天津市七校2018-2019学年高二上学期期末考试数学试卷

2018～2019学年度第一学期期末六校联考高二数学一、选择题（每小题5分，共8小题，共40分）1.复数z=1−A.0B.2C.1D.2【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算将式子化简以及模长公式,得到结果即可.【详解】z=1−故选D.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数模长的计算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.2.已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S10=A.16B.15C.14D.【答案】B【解析】【分析】由题意，等差数列an的公差为2，，根据S10=【详解】由题意，等差数列an的公差为2，前n项和为S因为S10=10a1【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式的合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.下列叙述中正确的是（）A.若a,b,c∈R，则“B.若a,b,c∈R，则“C.命题“∀x∈R,xD.an是等比数列，则0<q【答案】C【解析】【分析】由题意，根据二次函数的性质，可判定A不正确；根据不等式的性质，可判定B不正确；根据全称命题与存在性命题的关系，可判定C正确；根据等比数列的性质，可判定D正确.对于A中，若a,b,c∈【详解】由题意，对于A中，若a,b,c∈R，则“对于B中，若a,b,c∈R，则“对于C中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“∀x∈R对于D中，在an是等比数列，，例如当a1<0且故选C.【点睛】本题主要考查了充要条件的判定，其中解答中熟记二次函数的性质，不等式的性质以及等比数列的单调性等知识点，合理、准确判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.4.已知直线22x−y+42=0经过椭圆x2a2+y2bA.x240+y24【答案】D【解析】【分析】由题意，求得F1(−2,0)和N(【详解】由题意，直线22x−y+又直线22x−所以F1(−因为直线22x−y+42且MN所以MF1+又由b2所以椭圆的方程为x29【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解，其中解答中认真审题，合理利用椭圆的定义和几何性质求解得值是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力.5.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为A.1B.2C.13D.【答案】B【解析】【分析】以D为坐标原点，直线DA,DC,DD1分别为x,y【详解】如图所示，以D为坐标原点，直线DA,D则D1则D1设平面ACD1则n⋅AC=−所以点E到平面ACD1的距离为【点睛】本题主要考查了空间向量在的距离中的应用，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，熟练应用平面的法向量和距离公式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.6.已知，b∈R，则a>|A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义，进行判断，即可得到答案.【详解】由题意，若a>b，则a>b≥0，则当a=1,b=所以a>b是a【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定问题，其中解答中结合不等式的关系和不等式的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.7.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，xfA.x-2＜x＜0C.x-2＜x＜0【答案】C【解析】【分析】由题意，令gx=fxx，利用函数的奇偶性的定义和导数求得函数单调性，又由xf【详解】由题意，令gx=fxx所以函数gx在(又由函数fx为偶函数，所以g所以函数gx为定义域上的奇函数，所以函数gx在又因为f2=0，所以g所以当0<x<2或x<−2时，g又由xfx>0，即x2g所以不等式的解集为{x|−2【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，利用导数研究函数的单调性及应用，其中解答中根据题意合理构造函数，利用导数得出函数的单调性是解答的关键，着重考查了构造思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.8.过双曲线x2a2−y2b2=1的左焦点F1-c,A.1+52B.1+【答案】A【解析】【分析】由题意，求得OE是ΔAF1F2的中位线，得到OE//PF2，因为OE=a，所以PF【详解】设双曲线的右焦点为F2，则F2的坐标为因为抛物线为y2=4因为O为F1又由F1E=12F1P，则点E为因为OE=a又PF2⊥设点P(x,y)过点F作x的垂线，点P到该垂线的距离为2a由勾股定理得y2+4得e2−e−【点睛】本题主要考查了双曲线的标准及简单的几何性质的应用，以及抛物线的定义的应用，其中解答中合理应用圆锥曲线的几何性质，得出关于离心率的方程是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分）9.已知方程x25+k+【答案】−【解析】【分析】由方程x2【详解】由题意，方程x25+解得−5<k<2且k≠−【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，其中解答中根据椭圆的标准方程，列出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10.设公比为q的正项等比数列an的前n项和为Sn，且an+1>【答案】2【解析】由已知得S3=2a2+2,S4=2a3+211.在正四面体P−ABC中，棱长为2，且E是棱AB【答案】−【解析】【分析】由题意，设PA=a在正四面体中PE=【详解】由题意，设PA=a在正四面体中PE所以P=1【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积的运算问题，其中解答中建立适当的空间基底，熟记向量的表示，以及向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.12.已知a>0，b>0，且1a【答案】6【解析】【分析】由题意，根据题设条件，得到4a【详解】由题意，a>0,则4≥6+24a所以4a+2【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中根据题意，合理恒等变换，利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.13.设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，准线为.过焦点的直线分别交抛物线于A,B两点，分别过A,B作的垂线，垂足为C,【答案】6【解析】【分析】由抛物线的定义，化简得到直线AB的斜率为k=3，则直线AB的方程为y=3(x【详解】如图所示，由抛物线的定义可知AC则AM=2所以直线AB的斜率为k=3，则直线A设A(联立方程组y=3(所以x1+x2=所以ΔCDF的面积为S【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与标准方程的应用，以及抛物线的几何性质的应用问题，其中解答中熟练应用抛物线的定义，求得直线AB的方程，利用抛物线焦点弦的性质，求得AB,14.已知函数f(x)=exx3+3k【答案】k【解析】【分析】由题意，求得函数的导数f′x，根据题意x=3是函数fx的唯一的一个极值点，得出ex−k【详解】由题意，函数fx的定义域为(0,因为x=3是函数fx的唯一的一个极值点，所以x所以ex−k即k=exx3在x所以gx在(0,所以gx的最小值为g3=【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，其中解答中把x=3是函数fx的唯一的一个极值点，转化为ex−k三、解答题（共6小题，共80分）15.数列{an}的前n项和为Sn，已知a1（1）证明：数列Sn（2）求数列Sn的前n项和T【答案】(1)见解析;(2)Tn【解析】【分析】(1)由an+1=Sn+1-Sn=2n+32n-1【详解】（1）证明：∵an∴Sn∴Sn又a1∴S1∴数列Sn（2）由（1）知，Sn∴Sn∴Tn=12Tn=①②得-==(∴Tn【点睛】本题主要考查等比数列的定义和等比数列的求和公式，以及错位相减法求数列的前n项和，属于中档题.一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列an·bn的前n项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解,在写出“Sn”16.已知函数f(x)=（1）求函数f(x)（2）若关于x的方程f(x)=−5【答案】（1）5x+【解析】【分析】（1）求得函数的导数，由x=0是函数的极值点，得到f′（2）由a=1，得ln(x+1)-x2+【详解】（1）由题意，求得函数的导数f∵x=0时，故10+a-2×∵f(1∴切（2）由a=1知得l令φ则f(x)等价于φ(xφ'当x∈(0,1)时，当x∈(1,2)时，φ'依题意有φ(解得ln【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线方程，以及利用导数研究方程的根的问题，其中解答中熟记导数的几何意义求解切线的方程，以及把方程的根转化为φ(0,2上恰有两个不同实数根，利用导数取得函数φx的单调性和最值，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题17.在如图所示的多面体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，A（1）求证：CM（2）求平面EMC与平面（3）在棱DC上是否存在一点N，使得直线MN与平面EMC所成的角是60°【答案】（1）见解析（2）30（3）在棱DC上存在一点N，使直线MN与平面EMC所成的角是60°【解析】【分析】（Ⅰ）由AC=BC，M是AB的中点，得到CM⊥AB（Ⅱ）以M为原点，分别以MA,MC为x,y轴，如图建立坐标系M−（Ⅲ）设Nx,y,z且D【详解】（1）证明：∵AC=BC，M是又EA⊥平面AB∵EA∩AB=∴CM⊥（2）以M为原点，分别以MB，MC为x，y轴，如图建立坐标系则：M0,0,0，C0,2,0，ME=-2,0,1，MC设平面EMC的一个法向量m=x取x1=1，y1=0设平面DBC的一个法向量n=取x1=1，y1=1cosm故平面EMC与平面BCD（3）在棱DC上存在一点N，使得直线MN与平面EM设Nx,y,z且∴x-∴x=2-2λ，y=若直线MN与平面EMC则cosMN,所以在棱DC上存在一点N，使直线MN与平面EMC所成的角是60°【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定，以及利用空间线面角和二面角的求解问题，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理，以及熟记空间向量的数量积和夹角公式合理运算是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及推理与计算能力，属于基础题.18.已知数列an满足a1=1，（1）设bn=22a（2）设cn=4ann+1，数列cncn+2【答案】(1)an=n【解析】试题分析：（1）利用递推公式即可得出bn+1−bn为一个常数，从而证明数列bn是等差数，再利用等差数列的通项公式即可得到bn，进而得到an；（2）利用（1）的结论，利用“裂项求和”即可得到Tn，要使得T试题解析：（1）证明：bn所以数列bna1=1由bn（2）由cn所以Tn所以Tn因为n∈N+依题意要使Tn<1cncm+1对于n∈N【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①1nn=1kn④1nn+19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=（1）求椭圆C的方程；（2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的kk≠0都有（3）若过O点作直线的平行线交椭圆C于点M，求OMA【答案】（1）x216+y2【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率和左顶点，求出，，由此能求出椭圆C的标准方程；（2）直线l的方程为y=kx+4，与椭圆联立，得，x+44k2+3x试题解析：（1）∵左顶点为A∴a又∵e∴c又∵b∴椭圆C的标准方程为x2（2）直线的方程为y=kx+化简得，x+4当x=-16k∴D∵点P为AD∴点P的坐标为-16k2直线的方程为y=kx+4，令x=0，得点E的坐标为0，4∴4m∴{4m∴定点Q的坐标为-3（3）∵O∴OM的方程可设为y=kx，由{由OM∥l，得A当且仅当64k2∴当k=±32时，点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．20.已知函数f(x)（1）若f(x)在（2）设g(x)（3）当a=-2时，若存在正实数x1,【答案】（1）a=3【解析】【分析】（Ⅰ）由题意，求得函数的导数f'(x（Ⅱ）由题意，得g(x)=（Ⅲ）代入a=-2，求出2(x【详解】（1）因为f(x)因为f(x)所以f'(1)验证：当a=32时，f(（2）解：因为g(x)所以g'①若a≥0，则当x∈(0,1当x∈(12,+∞)时，g②若a<0，当a<-2时，易得函数g(x在(-1当a=-2时，g'(当-2<