江苏省南通市如皋区2023-2024学年中考五模数学试题含解析

江苏省南通市如皋区2023-2024学年中考五模数学试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，是半圆圆的直径，的两边分别交半圆于,则为的中点，已知，则(）A． B． C． D．2．如图，等腰直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，把纸片沿EF对折后，点A恰好落在BC上的点D处，点CE=1，AC=4，则下列结论一定正确的个数是（）①∠CDE=∠DFB；②BD＞CE；③BC=CD；④△DCE与△BDF的周长相等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．对于点A（x1，y1），B（x2，y2），定义一种运算：．例如，A（－5，4），B（2，﹣3），．若互不重合的四点C，D，E，F，满足，则C，D，E，F四点【】A．在同一条直线上B．在同一条抛物线上C．在同一反比例函数图象上D．是同一个正方形的四个顶点4．下列各数中，无理数是（）A．0 B． C． D．π5．如图，半径为1的圆O1与半径为3的圆O2相内切，如果半径为2的圆与圆O1和圆O2都相切，那么这样的圆的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．46．若x＝－2是关于x的一元二次方程x2＋ax－a2＝0的一个根，则a的值为（）A．－1或4 B．－1或－4C．1或－4 D．1或47．下列计算正确的是（）A．x4•x4=x16B．（a+b）2=a2+b2C．16=±4D．（a6）2÷（a4）3=18．的平方根是()A．2 B． C．±2 D．±9．如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，若PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，则线段QR的长为（）A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm10．如图，已知，为反比例函数图象上的两点，动点在轴正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大时，点的坐标是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．图1、图2的位置如图所示，如果将两图进行拼接（无覆盖），可以得到一个矩形，请利用学过的变换（翻折、旋转、轴对称）知识，将图2进行移动，写出一种拼接成矩形的过程______.12．计算：3﹣1﹣30＝_____.13．含45°角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，其中A(-2，0)，B(0，1)，则直线BC的解析式为______．14．如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AB=AC=5，cos∠C=，那么GE=_______．15．某学校组织学生到首钢西十冬奥广场开展综合实践活动，数学小组的同学们在距奥组委办公楼（原首钢老厂区的筒仓）20m的点B处，用高为0.8m的测角仪测得筒仓顶点C的仰角为63°，则筒仓CD的高约为______m．（精确到0.1m，sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96）16．计算：2cos60°－+(5－π)°=____________.三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）某校数学综合实践小组的同学以“绿色出行”为主题，把某小区的居民对共享单车的了解和使用情况进行了问卷调查.在这次调查中，发现有20人对于共享单车不了解，使用共享单车的居民每天骑行路程不超过8千米，并将调查结果制作成统计图，如下图所示：本次调查人数共人，使用过共享单车的有人；请将条形统计图补充完整；如果这个小区大约有3000名居民，请估算出每天的骑行路程在2～4千米的有多少人？18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C．求抛物线y=ax2+2x+c的解析式:；点D为抛物线上对称轴右侧、x轴上方一点，DE⊥x轴于点E，DF∥AC交抛物线对称轴于点F，求DE+DF的最大值；①在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；②点Q在抛物线对称轴上，其纵坐标为t，请直接写出△ACQ为锐角三角形时t的取值范围．19．（8分）已知是的函数，自变量的取值范围是的全体实数，如表是与的几组对应值．小华根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的与之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：（1）从表格中读出，当自变量是﹣2时，函数值是；（2）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（3）在画出的函数图象上标出时所对应的点，并写出．（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：．20．（8分）今年以来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了不完整的三种统计图表．对雾霾了解程度的统计表：对雾霾的了解程度

百分比

A．非常了解

5%

B．比较了解

m

C．基本了解

45%

D．不了解

n

请结合统计图表，回答下列问题．（1）本次参与调查的学生共有人，m=，n=；（2）图2所示的扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是度；（3）请补全条形统计图；（4）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾知识竞赛，某班要从“非常了解”态度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去；否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．21．（8分）某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，每月能卖出500个.商场想了两个方案来增加利润：方案一：提高价格，但这种商品每个售价涨价1元，销售量就减少10个；方案二：售价不变，但发资料做广告．已知当这种商品每月的广告费用为m(千元)时，每月销售量将是原销售量的p倍，且p=．试通过计算，请你判断商场为赚得更大的利润应选择哪种方案？请说明你判断的理由！22．（10分）先化简，然后从－2≤x≤2的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值.23．（12分）已知，关于x的方程x2+2x-k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是这个方程的两个实数根，求的值；（3）根据（2）的结果你能得出什么结论？24．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4，OC=3，若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交AC于点D，动点P在抛物线对称轴上，动点Q在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）当PO+PC的值最小时，求点P的坐标；（3）是否存在以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、C【解析】

连接AE，只要证明△ABC是等腰三角形，AC=AB即可解决问题.【详解】解：如图，连接AE，

∵AB是直径，

∴∠AEB=90°，即AE⊥BC，

∵EB=EC，

∴AB=AC，

∴∠C=∠B，

∵∠BAC=50°，

∴∠C=（180°-50°）=65°，

故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．2、D【解析】等腰直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，∴∠A=∠B=45°，由折叠可得，∠EDF=∠A=45°，∴∠CDE+∠BDF=135°，∠DFB+∠B=135°，∴∠CDE=∠DFB，故①正确；由折叠可得，DE=AE=3，∴CD=，∴BD=BC﹣DC=4﹣＞1，∴BD＞CE，故②正确；∵BC=4，CD=4，∴BC=CD，故③正确；∵AC=BC=4，∠C=90°，∴AB=4，∵△DCE的周长=1+3+2=4+2，由折叠可得，DF=AF，∴△BDF的周长=DF+BF+BD=AF+BF+BD=AB+BD=4+（4﹣2）=4+2，∴△DCE与△BDF的周长相等，故④正确；故选D．点睛：本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、A。【解析】∵对于点A（x1，y1），B（x2，y2），，∴如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），那么，。又∵，∴。∴。令，则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线上，∴互不重合的四点C，D，E，F在同一条直线上。故选A。4、D【解析】

利用无理数定义判断即可.【详解】解：π是无理数，故选：D.【点睛】此题考查了无理数，弄清无理数的定义是解本题的关键.5、C【解析】分析：过O1、O2作直线，以O1O2上一点为圆心作一半径为2的圆，将这个圆从左侧与圆O1、圆O2同时外切的位置（即圆O3）开始向右平移，观察图形，并结合三个圆的半径进行分析即可得到符合要求的圆的个数.详解：如下图，（1）当半径为2的圆同时和圆O1、圆O2外切时，该圆在圆O3的位置；（2）当半径为2的圆和圆O1、圆O2都内切时，该圆在圆O4的位置；（3）当半径为2的圆和圆O1外切，而和圆O2内切时，该圆在圆O5的位置；综上所述，符合要求的半径为2的圆共有3个.故选C.点睛：保持圆O1、圆O2的位置不动，以直线O1O2上一个点为圆心作一个半径为2的圆，观察其从左至右平移过程中与圆O1、圆O2的位置关系，结合三个圆的半径大小即可得到本题所求答案.6、C【解析】试题解析：∵x=-2是关于x的一元二次方程的一个根，

∴（-2）2+a×（-2）-a2=0，即a2+3a-2=0，

整理，得（a+2）（a-1）=0，

解得a1=-2，a2=1．

即a的值是1或-2．

故选A．点睛：一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．7、D【解析】试题分析：x4x4=x8(同底数幂相乘，底数不变，指数相加）;（a+b)2=a2+b2+2ab（完全平方公式）;（表示16的算术平方根取正号）;(a6)考点：1、幂的运算；2、完全平方公式；3、算术平方根.8、D【解析】

先化简，然后再根据平方根的定义求解即可．【详解】∵=2，2的平方根是±，∴的平方根是±．故选D．【点睛】本题考查了平方根的定义以及算术平方根，先把正确化简是解题的关键，本题比较容易出错．9、A【解析】试题分析：利用轴对称图形的性质得出PM=MQ，PN=NR，进而利用PM=2．5cm，PN=3cm，MN=3cm，得出NQ=MN-MQ=3-2．5=2．5（cm），即可得出QR的长RN+NQ=3+2．5=3．5（cm）．故选A．考点：轴对称图形的性质10、D【解析】

求出AB的坐标，设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP中，|AP-BP|＜AB，延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA-PB=AB，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线AB于x轴的交点坐标即可．【详解】把，代入反比例函数，得：，，，在中，由三角形的三边关系定理得：，延长交轴于，当在点时，，即此时线段与线段之差达到最大，设直线的解析式是，把，的坐标代入得：，解得：，直线的解析式是，当时，，即，故选D.【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式的应用，解此题的关键是确定P点的位置，题目比较好，但有一定的难度．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、先将图2以点A为旋转中心逆时针旋转，再将旋转后的图形向左平移5个单位．【解析】

变换图形2，可先旋转，然后平移与图2拼成一个矩形．【详解】先将图2以点A为旋转中心逆时针旋转90°，再将旋转后的图形向左平移5个单位可以与图1拼成一个矩形．故答案为：先将图2以点A为旋转中心逆时针旋转90°，再将旋转后的图形向左平移5个单位．【点睛】本题考查了平移和旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．12、﹣.【解析】

原式利用零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．【详解】原式＝﹣1＝﹣.故答案是：﹣.【点睛】考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13、【解析】

过C作CD⊥x轴于点D，则可证得△AOB≌△CDA，可求得CD和OD的长，可求得C点坐标，利用待定系数法可求得直线BC的解析式．【详解】如图，过C作CD⊥x轴于点D．∵∠CAB=90°，∴∠DAC+∠BAO=∠BAO+∠ABO=90°，∴∠DAC=∠ABO．在△AOB和△CDA中，∵，∴△AOB≌△CDA（AAS）．∵A（﹣2，0），B（0，1），∴AD=BO=1，CD=AO=2，∴C（﹣3，2），设直线BC解析式为y=kx+b，∴，解得：，∴直线BC解析式为yx+1．故答案为yx+1．【点睛】本题考查了待定系数法及全等三角形的判定和性质，构造全等三角形求得C点坐标是解题的关键．14、【解析】

过点E作EF⊥BC交BC于点F，分别求得AD=3，BD=CD=4，EF=，DF=2，BF=6，再结合△BGD∽△BEF即可.【详解】过点E作EF⊥BC交BC于点F.∵AB=AC，AD为BC的中线∴AD⊥BC∴EF为△ADC的中位线.又∵cos∠C=，AB=AC=5，∴AD=3，BD=CD=4，EF=，DF=2∴BF=6∴在Rt△BEF中BE==，又∵△BGD∽△BEF∴，即BG=.GE=BE-BG=故答案为.【点睛】本题考查的知识点是三角形的相似，解题的关键是熟练的掌握三角形的相似.15、40.0【解析】

首先过点A作AE∥BD，交CD于点E，易证得四边形ABDE是矩形，即可得AE=BD=20m，DE=AB=0.8m，然后Rt△ACE中，由三角函数的定义，而求得CE的长，继而求得筒仓CD的高.【详解】过点A作AE∥BD，交CD于点E，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠BAE＝∠ABD＝∠BDE＝90°，∴四边形ABDE是矩形，∴AE＝BD＝20m，DE＝AB＝0.8m，在Rt△ACE中，∠CAE＝63°，∴CE＝AE•tan63°＝20×1.96≈39.2（m），∴CD＝CE＋DE＝39.2＋0.8＝40.0（m）．答：筒仓CD的高约40.0m，故答案为：40.0【点睛】此题考查解直角三角形的应用−仰角的定义，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．16、1【解析】解：原式==1－2+1=1．故答案为1．三、解答题（共8题，共72分）17、（1）200，90（2）图形见解析（3）750人【解析】试题分析：（1）用对于共享单车不了解的人数20除以对于共享单车不了解的人数所占得百分比即可得本次调查人数；用总人数乘以使用过共享单车人数所占的百分比即可得使用过共享单车的人数；（2）用使用过共享单车的总人数减去0～2,4～6,6～8的人数，即可得2～4的人数，再图上画出即可；（3）用3000乘以骑行路程在2～4千米的人数所占的百分比即可得每天的骑行路程在2～4千米的人数.试题解析：（1）20÷10%=200，200×（1-45%-10%）=90；（2）90-25-10-5=50，补全条形统计图（3）=750(人)答:每天的骑行路程在2～4千米的大约750人18、（1）y=﹣x2+2x+3；（2）DE+DF有最大值为；（3）①存在，P的坐标为（，）或（，）；②＜t＜．【解析】

（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），根据系数的关系，即可解答（2）先求出当x=0时，C的坐标，设直线AC的解析式为y=px+q，把A,C的坐标代入即可求出AC的解析式，过D作DG垂直抛物线对称轴于点G，设D（x，﹣x2+2x+3），得出DE+DF=﹣x2+2x+3+（x-1）=﹣x2+（2+）x+3-，即可解答（3）①过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P1，求出直线PC的解析式，再结合抛物线的解析式可求出P1，过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P2，再利用A的坐标求出P2，即可解答②观察函数图象与△ACQ为锐角三角形时的情况，即可解答【详解】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y=3x+3，如答图1，过D作DG垂直抛物线对称轴于点G，设D（x，﹣x2+2x+3），∵DF∥AC，∴∠DFG=∠ACO，易知抛物线对称轴为x=1，∴DG=x-1，DF=（x-1），∴DE+DF=﹣x2+2x+3+（x-1）=﹣x2+（2+）x+3-，∴当x=，DE+DF有最大值为；答图1答图2（3）①存在；如答图2，过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P1，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=x+m，把C（0，3）代入得m=3，∴直线P1C的解析式为y=x+3，解方程组，解得或，则此时P1点坐标为（，）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P2，直线AP2的解析式可设为y=x+n，把A（﹣1，0）代入得n=，∴直线PC的解析式为y=，解方程组，解得或，则此时P2点坐标为（，），综上所述，符合条件的点P的坐标为（，）或（，）；②＜t＜．【点睛】此题考查二次函数综合题，解题关键在于把已知点代入解析式求值和作辅助线.19、（1）；（2）见解析；（3）；（4）当时，随的增大而减小．【解析】

（1）根据表中，的对应值即可得到结论；（2）按照自变量由小到大，利用平滑的曲线连结各点即可；（3）在所画的函数图象上找出自变量为7所对应的函数值即可；（4）利用函数图象的图象求解．【详解】解：（1）当自变量是﹣2时，函数值是；故答案为：.（2）该函数的图象如图所示；（3）当时所对应的点如图所示，且；故答案为：；（4）函数的性质：当时，随的增大而减小．故答案为：当时，随的增大而减小．【点睛】本题考查了函数值，函数的定义：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应．20、解：（1）400；15%；35%．（2）1．（3）∵D等级的人数为：400×35%=140，∴补全条形统计图如图所示：（4）列树状图得：∵从树状图可以看出所有可能的结果有12种，数字之和为奇数的有8种，∴小明参加的概率为：P（数字之和为奇数）；小刚参加的概率为：P（数字之和为偶数）．∵P（数字之和为奇数）≠P（数字之和为偶数），∴游戏规则不公平．【解析】（1）根据“基本了解”的人数以及所占比例，可求得总人数：180÷45%=400人．在根据频数、百分比之间的关系，可得m，n的值：．（2）根据在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心的度数与360°的比可得出统计图中D部分扇形所对应的圆心角：360°×35%=1°．（3）根据D等级的人数为：400×35%=140，据此补全条形统计图．（4）用树状图或列表列举出所有可能，分别求出小明和小刚参加的概率，若概率相等，游戏规则公平；反之概率不相等，游戏规则不公平．21、方案二能获得更大的利润；理由见解析【解析】

方案一：由利润=（实际售价-进价）×销售量，列出函数关系式，再用配方法求最大利润；方案二：由利润=（售价-进价）×500p-广告费用，列出函数关系式，再用配方法求最大利润．【详解】解：设涨价x元，利润为y元，则方案一：涨价x元时，该商品每一件利润为：50+x−40，销售量为：500−10x，∴，∵当x=20时，y最大=9000，∴方案一的最大利润为9000元；方案二：该商品售价利润为=(50−40)×500p，广告费用为：1000m元，∴，∴方案二的最大利润为10125元；∴选择方案二能获得更大的利润.【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据题意，列出函数关系式，配方求出最大值.22、,当x＝0时，原式＝（或：当x＝－1时，原式＝）.【解析】

先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．【详解】解：原式=×=．x满足﹣1≤x≤1且为整数，若使分式有意义，x只能取0，﹣1．当x=0时，原式=﹣（或：当x=﹣1时，原式=）．【点睛】本题考查分式的化简求值，化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．23、（1）k＞-1；（2）2；（3）k＞-1时，的值与k无关．【解析】

（1）由题意得该方程的根的判别式大于零，列出不等式解答即可.（2）将要求的代数式通分相加转化为含有两根之和与两根之积的形式，再根据根与系数的关系代数求值即可.（3）结合（1）和（2）结论可见，k＞-1时，的值为定值2，与k无关．【详解】（1）∵方程有两个不等实根，∴△＞0，即4+4k＞0，∴k＞-1（2）由根