高中数学干货-圆锥曲线的性质

数学

桶圆与双曲线的对偶性质一（必背的经典结论）

椭圆必背的经典结论

1.点P处的切线PT平分△PFF2在点P处的外角.

4.以焦点半径PF,为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

2.PT平分△PFF?在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的

轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.5.若AO。,％）在椭圆,+5=1上，则过片的椭圆的切线方程是

3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

0-)

若《(%,%)在椭圆外，则过。作椭圆的两条切线切点椭圆，*

6.5+4=1P(a>b>0)的焦半径公式:

ab~

\MF\=a+ex,\MF\=a-ex(耳(—c,0),f；(c,O)M(x,y)).

为p、P2,则切点弦PF，的直线方程是学+晔=1.}02000

a~b-

x"V"

7.椭圆r+=7=l(o>b>0)的左右焦点分别为F1,Fz,点P为椭圆上9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴的一个

crb2

顶点，连结和分别交相应于焦点的椭圆准线于、两点,

任意一点3PF2=e,则椭圆的焦点三角形的面积为APAQFMN

则MF±NF.

SbF\PF?tari',

10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A|、A2为椭圆长轴上

的顶点，AF和A?Q交于点M,A2P和AQ交于点N,则MFJ_NF.

22

若用（%,%）在椭圆「+'=1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是

是椭圆与+与的不平行于对称轴的弦，乂（%,打）为的中ab~

11.AB=1AB

b

?2

2

Ab^x厂V=%)'

点，则上0M，3B=一一»即KAB=-一产・

2a2b2a2b2

aaya

12.若用（%,为）在椭圆［+4=1内，则被Po所平分的中点弦的方程是

a~b

2214.椭圆的光学特性.

♦无।=%।%

/b2~a2b2,

双曲线两点，则MFLNF.

2.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A|、A?为双曲线

1.点P处的切线PT平分△PFF2在点P处的内角.

2.PT平分△PFF2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的实轴上的顶点，AF和A?Q交于点M,A2P和AQ交于点N,则MF，NF.

22

轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.AB是双曲线二一与=1（a>0,b>0）的不平行于对称轴的弦，

1

3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.优b

M（%,y。）为AB的中点，则即=空。

4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在

a』a~y

右支；外切：P在左支）0

x2v2

224.若用（x。,先）在双曲线一-—七~=1（a>0,b>0）内，则被Po所平分

5.若凡（尤0,%）在双曲线二一々=1（a>0,b>0）上，则过《的双曲线a"b"

a~b'22

的中点弦的方程是华一邛=与-咚.

的切线方程是与-卑=1.

a2b2a2b2

a2b2

->9•X?丫？

x~v~5.若弓(入0,y0)在双曲线---=1(a>0,b>0)内，则过Po的弦中

6.若《（无0，%）在双曲线——\=1（a>0,b>0）外，则过Po作双曲q-b~

a~b~22

点的轨迹方程是［一二=警-邛.

线的两条切线切点为Pl、P2,则切点弦P|P2的直线方程是警-邛=L

2222

a-babab

22

7.双曲线=一3=1（a>0,b>o）的左右焦点分别为F|,F2，点P为椭圆与双曲线的对偶性质一（会推导的经典结论）

cTb“

双曲线上任意一点HPF2=y,则双曲线的焦点角形的面积为椭圆

SAF1P尸2=8椭圆会推导的经典结论

22

c2椭吟+方

1.1(a>b>o)

8.双曲线七一二=1金>0,1）>0）的焦半径公式：（6（-（\0）,居（c,0）

a~b"的两个顶点为

当在右支上时，|加用=气+。,|

M（Xo，%）M6|=ex0-a.4（—0）,4（a,0）,与y轴

当加（玉）,％）在左支上时，|=-eXo+a,|MQ|=-ex-a

0平行的直线交椭圆于Pi，P2

1.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴时AR与A2P2交点的轨迹方

22

程是二•—2=1.

上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、Nab~

22

设椭圆一y+27=1

2.过椭圆「+\=1(a>0,b>0)上任一点4%,%)任意作两条4.(a>b>0)的两个焦点为F|、F,P(异于长轴

CTb~2

a：b“

倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且

端点)为椭圆上任意一点，在△PFF2中，记N£PK=a,

sina

4PRF[=/F、F2P=丫,则有

sin/?+siny

、是焦点，ZMFF=a,/MFE=/3,则

BF2.25.若椭圆二+二=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左

a-b-

准线为L,则当O<eW0—1时，可在椭圆上求一点P,使得PF】

是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

]

22

6.P为椭圆=+乌=1(a>b>0)上任一点,pH为二焦点，A为

a'b~

椭圆内一定点,则2a-1AF21<|PA\+\PFt|<2a+14耳|,当且仅

当A,乙，尸三点共线时，等号成立.

22

9.过椭圆二+==1(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆于M,N

a~b~

IPPIe

两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P,则^―-=

\MN\2

7.椭圆('一一纯一=1与直线Ax+By+C=0有公共点

a~b"

的充要条件是A2a2+B2b2>(Ax0+By.+C)2.

22

8.已知椭圆=+4=1(a>b>0),O为坐标原点，P、Q为椭圆

a-b-

上两动点，且QP_LOQ.

,A、B、是椭圆上的两点，线

1111,…e-4a2b2

(1)右乔+—Tp=F+尸；(2)|OP|2+|OQ|-的最大值为r；

\OP\-\OQ|-a-b~a-+t>-段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(%,0),则

2i22222

(3)SA8。的最小值是一"a-ba-b

</<

a2+b2'aa

22

o,2。2ab

tanatan£=l-e.(3)SSPAB=———-coty.

b~-a"

13.已知椭圆之+与=1(a>b>0)的右准线/与x轴相交于点E,

点,B、F2为其焦点记/£尸工=夕，则ab~

过椭圆右焦点厂的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线/

上，且3C//X轴，则直线AC经过线段EF的中点.

x~V-

12.设A、B是椭圆r+J=l(a>b>0)的长轴两端点，P是椭

a~b~

圆上的一点，NPAB=a,NPBA=O，NBPA=y,c、e分别是

椭圆的半焦距离心率，则有(1)।PA\=2歹.⑵

a~-bcos-y

14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交,比为常数e（离心率）.

则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.（注:在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为

内、外点.）

2椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.

3椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

椭圆与双曲线的对偶性质一（会推导的经典结）

15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与

双曲线

焦点的连线必与焦半径互相垂直.

1.双曲线*•一为=1（a>0,b>0）的两个顶点为A（—。,0），4（兄0），

与y轴平行的直线交双曲线于P.P,时A.P,与A2P2交点的轨迹方程是

2.过双曲线占—与=1（a>0,b>o）上任一点4%，%）任意作两条倾

a"

斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且人总=-"

a%

（常数）.

22

3.若P为双曲线二一与=1（a>0,b>0）右（或左）支上除顶点外的任

6rb~

1.椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之

一点,Fi,F2是焦点，/PF[F,=a,4PF、F\=B,则^--=tan—rat—

8.已知双曲线--—=1(b>a>0),0为坐标原点，P、Q为双曲线

C+Q22ab~

/fC-o+pa上两动点，且OP_L。。.

(或----=tan—c<?t—).

c+a22(1)」~y+―二=-4一二；(2)|0P『+|0Q|2的最小值为4"(3)

I。。/a2b2b2-a2

4.设双曲线二一与二1(a>0,b>0)的两个焦点为F|、F,P(异于长轴

22»2

arSA。。的最小值是检*•

端点)为双曲线上任意一点，在△PFF2中，记N"尸鸟二a,X2y2

1.过双曲线二一鼻=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线交该双曲线的右

a'b'

cinrvc

“3=氏/"述=丫,则有寸———=-=e.支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P,则1"」=刍.

±(sin/-sinp)a\MN\2

222.己知双曲线♦一与=1(a>0.b>0),A、B是双曲线上的两点，线段

5.若双曲线「一与=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F|、F2,左准ab-

a：lr212

AB的垂直平分线与x轴相交于点P(%,0),则与2生？-或

a

线为L,则当lVeW&+l时，可在双曲线上求一点P,使得PF|是P到

对应准线距离d与PF2的比例中项.

3.设P点是双曲线「—A=l(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,B、

X2y2

6.P为双曲线^一彳=1(a>0,b>0)上任一点,F1F2为二焦点，A为crb~

ab-2b2

F为其焦点记N6P居=，,则(1)|尸耳||尸"|=-------.(2)

21-cosC

双曲线内一定点，则|AF21-2aW|PA|+1尸耳|,当且仅当A,F2,P三点共线

SA叼，%0喙

且P和A,鸟在y轴同侧时，等号成立.

x2

4.设A、B是双曲线一一瓦(a>0,b>0)的长轴两端点，P是双曲

X'2V2-

7.双曲线r-==l(a>0,b>0)与直线Ax+8y+C=0有公共点的

线上的一点，NPAB=a,NP8A=£,ZBPA=y,c、e分别是双曲线的

a-b-

充要条件是42a2-32^24。2.

半焦距离心率，则有(1)|PA|=2叫"s'

\a-ccoy\

lerb2

2

(2)tanatan/?=l-e.(3)S即栖-cot/.

22有关抛物线焦点弦问题的探讨

已知双曲线二一二=1（a>0,b>0）的右准线/与x轴相交于点E,

crb~

过抛物线V=2p尤（p>0）的焦点F作一条直线L和此抛物线相交于

过双曲线右焦点/的直线与双曲线相交于A、B两点，点C在右准线/上,

A（X|，X）、B（X2，>2）两点

且轴，则直线AC经过线段EF的中点.

2.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交,

则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

3.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与

焦点的连线必与焦半径互相垂直.

4.双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径

之比为常数e（离心率）.

（注:在双曲线焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为

内、外点）.

1.双曲线焦三角形中，其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成

结论1：\AB\-+x2+p

定比e.

|AB|=+|BF|=a+§+氏+?=%+/+p

2.双曲线焦三角形中，半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

结论2：若直线L的倾斜角为6,则弦长|AB|=/告

S3=SA。"+S4(M,=；|0F|•忸用sin。+g\OF\-\AF\.sin3

证：(1)若6=4时，直线L的斜率不存在，此时AB为抛物线的通=i|OF|-(|AF|+|BF|)sin0=-|0F|­\AB\•sin6»=---sin6»=上—

22222sin“。2sin0

.SKOAB_P

径,|=2p.,.结论得证**\AB\~~8

(2)若e*三时,设直线L的方程为：y=(x—K)tan。即x=y•cote+K

结论5：(1)yy^-p2

22212(2)XIX2=£-

代入抛物线方程得)，2-2p”cote-p2=0由韦达定理

证..x-21_*一江•xx_(必)'2厂--

i£X,-，2，2

=一/，必+为=2pcote,2p~2p-'~4P2~4

由弦长公式得|AB|=Jl+cot2MM一%|=2p(l+cot2e)=二亭结论6：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切

证：设M为AB的中点，过A点作准线的垂线AA1,过B点作准线

过M点作准线的垂线MM1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知

,.IAAI+IBB,I|AF|+|BF|\AB\

结论3：过焦点的弦中通径长最小\MM.\=~*=J_T故结论得证

vsin2^<l.-.-^->2pJ.|AB|的最小值为2p,即过焦点的弦长中

sin-(9结论7：连接AiF、B1F则A1F_LB1F

通径长最短.•：AAt=AF,:.Z44F=ZAF/\-：AAtHOF:.的F=Z4,FO.\Z4IFO=Z4,FA

同理/用/。=/当尸8，/4/用=90°/.AiFlB)F

需=£(为定值)

结论4

结论8：(1)AMi_LBMi(2)M^lAB(3)|M|尸|•忸日

(4)设AM|与AjF相交于H,M|B与FB相交于Q则M”Q,

)正因为匕,…£=/==当=一半’而必力=一百

F,H四点共圆

22

(5)|AM,|+|M,B|2p2

证：由结论(6)知Mi在以AB为直径的圆上J.AMilBMi

所以=一生=此出所以三点共线。同理可得(2)(3)(4)

•••A4/耳为直角三角形，Mi是斜边AiBi的中点~P'P

%

4M=MXF：.ZMlFAi=ZMXA{FvZAAtF=ZAFAl

结论10：=—

•.•NA41F+N必1%=NA41M=90。1M\FB\p

证：过A点作AR垂直X轴于点R,过B点作BS垂直X轴于点S,设准

/.ZAFA,=90°

线与x轴交点为E,因为直线L的倾斜角为6

M,F±AB

则

=\AF\-\BF\

p

|明=|EF|+|Fl?|=P+|AF|cos^=\AF\：.\AF\=

1-cos0

AMJBM1.•.NAMB=9O<^；AF，B|F

1_l-cos。

AZA,FB,=90°而-—p~

所以Mi，Q,F,H四点共圆，+|叫理2=|阴21+cos。112

同理可得I

|即p\FB\~p

=jAF|+|BF|)2=(|/Uj+忸闵丫=(2IMM,|)2=4|MM]|2

结论11：

心5十八-IAFIIAEI

结论9：(1)A、O、Bi三点共线(2)B,O,Ai三点共线(1)线段平分角NPEQ~~(3)KAE+KBE=0

lBFllBEl

(3)设直线AO与抛物线的准线的交点为BP则BB1平行于X轴

(4)设直线BO与抛物线的准线的交点为A,,则AAI平行于X(4)当e=X(^AE，BE,当。。工时AE不垂直于BE

轴22

,:.•.粤=粤•.•怛月=内耳归4=/4•.粤=粤

•/ZAAtE=ZBB}E=90°/.相似于AB^EBZAIEA=ZB,EB

-2=0不可能/.假设错误/.结论得证

ZAEF+ZA1EA=ZBEF4-ZB1EB=90°

深化1：性质5中，把弦AB过焦点改为AB过对称轴上一点E(a,0),

NAEF=NBEF即EF平分角NPEQ

则有力丫2=-2pa.

.•.坤=四：直线AE和直线BE关于X轴对称/.KAE+KBE=0

即|BE|证：设AB方程为my=x-a,代入y?=2px.得：y?-2pmy-2ap=0,

yj2=-2pa.

（4）当。=工时，AF=EF=FB/.ZAEB=90°

2深化2：焦点弦AB不垂直于x轴，AB的中垂线交x

'1^2^回|=1

_轴于点R,贝IJABI2

当e，1时，设直线L的方程为丫=1<|x-5将其代入方程y?=2px

]22证明：设AB的倾斜角为a,直线AB的方程为：

得1&2中优+2)x+幺匕=0

2y=tga(x-§)

4上