解析选修22024-2025学年新教材高考数学第九章平面解析几何5考点2椭圆的几何性质练习含_第1页
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PAGE2PAGE3考点2椭圆的几何性质（2024·北京卷（理））已知椭圆M：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），双曲线N：x2m2－y2n【解析】方法一双曲线N的渐近线方程为y＝±nmx，则nm＝tan60°＝3，∴双曲线N的离心率e1满意e12＝1＋n2由y=3x,x2a2如图，设D点的横坐标为x，由正六边形的性质得|ED|＝2x＝c，∴4x2＝c2.∴4a2b23a2+b2＝a2－b2，得3a4∴3－6b2a2－b2a∴椭圆M的离心率e2满意e22＝1－b2∴e2＝3－1.方法二双曲线N的渐近线方程为y＝±nmx则nm＝tan60°＝3又c1＝m2+n2＝2m，∴双曲线如图，连接EC，由题意知，F，C为椭圆M的两焦点，设正六边形的边长为1，则|FC|＝2c2＝2，即c2＝1.又E为椭圆M上一点，则|EF|＋|EC|＝2a，即1＋3＝2a，∴a＝1+3∴椭圆M的离心率为c2a＝21+【答案】3－12（2024·浙江卷）已知点P（0,1），椭圆x24＋y2＝m（m＞1）上两点A，B满意AP＝2PB，则当m＝________时，点B横坐标的【解析】方法一如图，设A（xA，yA），B（xB，yB），由于椭圆具有对称性，不妨设点B在第一象限，则xB＞0，yB＞0.∵P（0,1），AP＝2PB，∴（－xA,1－yA）＝2（xB，yB－1）．∴－xA＝2xB，即xA＝－2xB．设直线AB：y＝kx＋1（k＞0）．将y＝kx＋1代入x24＋y2＝得（1＋4k2）x2＋8kx＋4－4m＝0.（*）∴xA＋xB＝－xB＝－8k1+∴xB＝8k1+4k2＝8当且仅当1k＝4k，即k＝12时，x此时方程（*）化为x2＋2x＋2－2m＝0，xA·xB＝－2xB2＝－8，即2－2解得m＝5.当点B在其他象限时，同理可解．方法二设直线AB：y＝kx＋1（k≠0），A（xA，yA），B（xB，yB）．由P（0,1），AP＝2PB，得xA＝－2xB．由y=kx+1,x24+y2=m,得（1＋4k2）∴xA＋xB＝－xB＝-8k4k2+1，xAxB＝－2xB2＝4-4m4k2+1|xB|＝8k4k2当且仅当|k|＝12时，|xB|max＝2，此时m【答案】5（2024·全国Ⅱ卷（理））已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠FA．2B．1C．1D．1【解析】如图，作PB⊥x轴于点B．由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1，由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝3，|BF2|＝1，故

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