上海市2025届高三数学上学期一模试题含解析

2024届高三数学上学期一模试题一．填空1.不等式的解集为________【答案】【解析】【详解】因为所以，即不等式的解集为.2.抛物线的焦点坐标是______．【答案】【解析】【详解】抛物线的焦点在轴上，且，所以抛物线的焦点坐标为，故答案为.3.若复数满意，其中i是虚数单位，则的实部为________．【答案】2【解析】【详解】分析：先依据复数的除法运算进行化简，再依据复数实部概念求结果.详解：因为，则，则的实部为.点睛：本题重点考查复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为.4.在的绽开式中，常数项为_____．【答案】【解析】【分析】依据绽开式的通项公式求解即可.【详解】在的绽开式的通项公式为，所以令，解得，所以常数项为故答案为：．5.等差数列{an}前10项和为30，则________【答案】12【解析】【分析】利用等差数列的前n项和公式即可得到a1+a10=6．由等差数列的性质可得a1+a10=a4+a7，进而可得答案．【详解】∵等差数列{an}的前10项和为30，∴，解得a1+a10=6．由等差数列的性质可得a1+a10=a4+a7，∴a1+a4+a7+a10=2（a1+a10）=2×6=12．∴a1+a4+a7+a10=12．故答案为12．【点睛】娴熟驾驭等差数列的前n项和公式、等差数列的性质是解题的关键．6.设函数的图像经过点，则的反函数________【答案】，【解析】【分析】由题意，函数的图像经过点，求得，求得，进而得到函数的反函数．【详解】由题意，函数的图像经过点，即，解得，即，则，即，所以的反函数(x>1)【点睛】本题主要考查了反函数的计算以及函数解析式的求解，其中解答中正确函数的解析式，利用反函数的求解方法，精确求解是解答的关键，着重考查了推理与运算实力，属于属于基础题．7.假如无穷等比数列全部奇数项的和等于全部项和的3倍，则公比______．【答案】【解析】【分析】由题意可知，全部项和，奇数项的和，结合已知即可求解.【详解】解：由题意可知，全部项和，奇数项的和，，解可得，或(舍)故答案为.【点睛】本题主要考查了无穷等比数列的求和公式的简洁应用，属于基础试题．8.圆的圆心到直线的距离等于________．【答案】2【解析】【分析】先依据圆的一般方程确定圆的圆心，然后依据点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离.【详解】因为圆的方程为即，所以圆心为，则圆心到直线的距离.故答案为.【点睛】本题考查依据圆的一般方程确定圆心以及点到直线的距离公式的运用，难度较易.由圆的一般方程确定圆心可考虑先将圆的一般方程化为标准方程然后干脆得到圆心坐标9.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且，则______．【答案】0【解析】【分析】由三角形面积公式和余弦定理可将化为，进而可求出结果.【详解】因为，余弦定理，又，所以有，即，所以，因此或，所以或，因为C三角形内角，所以，故.故答案为0【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理和三角形面积公式即可求出结果，属于常考题型.10.在的二面角内放置一个半径为6的小球，它与二面角的两个半平面相切于、两点，则这两个点在球面上的距离是________【答案】【解析】【分析】设球心为O，由二面角的面与球相切的性质可得∠AOB＝60°，又半径为6，由弧长公式可求两切点在球面上的距离．【详解】设球心为O，由球的性质知，OA，OB分别垂直于二面角的两个面，又二面角的平面角为120°，故∠AOB＝60°，∵半径为6的球切两半平面于A，B两点∴两切点在球面上的距离是6×＝2π．故答案为2π．【点睛】本题考查球面距离及相关计算，解题的关键是依据二面角与球的位置关系得出过两切点的两个半径的夹角以及球面上两点距离的公式，考查空间想像实力，是中档题．11.已知点，设B、C是圆O：上的两个不同的动点，且向量(其中t为实数)，则______．【答案】3【解析】【分析】由向量(其中t为实数)，可得：A，B，C三点共线，且，同向，设圆O与x轴正半轴交于点E，与x轴正半轴交于点F，由割线定理可得,由即可得解.【详解】由向量(其中t为实数)，可得：A，B，C三点共线，且，同向，设圆O与x轴负半轴交于点E，与x轴正半轴交于点F，由圆的割线定理可得，，，故答案为3【点睛】本题考查了向量中三点共线的推断，及圆的割线定理，属于中档题.12.已知平面对量，，，满意，，，.若，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】用坐标表示向量，设，，，由，知在以为圆心，1为半径的圆上，设，，则在线段上（含端点），问题转化为求线段上的点到圆上的点的距离的范围，由圆心到直线的距离公式和两点间距离结合圆的性质可得．【详解】因为，，所以设，，，又，则在以为圆心，1为半径的圆上，设，，则在线段上（含端点），易知到直线的距离为，线段上的点到的距离的最大值为，所以的最小值为，最大值为，所以的取值范围是．故答案为：．二.选择题13.下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】推断函数的单调性和奇偶性：为增函数；和为偶函数；解除选项得到答案.【详解】A.，函数在单调递增，解除；B.，函数为偶函数，解除；C.，函数为奇函数，且单调递减，正确；D.，函数为偶函数，解除.故选【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，意在考查学生对于函数性质的驾驭状况.14.电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（）.A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意，利用插空法，可得答案.【详解】先排4个商业广告，则，即存5个空，再排2个公益广告，则，故总排法：，故选：A.15.已知向量满意，且，则、、中最小的值是（）A. B. C. D.不能确定的【答案】B【解析】【分析】可在的两边分别乘，，可得出，，，再依据，即可推断.【详解】解：∵，∴，，.∴，，.∵，∴，.∴，∴．故选：B．16.函数，若存在，，，，使得，则n的最大值是（）A.11 B.13 C.14 D.18【答案】C【解析】【分析】由已知得，又，，，，可求的最大值．【详解】解：，，，当，时，，，又，．故选C．【点睛】本题考查参数的最值，配方是关键，考查推理实力和计算实力，属中档题三.解答题17.如图，三棱柱中，底面，，是的中点.（1）求证：平面；（2）若，，三棱柱的体积是，求异面直线与所成角的大小.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由题意，因为底面ABC，所以，又，D是BC的中点，，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面；（2）建立空间直角坐标系，求解向量，利用向量所成角的公式，即可求解．【详解】（1）因为底面ABC，所以又，D是BC的中点，与交于所以平面（2）依据求得的面积等于4三棱柱的体积是如图所示，建立空间直角坐标系，异面直线和所成的角为所成的角为.【点睛】本题考查了立体几何中的直线与平面垂直的判定和异面直线所成的角的求解问题，意在考查学生的空间想象实力和逻辑推理实力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.18.已知向量，.（1）若∥，求的值；（2）若，求函数的最小正周期及当时的最大值.【答案】（1）（2）最小正周期为，最大值为【解析】【分析】（1）由得，再依据二倍角的正切公式干脆求解.（2）依据平面对量的数量积以及三角函数的恒等变换，化简f（x）即可求出T，再依据三角函数的图象与性质，求出x∈[0，]时f（x）的最大值以及对应x的值．【详解】解：（1）由得,，∴∴（2）∴函数的最小正周期为当时，∴当，即时，.【点睛】本题考查了共线向量的坐标运算，平面对量的数量积和三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．19.已知函数，其中．解关于x的不等式；求a的取值范围，使在区间上是单调减函数．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】由题意可得，对a探讨，可得所求解集；求得，由反比例函数的单调性，可得，解不等式即可得到所求范围．【详解】的不等式，即为，即为，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为，；，由在区间上是单调减函数，可得，解得．即a的范围是．【点睛】本题考查分式不等式的解法，留意运用分类探讨思想方法，考查函数的单调性的推断和运用，考查运算实力，属于基础题．20.已知椭圆：．（1）若抛物线的焦点与的焦点重合，求的标准方程；（2）若的上顶点、右焦点及轴上一点构成直角三角形，求点的坐标；（3）若为的中心，为上一点(非的顶点)，过的左顶点，作，交轴于点，交于点，求证：．【答案】（1）抛物线的标准方程为和．（2）或．（3）见解析【解析】【分析】（1）依据椭圆的方程和抛物线的性质即可求出；（2）按哪个角为直角进行分类，结合数量积为0，计算得到M的坐标.（3）由B（﹣3，0），BQ∥OP，设直线BQ的方程为x＝my﹣3，直线OP的方程为x＝my，分别于椭圆的方程联立，求出点Q，N，P的坐标，再依据向量的运算即可证明.【详解】(1)椭圆的焦点坐标为和，抛物线的标准方程为和．(2)设点的坐标为，的上顶点的坐标为，右焦点的坐标为．当为直角顶点时，点的坐标为；当为直角顶点时，，，由，解得，点的坐标为．因此，点的坐标为或．(3)设直线的方程为()，直线的方程为．于是点，的坐标，为方程组的实数解，解得点的坐标为．点，的坐标，为方程组的实数解，解得点的坐标为．又点坐标为．于是，，，，，即，得证．【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，抛物线方程的求法，向量的运算，考查计算实力，属于中档题．21.已知数列的前项和为，且，.（1）若数列是等差数列，且，求实数的值；（2）若数列满意，且，求证：数列是等差数列；（3）设数列是等比数列，摸索究当正实数满意什么条件时，数列具有如下性质：对于随意的，都存在使得，写出你的探求过程，并求出满意条件的正实数的集合.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）首先依据，，求出，再计算即可.（2）首先由得到，由且，得到数列的通项公式，即可证明数列是等差数列.（3）有题意得：，然后对分类探讨，可知当，，时，数列不具有性质.当时，对随意，，都有，即当时，数列具有性质.【详解】（1）设等差数列的公差为，由，，得，解得，则，所以.（2）因为，所以，解得，因，，，当为奇数时，.当偶数时，.所以对随意，都有.当时