第02讲 与三角形有关的角（原卷版）-初中数学暑假自学课讲义（8年级人教版）

第02讲与三角形有关的角【人教版】·模块一三角形的内角·模块二直角三角形的性质与判定·模块三三角形的外角·模块四课后作业模块一模块一三角形的内角1．三角形内角和定理三角形的内角和等于180°。【考点1三角形内角和定理】【例1.1】在我们的生活中处处有数学的身影，请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理_____．【例1.2】如果三角形的三个内角度数分别为x°，y°，y°，则x，y满足的关系式（）A．x+y=90 B．2x=y C．x+2y=90 D．x+2y=180【例1.3】如图，已知点P是射线ON上一动点（不与点O重合），∠O=30°，若△AOP为钝角三角形，则∠A的取值范围是（）A．0°<∠A<60° B．90°<∠A<180°C．10°<∠A<30°或90°<∠A<130° D．0°<∠A<60°或90°<∠A<150°【变式1.1】一个缺角的三角形ABC残片如图所示，量得∠A=55°,∠B=60°，则这个三角形残缺前的∠C的度数为（

）A．75° B．65° C．55° D．45°【变式1.2】如图，直线a，b所成的角跑到画板外面了，某同学发现只要量出一条直线分别与直线a，b相交所形成的角的度数就可求得该角，已知∠1=71°，∠2=78°，则直线a，b所形成的锐角的度数为

【考点2三角形内角和定理的应用】【例2.1】如图，在△ABC中，∠B=70°，∠ACD=50°，AB∥CD，则∠ACB的度数为（

）A．90° B．85° C．60° D．55°【例2.2】如图，将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，得到△A'DE，若∠DA'A．45° B．40° C．55° D．50°【例2.3】如图，在△ABC中，∠A=100°，△ABC的角平分线BD，CE交于点O，则∠BOC=______．【变式2.1】将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（

）度．A．60 B．75 C．45 D．30【变式2.2】将一副三角板如图放放置，使点A在DE上，BC//DE．则∠ACD的度数为（A．45° B．50° C．60° D．75°【变式2.3】如图△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B=36°，∠DAE=16°．求∠CAD的度数．模块二模块二直角三角形的性质与判定1．直角三角形的性质直角三角形的两个锐角互余。2．直角三角形的判定有两个角互余的三角形是直角三角形。【考点1直角三角形的性质】【例1.1】已知直角三角形的一个锐角的度数为50°，则其另一个锐角的度数为___度．【例1.2】（2023年山西省运城市中考二模数学试题）如图，在△ABC中，直线m∥BC，AB⊥m于点D，直线m与AC交于点E，若∠C=20°，则∠A的度数为（

）

A．40° B．50° C．60° D．70°【变式1.1】已知直角三角形两个锐角的度数之比为3:2，求这两个锐角的度数．【变式1.2】如图△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，将△ABC沿CD折叠，点B落在AC边上的点B'处，若∠ADB'=30°，则【变式1.3】如图，已知∠AON=40°，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A=________．【考点2直角三角形的判定】【例2.1】在△ABC中，满足下列条件：①∠A=60°,∠C=30°；②∠A+∠B=∠C；③∠A:∠B:∠C=3:4:5；④∠A=90°-∠C，能确定△ABC是直角三角形的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【例2.2】已知：如图，在△ABC中，D是AB上一点，∠1=∠B，∠A=∠2．求证：△ABC是直角三角形．【变式2.1】根据下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（

）A．∠B=50°，∠C=40° B．∠B=∠C=45C．∠A，∠B，∠C的度数比为5：3：2 D．∠A-∠B=90°【变式2.2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，直线DE与AC，BC分别交于D，E两点．若∠DEC＝∠A，则△EDC是______________．模块三模块三三角形的外角1．三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。内外角的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。【考点1三角形的外角】【例1.1】图中，∠1是△ABC的外角的是(

)A. B.

C. D.【例1.2】如图所示，下列说法错误的是(

)A.∠ADC是△ABD的一个外角，也是△ADC的一个内角

B.∠AEB是△AEB的一个内角，也是△AEF的一个内角

C.∠ABF是△ABF的一个内角，也是△AEF的一个外角

D.∠C是△ABC的一个内角，也是△ADC的一个内角【变式1.1】如图，以∠AOD为外角的三角形是

．

【变式1.2】如图，下列说法中错误的是(

)A.∠1不是△ABC的外角B.∠ACD是△ABC的外角

C.∠ACD>∠A+∠BD.∠B<∠1+∠2

【考点2三角形的外角的性质】【例2.1】如图，∠A的度数为_______°

【例2.2】如图，AD、BC相交于点O，连接AB、A．∠BOD=∠B B．∠AOC<∠DC．∠BOD=∠C+∠D D．∠AOC=∠A+∠C【例2.3】如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中∠α的度数为（）A．45° B．50° C．75° D．80°【变式2.1】直角三角形最小的一个外角为______度.【变式2.2】如图，△ABC中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝（

）A．360° B．180° C．250° D．245°【变式2.3】如图，直线a∥b，∠1=39°，∠2=70°，则∠A度数是（

A．39° B．21° C．31° D．70°【变式2.4】如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P=（

）A．20° B．30° C．35° D．40°模块四模块四课后作业1．已知Rt△ABC中，∠B=90°，若∠C比∠A大20°，则∠A等于（A．35° B．55° C．60° D．40°2．如图，在△ABC中，∠C=60°，∠B=50°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则∠EDF的度数为（）A．90° B．100° C．110° D．120°3．在△ABC中，已知∠B=3∠A，∠C=2∠B，则这个三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰直角三角形4．如图，在△DEF中，点C在DF的延长线上，点B在EF上，且AB∥CD，∠EBA=80°，∠D=45°，则∠E的度数为(A．35° B．25° C．20° D．15°5．如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，点B在直线b上，AB⊥AC，若∠1=130°，则∠A．30° B．40° C．50° D．70°6．一副三角板如图所示摆放，∠BAC=∠DAE=90°，∠ACB=60°，∠AED=45°，BC∥DE，则∠BAD的度数为（

）

A．15° B．20° C．25° D．30°7．将一个直角三角板和一把直尺按如图所示摆放，若∠1=25°，则∠2的度数为（

）A．65° B．60° C．55° D．45°8．如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°，若∠1+∠B9．若一个三角形三个内角度数的比为3：7：4，那么这个三角形最大的一个角是_______度．10．如图，△ABC中，∠A=60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A'处．如果∠A'EC=70°，那么12．已知△ABC的三个内角分别是∠A、∠B、∠C，若∠A=30∘，∠C=2∠B，求