。4=加(〃2>0),则。3=4w，OC=2m,

/.A(-m,0),8(4m,0),C(0,-2/n),

则抛物线解析式可表示为y=a(x4-m)(x-4m),

由点。在抛物线匕有：。(0+〃。(。一4")=一2"，

,m>0»

二解得a=J：

由04=1,则所设的〃?=1,

抛物线解析式为为y=1(x+1)(%-4)=_|x_2=_|)2_g,

，顶点。坐标为4,-3.

Lo

(2)

抛物线对称轴存在一点Q,使得以QC=43。，

由(1)可得：A(-L0),3(4,0),C(0,-2),

AO_IOC_2_\

~CO~29~OB~4~2f

,AOOC

''~CO~~OBy

ZAOC=ZCOB=90°f

/.AAOC^ACOB,

...ZACO+N5co=90。，

.•./ABC为以AB为直径的圆的一个圆周角,

3

故点。为该圆与直线x的交点，

・・•圆心尸的坐标为弓3，。），半径为5彳,

乙2.

*e•点Q坐标为c|,T）或（T，一》.

（3）

如图2,

图2

3

设点M坐标为0,s）,过点M作ME±宜线x=-于点E,

25ZDQ

则PM=s5+—,ME=QE=

O2

在RTAMEQ中，MQ2=ME2+QE2+

PM^MQ,

*(s+y)2=(t-1)2+(|-s)2,

4129

化简得:2

4580

254212241

---1------1H---------

454580

345

•・・当f时，PM有最小值为

【点睛】

本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象和性质，勾股定理，相似三角形

的判定和性质，圆的性质等，添加辅助圆和利用勾股定理建立方程是解题关键.

12.如图1,A8CZ）是边长为4的正方形，以B为圆心的。8与2C,3A分别交于点E,F,还接EF,且EF

=4.

(1)求BE的长；

⑵在平面内将图1中小BEF绕点8顺时针旋转360。，在旋转的过程中，

①求NCDE的取值范围；

②如图2,取。E的中点G,连接CG并延长交直线。尸于点”，点P为正方形内一动点，试求PH+以+P8

的最小值.

【答案】(1)20

(2)@15°<ZCDE<15。②26+2

【解析】

【分析】

(1)由ABEF是等腰直角三角形及勾股定理得BE的长；

(2)①当OE分别为的切线时，/C£>E最大或最小，由8。=28日即可求得/E/DB为30度，从而解决；

②延长OC到OC,