高中数学《组合与组合数公式》导学案

1.2.2组合

第1课时组合与组合数公式

卜课前自主预习

R知识导学

知识点1组合的定义

从n个不同元素中取出加个元素画一合成一组,叫做从n个不同元素

中取出机个元素的一个组合.

知识点匚组合与组合数公式

从〃个不同元素中取出&〃）个元素的

组合数

回所有不同组合的个数，叫做从〃个不同元素

定义

中取出〃，个元素的组合数

表示法的

A小

乘积式

组合数〃（刀一1）（〃-2）…（〃-7〃+1）

ml

公式

阶乘式画C：=〃"（〃一m）!

性质c;=趣c「c+1=+L

①〃,6N'且"i&n；

备注

②规定：《=闻1

H知识拓展

组合的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“合成一组”，表

示与元素的顺序无关，排列与组合的相同点是从n个不同元素中任取m个元素,

不同点是组合是“不管元素的顺序合成一组”，而排列是要求元素按照一定的顺

序排成一列.因此区分某一问题是组合还是排列，关键是看取出的元素有无顺序.

组合数的两个性质，性质1反映了组合数的对称性，在加：号时，通常不直接

计算C；而改为Cr"，对于性质2,C'+i=C；+C；尸要会正用、逆用、变形用.

H自诊小测

1.判一判(正确的打“，错误的打“X”)

(1)从a,b,c三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C，.()

(2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C：个积.()

(3)1,2,3与3,2,1是同一个组合.()

(4)Cs=5X4X3=60.()

答案(1)X(2)V(3)V(4)X

2.做一做

(1)从6名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数是.

⑵C%=.

⑶■+废9=.

答案⑴20(2)190(3)161700

解析(1)由组合数公式知乂。—[=20.

JAZA1

,o,20X19

===

(2)C2O-C202x119°，

3,23100X99X98

(3)d9+C^9=doo==161700.

卜课堂互动探究

探究1组合的有关概念

例1给出下列问题：

(1)从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选

法？

(2)从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不

同的选法？

(3)a,b,c,d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？

(4)a,b,c,d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？

(5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多

少种？

(6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有

多少种？

在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？

［解］(1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题.

(2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题.

(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题.

(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题.

(5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素，没有顺序，是组合问题.

(6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问

题.

拓展提升

判断是否为组合问题，关键是判断问题是否与顺序有关，可以结合条件理解,

也可以选择一个结果，交换这个结果中两个元素先后顺序，看是否对结果产生影

响，若无新变化，则是组合问题.总之，与顺序有关是排列问题，若与顺序无关,

则是组合问题.

［跟踪训练1］判断下列问题是排列问题，还是组合问题.

(1)从集合4={-1,1,10,8,6,4}中任取两个数相加，得到的和共有多少个？

(2)从集合A={-1,1,10,8,6,4}中任取两个数相除，得到的商共有多少个？

(3)从a,b,c,4这四名同学中任取两名同学去参加某一活动，共有多少种

不同的选法？

(4)四个人互发一个电子邮件，共写了多少个电子邮件？

解(1)从集合A中取出两个数后，改变两个数的顺序，其和不变.因此此间

题，只与取出的元素有关，与元素的顺序无关，故是组合问题.

(2)从集合A中取出两个数相除，若改变其分子、分母的位置，其结果就不同，

因此其商的值与元素的顺序有关，是排列问题.

(3)由于从4名同学中取出的两名同学参加的同一项活动，没有顺序，因此是

组合问题.

(4)四人互发电子邮件，由于发信人与收信人是有区别的，与顺序有关，是排

列问题.

探究2组合数及组合数性质的运用

例2⑴计算：do-C?-Al；

(2)已知第一诋=菽^，求C窘

(3)求C犷"+C豺+〃的值;

(4)证明：〃?C；=〃C=，.

』-4a10X9X8X7

［解］(1)原式=C%—A,=-7^T^VT—7X6X5=210—210=0.

4八J八Z入1

加(5.团)！加！(6—〃2)!

(2)原方程可化为

5!6!

7义(7一加)！加！

10X7!

M(5-〃)！加(6-")(5—附！

即，

5!6X5!

7Xm!(7—"?.)(6—，")(5一加)！

10X7X6X5!

.6—m(7——)(6—勃)

,」―6=60'

即〃F—23"?+42=0,解得加=2或21(不符合题意,舍去).

•*.(3?=(?与=28.

’38—〃W3〃，

(3)7一,/.9.5^n^l0.5,

13后21+〃，

VnGN*,二〃=10,

•厂38—।八3/z-^28।z-^3030!31!

・・。3〃十。21+〃一。30十。31-28!-2!+30!-1!=466-

n!

(4)证明：〃2C：=zn・

m!(n-m)!

_____〃•(.-1)!

(m—1)!(n—jn)!

=____(〃T"_____=nCm-i

(m-1)!(n—m)!"l'

拓展提升

(1)像排列数公式一样，公式

拉(〃一1)(〃—2)…(几一〃+1)nl

c;：=般用于计算；而公式C；,=加(］力及

ml

A,n

C；'=$;一般用于证明、解方程(不等式)等.

(2)在解决与组合数有关的问题时，要注意隐含条件"mW〃且/”，〃WN*”的

运用.如本例(3).

(3)要注意公式A/=C；A7的逆向运用，如本例(1)中可利用简

化计算过程.

(4)本例(4)所推导的结论“mC；=〃C=，”以及它的变形公式是非常重要的公

式，应熟练掌握.

［跟踪训练2］⑴①求值:CL+C精;

②求证：C；：=吧」CTL

n-m

(2)计算:①ci+c貌).仁；

②c2+c；+cg+cg+c廿0；

③C；；+rCTL

“5一〃

5—〃20,

解⑴①q-解得4W〃W5.

n9—十1,

、9—GO,

又因为“WN",所以〃=4或n=5.

当〃=4时，原式=C：+C?=5,

当〃=5时，原式=C?+Cg=16.

nJ〃?+14m~\~1n!

②证明：因为C；=正(广办，

n-m〃(/7?+1)!(n—m)(n—m—1)!

n!

ml(n­m)!，

m-4-1

1

所以c；"=n-_-mar.

…h上3,8X7X6,100X99

(2)①原式=3+cX)Xl="oxi+oxi

JAZzx1ZA1

=56+4950=5006.

②原式=2(C?+C；+C3=2(C》+C3=2X(6+|^

=32.

③原式=C：+1•C：=(〃+1)〃=〃~+〃.

探究3简单的组合问题

例3现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名.

(1)从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？

(2)从中选出2名男教师或2名女教师去外地学习，有多少种不同的选法？

(3)从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？

［解］(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元

素中取出2个元素的组合数，即有渣0==*=45种不同的选法.

ZA1

(2)可把问题分两类：第1类，选出2名男教师，有C看种方法；第2类，选出

2名女教师，有废种方法,即共有C看+戏=21种不同的选法.

(3)从6名男教师中选2名的选法有C卷中，从4名女教师中选2名的选法有

以种，根据分步乘法计数原理，共有C看•甫=若乂言=90种不同的选法.

拓展提升

解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问

题的根本区别在于：排列问题与取出的元素之间的顺序有关，而组合问题与取出

元素的顺序无关.其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，

在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏.

［跟踪训练3］在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中

选出5人参加市级培训.在下列条件下，有多少种不同的选法？

(1)任意选5人；

(2)甲、乙、丙三人必须参加；

(3)甲、乙、丙三人不能参加；

(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加.

解(1)从中任取5人是组合问题，共有C；2=792种不同的选法.

(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，

共有C方=36种不同的选法.

(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有Cj=126

种不同的选法.

(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，

有C：=3种选法；再从另外9人中选4人，有Cg种选法.共有C；C；=378种不同

的选法.

।那港加

1.知识框图2.要点分析

(1)排列与组合的联系与区别

①联系:二者都是从〃个不同的元素中取"乂相《加个

元素；

②区别:排列问题中元素有序•组合问题中元素无序.

(2)关于组合数的计算

①涉及具体数字的可以直接用公式C，=M=

-----------正------------计算；

②涉及字母的可以用阶乘式&■=,“！(：匕,“！计算•

卜随堂达标自

1.下列问题不是组合问题的是()

A.10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？

B.平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以

构成多少条线段？

C.集合｛3,a2,的，…，即｝的含有三个元素的子集有多少个？

D.从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独

舞节目，有多少种选法？

答案D

解析组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D项中，选出的2名学

生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”

是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，选D.

2.若C，+|—C=C3则〃等于()

A.12B.13C.14D.15

答案C

解析e+i=C，+d=C'”二〃+1=7+8,〃=14,故选C.

3.把三张游园票分给10个人中的3人，分法有()

A.A；o种B.C；o种

C.C；oA；o种D.30种

答案B

解析三张票没区别，从10人中选3人即可，即C；o,故选B.

4.若C\C2,则〃的集合是.

答案[6,7,8,9｝

解析VC^>d,

fd>d,匕厂《'I…，

.•.<4!(72—4)!6!(M—6)!=

.心6

n?19〃-10<0,—1<»<10,

-

n^6[〃26.

二〃=6,7,8,9.

：.n的集合为｛6,7,8,9｝.

5.在6名内科医生和4名外科医生中，现要组成5人医疗小组送医下乡，依

下列条件各有多少种选派方法？

(1)有3名内科医生和2名外科医生；

(2)既有内科医生，又有外科医生.

解(1)先选内科医生有C薪中选法，再选外科医生有CZ种选法，故有C史之=

120种选派方法.

(2)既有内科医生，又有外科医生，正面思考应包括四种情况，内科医生去1

人，2人,3人,4人，有C*4+CD+C2人+C纪;=246种选派方法.

若从反面考虑，则有C；o—或=246种选派方法.

卜课后课时精练

A级：基础巩固练

一、选择题

1.已知组合数叱=6,则在平面直角坐标系内以点(x,y)为顶点的图形是

()

A.三角形B.平行四边形

C.梯形D.矩形

答案A

解析当尤=6,y=l；x=6,y=5；x=4,y=2时，C；：=6,所以满足题意

的点有(6,1),(6,5),(4,2),共3个，可构成三角形.故选A.

2.从2,3,…，8中任意取三个不同的数字，组成无重复数字的三位数，要

求个位数最大，百位数最小，则这样的三位数的个数为()

A.35B.42C.105D.210

答案A

解析由于取出三个数字后大小次序已确定，只需把最小的数字放在百位，

最大的数字放在个位，剩下的数字放在十位，因此满足条件的三位数的个数为出

7X6X5

=----------=35

3X2X1

3.若A)=6C＞则〃2的值为()

A.6B.7C.8D.9

答案B

772।III

解析由A)=6C*得^=6-.|q］，即7=7,解得m=l.

(/??—3)!4!(m—4)!m—34

4.从6名男生和3名女生中选出4名代表，其中必须有女生，则不同的选法

种数为()

A.168B.45C.60D.111

答案D

解析选出的代表中女生有1,2,3名时，男生相应有3,2,1名，则不同的选法

种数为c|cHc5Ci+c^c1=m.

5.C3+C4+C5+C64-----卜C魏=()

A.C2020B.C2021C,C2022D.C2023

答案D

解析原式=cZ+cl+cg+c%+…+c貂毅=c!+cg+c宠+…+c弗?=或十

出+…十废胧=••♦=廉踢+c粕胱=震。23.故选D.

二、填空题

6.设集合A={0,Z，。3,。4,a5},则集合A中含有3个元素的子集共有

个.

答案10

解析从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A的子集，则共有Ci=

■个子集.

7.以下四个式子：

①&'=斗；②邸=〃A：1；③C”C}”=山；@，"=陪配1

其中正确的个数是.

答案4

解析①式显然成立；

②式中A：=〃（〃一1）（〃一2）…（〃一机+1）,=（〃一1）（〃—2）…（〃一机+1）,所

以A；；=〃A；；耳，故②式成立；

对于③式笔哆畀=誓，故③式成立；

VxflflI•*XK/JIIfit

对于④式c器=（〃：|尸,=唔故④式成立.

（m+1）!m+1

8.7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排

3人，则不同的安排方案共有种.（用数字作答）

答案140

解析第1步，从7名志愿者中选出3人在周六参加社区公益活动，有色种

不同的选法；第2步，从余下的4人中选出3人在周日参加社区公益活动，有C：

种不同的选法.

根据分步乘法计数原理，共有G或=140种不同的安排方案.

三、解答题

9.⑴解方程:3厘=5A、4；

（2）解不等式:2G*3c媪；

（3）计算C*"+C缪:+上品+…+C/".

解（1）由排列数和组合数公式，原方程可化为

(L3)!(，L4)!

土(x—7)!4!一>(x—6)!'

则与叽啖,

即为(x—3)(x—6)=40.

.•.尤2—9x—22=0,解得x=ll