必修5第三章第三节基本不等式（教师版）

个性化教学辅导教案学生姓名年级高一学科数学上课时间教师姓名陈伟星课题人教版必修五第三章第三节基本不等式教学目标从代数，几何两个角度探索不等式的推导通过应用基本不等式解决基本问题培养学习兴趣教学过程教师活动学生活动已知变量x，y满足约束条件，则的最大值为（B）A．﹣3 B．1 C．3 D．0已知A（2，1），O（0，0），点M（x，y）满足，则的最大值为（D）A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．1已知，其中实数x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是（B）A． B． C．4 D．某车间计划生产甲、乙两种产品，甲种产品每吨消耗A原料6吨、B原料4吨、C原料4吨，乙种产品每吨消耗A原料3吨、B原料12吨、C原料6吨．已知每天原料的使用限额为A原料240吨、B原料400吨、C原料240吨．生产甲种产品每吨可获利900元，生产乙种产品每吨可获利600元，分别用x，y表示每天生产甲、乙两种产品的吨数（Ⅰ）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）每天分别生甲、乙两种产品各多少吨，才能使得利润最大？并求出此最大利润．解：（Ⅰ）由已知x，y满足的数学关系式为，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分．（Ⅱ）解：设利润为z万元，则目标函数z=900x+600y，所以y=﹣x+，这是斜率为﹣，在y轴上的截距为的一族平行直线．当取最大值时，z的值最大，又因为x，y满足约束条件，所以由图可知，当直线z=900x+600y经过可行域中的点M时，截距的值最大，即z的值最大．解方程组，得点M的坐标为（30，20），所以Zmax=900×30+600×20=39000．故每天生产甲种产品30吨，乙种产品20吨时利润最大，且最大利润为39000元．下列函数中，最小值为4的是（）A．y=x+ B．y=sinx+（0＜x＜π）C．y=ex+4e﹣x D．y=+【答案】C【解析】对于A，当时，，无最小值；

对于B，令t=sinx，由0＜x＜π知,易知在时，单调递减，,故不成立；

对于D,当且仅当x=1时“=”成立，易知最小值为，不成立.

故选C设，则的最大值是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，当且仅当时取等号，，则，选D.已知，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，故选A。已知均为正数，且，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，选B.已知，且，则的最小值（）A． B． C． D．无最小值【答案】C【解析】（当且仅当时取等号）.选C.设求证：【答案】可以运用多种方法。【解析】

试题分析：证明[法一]：

2分

10分

当且仅当，取“=”号。11分

故12分

证明[法二]：

当且仅当，取“=”号。

故

证明[法三]：

当且仅当，取“=”号。

故

证明[法四]：

当且仅当时，取“=”号。

故

证明[法五]：

∴设

则

当且仅当时，取“=”号。

故

证明[法六]：

∴设

则

当且仅当时，取“=”号。

故

证明[法七]

运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100（单位：千米/时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．

（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；

（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．【答案】(1)，x∈[50，100];(2)详见解析.【解析】试题分析：（1）由题意，总费用包含汽油价格和司机工资，所以可以写出表达式，x∈[50，100]；（2）为对勾函数，则当且仅当，等号成立，解得。

试题解析：

（1）设所用时间为，则

，

x∈[50，100]．

所以这次行车总费用y关于x的表达式是

，x∈[50，100]．（或，x∈[50，100]．

（2），

当且仅当，

即时，等号成立．

故当千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为元．【学科问题】基本不等式的应用比较广泛，灵活，方法技巧性较强，在解题时不容易找到突破口，【学生问题】学生对基本不等式求最值的条件容易忽略，“一正，二定，三取等”2、对几何平均、算术平均、平方平均不会合理选择从而证明不等式；3、求最值时不会根据题型进行凑配、拆分、换元、1代换等技巧处理；4、在实际问题中不能列出正确的不等关系重要不等式：a2＋b2≥2ab(a，bR)一般地，对于任意实数a，b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当__a＝b___时，等号成立．基本不等式】如果a＞0，b＞0，那么，当且仅当__a＝b___时，等号成立．其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．因此基本不等式也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．基本不等式的证明】（1）代数法：方法一因为a＞0，b＞0，所以我们可以用，分别代替重要不等式中的a，b，得，当且仅当时，等号成立．即(a＞0，b＞0)，当且仅当a＝b时，等号成立．方法二因为，所以，即，所以．方法三要证，只要证，即证，即证，显然总是成立的，当且仅当a＝b时，等号成立．（2）几何法：如图，AB是圆的直径，C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD．易证，则CD2＝CA·CB，即CD＝_____．这个圆的半径为，显然它大于或等于CD，即，当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立．由此我们可得的几何意义：半径不小于半弦．重要不等式和均值不等式的常用变形公式及推广公式】（1）(a，b同号)；(a，b异号)．（2）(a＞0)；(a＜0)．（3）(a＞0，b＞0)；(a＞0，b＞0)．（4），，4ab≤a2＋b2＋2ab，2(a2＋b2)≥(a＋b)2．（5）．（6）为正实数，且．均值不等式链】若a＞0，b＞0，则，当且仅当a＝b时，等号成立．其中和分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数．最值定理】已知x＞0，y＞0，则若x＋y为定值s，则当且仅当x＝y时，积xy有最大值(简记：和定积最大)；若xy为定值t，则当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值(简记：积定和最小)．利用基本不等式判断不等式是否成立】要判断不等式是否成立，关键是把握其运用基本不等式时能否严格遵循“一正、二定、三相等”这三个条件．设f(x)＝lnx，0＜a＜b，若p＝f()，q＝，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是A．q＝r＜p B．p＝r＜q C．q＝r＞p D．p＝r＞q【答案】B【解析】方法一由题意知，p＝＝ln，q＝＝ln，r＝(f(a)＋f(b))＝(lna＋lnb)＝lnab＝ln．又0＜a＜b，所以．因为函数f(x)＝lnx为增函数，所以p＝r＜q，故选B．方法二(特值法)令a＝1，b＝2，则p＝f()＝ln，q＝＝ln，r＝(ln1＋ln2)＝ln．因为＜，所以ln＜ln，所以p＝r＜q，故选B．给出下列不等式：①；②；③；④；⑤若0＜a＜1＜b，则logab＋logba≤－2．其中正确的是________．【答案】②⑤【解析】当x＞0时，，当x＜0时，，所以，故①不正确，②正确；由于x＞0，所以，当且仅当，即时取等号，故③不正确；当时，，时，，故④不正确；当0＜a＜1＜b时，，，故logab＋logba≤－2，⑤正确．综上，②⑤正确．利用基本不等式证明不等式】利用基本不等式证明不等式的一般思路：先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的形式；若题目中还有其他条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换．另外，解题时要时刻注意等号能否取到．已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：；【答案】因为a＞0，b＞0，c＞0，所以利用基本不等式可得，，，所以，即，当且仅当a＝b＝c时等号成立．已知a＞b，ab＝2，求证：．【解析】因为a＞b，所以a－b＞0，又ab＝2，所以，即，当且仅当，即，时取等号．利用基本不等式求最值】（1）直接应用类：此类问题较为基础，注意“一正、二定、三相等”即可．（1）已知f(x)＝x＋＋2(x＜0)，则f(x)有（）A．最大值为4 B．最小值为4 C．最小值为0 D．最大值为0【答案】Ｄ【解析】因为x＜0，所以f(x)＝－[(－x)＋]＋2≤－2＋2＝0，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．故选D．已知0＜x＜4，则x(4－x)取得最大值时x的值为（）A．0 B．2 C．4 D．16【答案】Ｃ【解析】因为0＜x＜4，所以4－x＞0，所以x(4－x)≤＝4，当且仅当x＝4－x，即x＝2时取等号．故选C．已知函数f(x)＝(x＞0)，若f(a＋b)＝16，则f(ab)的最大值为__________；【答案】16【解析】因为，所以a＋b＝4，所以，f(ab)＝≤16，故f(ab)的最大值为16．已知a，bR，且ab＝8，则|a＋2b|的最小值是________．【答案】8【解析】依题意得a，b同号，于是|a＋2b|＝|a|＋|2b|≥＝＝＝8，当且仅当|a|＝|2b|＝4时取等号，因此|a＋2b|的最小值是8．（2）配凑定值类：此类问题一般不能直接使用基本不等式，要从整体上把握进而运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项、凑项、凑系数等．已知x＞0，则函数y＝的最小值为________；【答案】5【解析】因为x＞0，所以y＝＝≥2＋3＝5，当且仅当x＝1时取等号．故填5．若x＞1，则函数y＝的最小值为________；【答案】3【解析】因为x＞1，所以y＝≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时取等号．故填3．若0＜x＜，则函数y＝x(12－5x)的最大值为________．【答案】【解析】因为0＜x＜，所以y＝5x(12－5x)≤＝，当且仅当5x＝12－5x，即x＝时取等号．故填．（3）条件最值类：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，或构造不等式求解．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则的最小值为________；【答案】4【解析】因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，所以＝＝≥＋2＝4，当且仅当a＝b＝时等号成立．故填4．已知a＞0，b＞0，＝2，则a＋b的最小值为________；【答案】2【解析】因为a＞0，b＞0，＝2，所以a＋b＝＝≥＋1＝2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．故填2．若正实数x，y满足x＋y＋3＝xy，则xy的最小值是________；【答案】9【解析】由x＞0，y＞0，x＋y＋3＝xy，得xy≥＋3，当且仅当x＝y＝3时等号成立，故－－3≥0，即≥0，由＞0解得＞3，即xy≥9．故xy的最小值为9．已知x＞0，y＞0，x＋y＋xy＝3，则x＋y的最小值是________．【答案】2【解析】由x＞0，y＞0，x＋y＋xy＝3，得xy＝3－(x＋y)≤，当且仅当x＝y＝1时等号成立，故＋(x＋y)－3≥0，解得x＋y≥2或x＋y≤－6(舍去)，故x＋y的最小值是2．基本不等式在实际中的应用】利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的几何图形，通过相关的关系建立关系式．在解题过程中尽量向模型(a＞0，b＞0，x＞0)上靠拢．如图，要规划一个矩形休闲广场，该休闲广场含有大小相等的左右两个矩形草坪（如图中阴影部分所示），且草坪所占面积为18000m2，四周道路的宽度为10m，两个草坪之间的道路的宽度为5m．试问，怎样确定该矩形休闲广场的长与宽的尺寸（单位：m），能使矩形休闲广场所占面积最小？【解析】方法一设矩形休闲广场的长为xm，宽为ym，则矩形草坪的长和宽分别为(x－20)m，m，其中x＞20，y＞25，则草坪的面积为2(x－20)＝18000，由此得y＝，所以休闲广场的面积S＝xy＝x()＝，整理得S＝．因为x－20＞0，所以S≥，当且仅当时等号成立，此时有(x－20)2＝14400，解得x＝140，代入y＝，得y＝175，即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24500．故当矩形休闲广场的长为140m，宽为175m时，可使休闲广场的面积最小．方法二设矩形草坪的长为am，宽为bm，则ab＝9000，其中a＞0，b＞0．易知矩形休闲广场的长为(a＋20)m，宽为(2b＋25)m．故休闲广场的面积S＝(a＋20)(2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500＝18500＋25a＋40b≥18500＋，当且仅当25a＝40b时等号成立．此时，代入ab＝9000得a＝120，b＝75，即当a＝120，b＝75时，S取得最小值24500．故当矩形休闲广场的长为140m，宽为175m时，可使休闲广场的面积最小．忽略等号成立的条件导致错误】函数的最小值为_________．【错解】，所以函数的最小值为2．【错因分析】错解中使用基本不等式时，等号成立的条件为，即＝1，显然x2≠－1，即等号无法取到，函数的最小值为2是不正确的．【正解】，令，．易知函数在上单调递增，所以．故函数的最小值为．忽略等号成立的一致性导致错误】若x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，则的最小值为_________．【错解】因为x＞0，y＞0，所以1＝x＋2y≥，即8xy≤1，即xy≤，故≥8．因为≥，所以≥．故的最小值为．【错因分析】在求解过程中使用了两次基本不等式：x＋2y≥，≥，但这两次取“＝”需满足x＝2y与x＝y，互相矛盾，所以“＝”不能同时取到，从而导致错误．【正解】因为x＋2y＝1，x＞0，y＞0，所以＝，当且仅当，即，即时取等号．故的最小值为．（题型二）已知x，y，z均为正数．求证：．【答案】不等式的证明可以考虑运用均值不等式法来得到。【解析】试题分析：证明：∵x，y，z都是为正数，∴

同理，可得，．

将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得

．（题型三）已知a＞0，b＞0，m＝，n＝，且a，b的等比中项是1，则m＋n的最小值是A．3 B．4C．5 D．6【答案】B【解析】由题意知：ab＝1，所以m＝＝2b，n＝＝2a，所以m＋n＝2(a＋b)≥＝4．故选B．（题型三）（题型三）函数取得最小值时，的值为（）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】，

当且仅当时取等号,此时，

故选：B.（题型三）已知都是正数,且则的最小值等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】,故选C.（题型三）在平面直角坐标系中，已知第一象限的点在直线上，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵第一象限的点在直线上，

∴，且，即，

∴.

当且仅当，即时，的最小值为，故选B.（题型四）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品A．60件 B．80件 C．100件 D．120件【答案】B【解析】记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为，则，当且仅当，即x＝80(负值舍去)时取等号，故选B．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为A． B．C．5 D．6【答案】C【解析】由x＋3y＝5xy及x＞0，y＞0可得，所以3x＋4y，当且仅当，即x＝2y时取等号．故3x＋4y的最小值为5．故选C．若a，b，c＞0且(a＋c)(a＋b)＝，则2a＋b＋c的最小值为A． B．C． D．【答案】D【解析】由a，b，c＞0及(a＋c)(a＋b)＝，可得＝(a＋c)(a＋b)≤，当且仅当b＝c时取等号，所以(2a＋b＋c)2≥，即2a＋b＋c≥，故2a＋b＋c的最小值为，故选D．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为A． B．C． D．【答案】C【解析】用转化的数学思想先求的最小值，再建立不等式求解即可．因为，当且仅当时取等号，故，所以，解得，故实数的取值范围为．故选C．【查漏补缺】已知a＞0，b＞0，m＝，n＝，且a，b的等比中项是1，则m＋n的最小值是A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】由题意知：ab＝1，所以m＝＝2b，n＝＝2a，所以m＋n＝2(a＋b)≥＝4．已知，则m，n之间的大小关系是A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．不确定【答案】A【解析】因为a＞2，所以a－2＞0，所以，当且仅当a＝3时取等号，故，．由b≠0得b2＞0，所以2－b2＜2，所以＜4，即n＜4，故．综上可得m＞n，故选A．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品A．60件 B．80件 C．100件 D．120件【答案】B【解析】记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为，则，当且仅当，即x＝80(负值舍去)时取等号，故选B．已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【解析】因为，当且仅当时，等号成立．要使对任意正实数x，y恒成立，则，即－8≥0，解得或(舍去)，故a≥4，即a的最小值为4，故选C．已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，则的最小值为________．【答案】9【解析】因为a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，所以＝＝3＋＝3＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．在4×＋9×＝60的两个中，分别填入一个自然数，使它们的倒数之和最小，则应分别填入________和________．【答案】64【解析】设两数为x，y，则4x＋9y＝60，故，当且仅当，即x＝6，y＝4时等号成立，故应填6和4．（1）已知函数，试比较与的大小，并加以证明；（2）若0＜x＜1，a＞0，b＞0．求证：．【解析】（1）≤．证明如下：因为x1，x2(0，＋∞)，≤，所以≤，所以≤，又，，所以≤，当且仅当时等号成立．（2）观察易得x＋(1－x)＝1(定值)，不等号右边不含x，且1－x＞0，故右边，当且仅当，即时等号成立．所以．（1）求函数的最小值；（2）已知正数a，b和正数x，y，若a＋b＝10，，且x＋y的最小值是18，求a，b的值．【解析】（1）因为x＞－1，所以x＋1＞0，所以，当且仅当，即x＝1时等号成立．所以当x＝1时，函数取得最小值为9．（2）x＋y＝＝≥，当且仅当时等号成立，所以．由，解得或．【举一反三】若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为A． B． C．5 D．6【答案】C【解析】由x＋3y＝5xy及x＞0，y＞0可得，所以3x＋4y，当且仅当，即x＝2y时取等号．故3x＋4y的最小值为5．若a，b，c＞0且(a＋c)(a＋b)＝，则2a＋b＋c的最小值为A． B． C． D．【答案】D【解析】由a，b，c＞0及(a＋c)(a＋b)＝，可得＝(a＋c)(a＋b)≤，当且仅当b＝c时取等号，所以(2a＋b＋c)2≥，即2a＋b＋c≥，故2a＋b＋c的最小值为，选D．若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式中恒成立的个数为①ab≤1；②≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤≥2．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因为ab≤，所以①正确；因为≤，所以≤，故②不正确；因为a2＋b2≥，所以③正确；因为a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝2[(a＋b)2－3ab]＝2(4－3ab)＝8－6ab≥8－6＝2，所以④不正确；因为≥2，所以⑤正确．故正确的为①③⑤，共3个．故选C．函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，则的最小值为_______．【答案】8【解析】因为函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点A(－2，－1)，且点A在直线mx＋ny＋1＝0上，所以－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1，又mn＞0，所以，当且仅当，即，时，取得最小值为8．若实数a，b满足，则的最小值为A． B．2 C． D．4【答案】C【解析】由可得a＞0，b＞0，因为，所以ab≥，当且仅当时取等号，所以的最小值为，故选C．设实数x，y满足，则xy的最大值为A． B． C．12 D．14【答案】A【解析】画出可行域如图中阴影部分所示，易知当动点在线段AC上时xy取得最大值，此时2x＋y＝10，故xy＝(2x·y)≤，当且仅当x＝，y＝5时取等号，对应点(，5)落在线段AC上，故最大值为．已知a＞0，b＞0，ab＝8，则当a的值为时取得最大值．【答案】2【解析】≤，当且仅当时取等号，结合a＞0，b＞0，ab＝8，可得a＝4，b＝2．已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，则的最小值为_________________．【答案】9【解析】因为a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，所以＝＝3＋＝3＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．在4×＋9×＝60的两个中，分别填入一个自然数，使它们的倒数之和最小，则中应分别填入____________和____________．【答案】64【解析】设两数为x，y，则，故，当且仅当，即x＝6，y＝4时等号成立，故中应分别填入6和4．函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，则的最小