2025-高考科学复习创新方案-数学-提升版2含答案

2025-高考科学复习创新方案-数学-提升版第3讲函数的奇偶性与周期性[课程标准]1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.2.了解周期性的概念和几何意义．1．函数的奇偶性奇函数偶函数定义设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有eq\x(\s\up1(01))－x∈I且eq\x(\s\up1(02))f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数且eq\x(\s\up1(03))f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数图象特点关于eq\x(\s\up1(04))原点对称关于eq\x(\s\up1(05))y轴对称2.函数的周期性(1)周期函数设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有eq\x(\s\up1(06))x＋T∈D，且eq\x(\s\up1(07))f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，同时nT(n∈Z，n≠0)也是这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个eq\x(\s\up1(08))最小的正数，那么这个eq\x(\s\up1(09))最小正数就叫做f(x)的最小正周期．1．函数奇偶性的重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量的值互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量的值也互为相反数．2．周期性的三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a≠0)．(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)，则T＝2a(a≠0)．(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，则T＝2a(a≠0)．3．对称性的三个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．1．(2023·北京丰台区三模)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是()A．y＝lnx B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1 D．y＝3－|x|答案B解析对于A，y＝lnx为非奇非偶函数，不满足题意；对于B，y＝|x|＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；对于C，y＝－x2＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意；对于D，y＝3－|x|是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意．故选B.2．(人教B必修第一册习题3－1BT8改编)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A．－eq\f(1,3) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)答案B解析显然b＝0，a－1＋2a＝0，∴a＝eq\f(1,3)，∴a＋b＝eq\f(1,3).3.(人教A必修第一册3.2.2练习T1改编)设偶函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________．答案[－5，－2)∪(2，5]解析由图象可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0.又f(x)是偶函数，∴当－2＜x＜0时，f(x)＞0；当－5≤x＜－2时，f(x)＜0.综上，不等式f(x)＜0的解集为[－5，－2)∪(2，5]．4．(人教A必修第一册习题3.2T11改编)已知函数f(x)是奇函数且定义域为R，当x>0时，f(x)＝x＋1，则f(x)的解析式为________．答案f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x>0，,0，x＝0，,x－1，x<0))解析当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－x＋1，又f(x)＝－f(－x)，∴f(x)＝x－1，∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x>0，,0，x＝0，,x－1，x<0.))5．(2024·大庆实验中学月考)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋4)＝f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2，则f(2023)＝________．答案－1解析因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝4.又f(1)＝1，所以f(2023)＝f(－1＋4×506)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.考向一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝eq\r(x2－1)＋eq\r(1－x2)；(2)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋1，x＞0，,x2＋2x－1，x＜0；))(3)f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1，4]；(4)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；(5)f(x)＝eq\f(\r(1－x2),|x＋2|－2).解(1)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称．又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)解法一(定义法)：当x＞0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．所以f(x)为奇函数．解法二(图象法)：作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数．(3)因为f(x)的定义域为[－1，4]不关于原点对称，所以函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(4)f(x)的定义域为R，且f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．(5)由1－x2≥0得－1≤x≤1，所以x＋2>0，所以f(x)＝eq\f(\r(1－x2),x)，定义域为[－1，0)∪(0，1]．所以f(－x)＝eq\f(\r(1－（－x）2),－x)＝－eq\f(\r(1－x2),x)＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．判断函数奇偶性的方法(1)定义法(2)图象法(3)性质法在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．1.函数f(x)＝|x3＋1|＋|x3－1|，则下列坐标表示的点一定在函数f(x)的图象上的是()A．(a，－f(a)) B．(a，f(－a))C．(－a，－f(a)) D．(－a，－f(－a))答案B解析∵f(－x)＝|－x3＋1|＋|－x3－1|＝|x3－1|＋|x3＋1|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，∵(a，f(a))一定在函数f(x)的图象上，而f(a)＝f(－a)，∴(a，f(－a))一定在函数f(x)的图象上．故选B.2．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，则下列函数中为奇函数的是()A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1答案B解析解法一：因为f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)＝－1＋eq\f(2,x＋1)，其图象关于点(－1，－1)中心对称，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后关于原点(0，0)中心对称，所以f(x－1)＋1为奇函数．故选B.解法二：因为f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，所以f(x－1)＝eq\f(1－（x－1）,1＋（x－1）)＝eq\f(2－x,x)，f(x＋1)＝eq\f(1－（x＋1）,1＋（x＋1）)＝eq\f(－x,x＋2).对于A，F(x)＝f(x－1)－1＝eq\f(2－x,x)－1＝eq\f(2－2x,x)，定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)，故F(x)不是奇函数；对于B，G(x)＝f(x－1)＋1＝eq\f(2－x,x)＋1＝eq\f(2,x)，定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)，故G(x)为奇函数；对于C，f(x＋1)－1＝eq\f(－x,x＋2)－1＝－eq\f(2x＋2,x＋2)，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，f(x＋1)＋1＝eq\f(－x,x＋2)＋1＝eq\f(2,x＋2)，定义域不关于原点对称，不是奇函数．故选B.考向二函数奇偶性的应用例2(1)(2024·南昌二中月考)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－log2x，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝()A．－eq\f(1,4) B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(5,4)答案D解析因为函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－log2x，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－log2\f(1,2)))＝－eq\f(5,4).故选D.(2)(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·lneq\f(2x－1,2x＋1)为偶函数，则a＝()A．－1 B．0C．eq\f(1,2) D．1答案B解析解法一：因为f(x)为偶函数，则f(1)＝f(－1)，即(1＋a)lneq\f(1,3)＝(－1＋a)ln3，解得a＝0.当a＝0时，f(x)＝xlneq\f(2x－1,2x＋1)，由(2x－1)·(2x＋1)>0，解得x>eq\f(1,2)或x<－eq\f(1,2)，则其定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,2)或x<－\f(1,2)))))，关于原点对称．f(－x)＝(－x)lneq\f(2（－x）－1,2（－x）＋1)＝(－x)lneq\f(2x＋1,2x－1)＝(－x)lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x－1,2x＋1)))eq\s\up12(－1)＝xlneq\f(2x－1,2x＋1)＝f(x)，故此时f(x)为偶函数．故选B.解法二：设g(x)＝lneq\f(2x－1,2x＋1)，易知g(x)的定义域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))，且g(－x)＝lneq\f(－2x－1,－2x＋1)＝lneq\f(2x＋1,2x－1)＝－lneq\f(2x－1,2x＋1)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．若f(x)＝(x＋a)lneq\f(2x－1,2x＋1)为偶函数，则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0.故选B.(3)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x－2x＋a，则a＝________；当x<0时，f(x)＝________．答案－1－2－x－2x＋1解析因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即1＋a＝0，所以a＝－1.当x≥0时，f(x)＝2x－2x－1，设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝2－x－2(－x)－1＝2－x＋2x－1，又f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－2－x－2x＋1.已知函数奇偶性可以解决的四个问题求函数值利用函数奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解求解析式将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用函数奇偶性求出求参数利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程(组)求得参数画图象利用奇偶性可画出对称区间上的图象并解决单调性等相关问题1.(2023·茂名模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－\f(a,ex)))cos3x是偶函数，则a＝________．答案－1解析因为f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－\f(a,ex)))cos3x是偶函数，所以f(－x)＝f(x)恒成立，所以(e－x－aex)cos3x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－\f(a,ex)))cos3x，整理得(a＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－\f(1,ex)))＝0恒成立，所以a＝－1.2．(2024·襄阳五中阶段考试)已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f(x)＋g(x)＝2×3x，则函数f(x)＝________．答案3x＋3－x解析因为f(x)＋g(x)＝2×3x，所以f(－x)＋g(－x)＝2×3－x，又f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝2×3－x，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）＋g（x）＝2×3x，,f（x）－g（x）＝2×3－x，))两式相加，得2f(x)＝2×3x＋2×3－x，所以f(x)＝3x＋3－x.3．设函数f(x)＝eq\f(（x＋1）2＋sinx,x2＋1)的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．答案2解析显然函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝eq\f(（x＋1）2＋sinx,x2＋1)＝1＋eq\f(2x＋sinx,x2＋1)，设g(x)＝eq\f(2x＋sinx,x2＋1)，则g(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.考向三函数的周期性例3(1)(2023·武汉二模)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)－2，则下列是周期函数的是()A．y＝f(x)－x B．y＝f(x)＋xC．y＝f(x)－2x D．y＝f(x)＋2x答案D解析依题意，定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)－2，所以f(x＋1)＋2(x＋1)＝f(x)＋2x，所以y＝f(x)＋2x是周期为1的周期函数．故选D.(2)(2022·新高考Ⅱ卷改编)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)·f(y)，f(1)＝1.①证明：函数f(x)为偶函数；②证明：函数f(x)为周期函数；③求eq\o(∑,\s\up7(22),\s\do7(k=1))f（k）.解①证明：因为f（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）f（y），令x＝1，y＝0，可得2f（1）＝f（1）f（0），所以f（0）＝2，令x＝0，可得f（y）＋f（－y）＝2f（y），即f（y）＝f（－y），所以函数f（x）为偶函数.②证明：令y＝1，得f（x＋1）＋f（x－1）＝f（x）f（1）＝f（x），即有f（x＋2）＋f（x）＝f（x＋1），从而可得f（x＋2）＝－f（x－1），f（x－1）＝－f（x－4），故f（x＋2）＝f（x－4），即f（x）＝f（x＋6），所以函数f（x）是周期为6的周期函数.③令x＝y＝1，可得f（2）＝[f（1）]2－f（0）＝1－2＝－1，令x＝2，y＝1，可得f（3）＝f（2）f（1）－f（1）＝－1×1－1＝－2，f（4）＝f（－2）＝f（2）＝－1，f（5）＝f（－1）＝f（1）＝1，f（6）＝f（0）＝2，所以一个周期内的f（1）＋f（2）＋…＋f（6）＝0.由于22除以6余4，所以eq\o(∑,\s\up7(22),\s\do7(k=1))f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3.函数周期性的判断与应用1.已知定义在R上的函数f(x)满足对任意x都有f(x＋2)＝eq\f(13,f（x）)且f(2)＝2，则f(2024)＝________．答案eq\f(13,2)解析因为f(x＋2)＝eq\f(13,f（x）)，所以f(2)＝eq\f(13,f（0）)，又f(2)＝2，所以f(0)＝eq\f(13,2)，因为f(x＋4)＝eq\f(13,f（x＋2）)＝eq\f(13,\f(13,f（x）))＝f(x)，所以f(x)的周期为4，所以f(2024)＝f(4×506＋0)＝f(0)＝eq\f(13,2).2．(2024·成都模拟)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________．答案7解析因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，所以f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个．考向四函数图象的对称性例4(1)(2024·河南部分学校联考)已知函数f(x)＝eq\f(x2,x2－6x＋18)，则()A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数C．f(x)的图象关于直线x＝3对称 D．f(x)的图象关于点(3，1)对称答案D解析由f(－x)＝eq\f(x2,x2＋6x＋18)，易知A，B不正确；由题意得f(2)＝eq\f(2,5)，f(4)＝eq\f(8,5)，故f(2)≠f(4)，故C不正确；f(x)＝eq\f(x2,（x－3）2＋9)，故f(6－x)＋f(x)＝eq\f(（6－x）2,（3－x）2＋9)＋eq\f(x2,（x－3）2＋9)＝eq\f(2x2－12x＋36,（x－3）2＋9)＝2，故f(x)的图象关于点(3，1)对称，故D正确．故选D.(2)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是()A．f(x)的图象关于直线x＝2对称B．f(x)的图象关于点(2，0)对称C．4为f(x)的周期D．y＝f(x＋4)为偶函数答案ACD解析∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误；∵函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴4为f(x)的周期，故C正确；∵4为f(x)的周期且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确．故选ACD.1．由函数奇偶性延伸可得到一些对称性结论，如函数f(x＋a)为偶函数(奇函数)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(关于点(a，0)对称)．2．函数图象自身对称的两个结论(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝eq\f(a＋b,2)对称．特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，即f(x)＋f(2a－x)＝2b，则f(x)的图象关于点(a，b)对称．提醒：函数图象自身对称性满足的等式与函数周期性容易混淆，区别是前者和为常数，后者差为常数．(2023·海口模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，函数g(x)＝|x－2|·f(x)的图象关于直线x＝2对称，若f(－1)＝－1，则g(3)＝()A．5 B．1C．－1 D．－5答案B解析因为g(x)的图象关于直线x＝2对称，则g(x＋2)＝|x|f(x＋2)是偶函数，g(2－x)＝|－x|f(2－x)＝|x|f(2－x)，所以|x|f(2－x)＝|x|f(x＋2)对任意的x∈R恒成立，所以f(2－x)＝f(2＋x)，因为f(－1)＝－1且f(x)为奇函数，所以f(3)＝f(2＋1)＝f(2－1)＝－f(－1)＝1，因此g(3)＝|3－2|f(3)＝1.故选B.课时作业一、单项选择题1．(2024·丹东模拟)下列函数中为偶函数的是()A．y＝lgx B．y＝eq\r(3,x)C．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(x) D．y＝eq\f(x2,x＋1)答案C解析函数y＝lgx的定义域为(0，＋∞)，定义域关于原点不对称，函数为非奇非偶函数，故A不符合题意；函数y＝eq\r(3,x)的定义域为R，则f(－x)＝eq\r(3,－x)＝－eq\r(3,x)＝－f(x)，故该函数为奇函数，故B不符合题意；函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(x)的定义域为R，则f(－x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(－x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(－x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(x)＝f(x)，故该函数为偶函数，故C符合题意；函数y＝eq\f(x2,x＋1)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，故该函数为非奇非偶函数，故D不符合题意．故选C.2．(2023·成都二模)若函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝eq\f(x,4－2x)，则f(23)＝()A．－1 B．－eq\f(1,2)C．0 D.eq\f(1,2)答案B解析依题意，因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)，所以f(x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(23)＝f(4×5＋3)＝f(3)．又因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(3)＝－f(1)，当x∈[0，1]时，f(x)＝eq\f(x,4－2x)，所以f(1)＝eq\f(1,4－2×1)＝eq\f(1,2)，所以f(3)＝－f(1)＝－eq\f(1,2).故选B.3．(2023·上饶一模)已知函数f(x)＝sinx＋x3＋eq\f(1,x)＋3，若f(a)＝－1，则f(－a)＝()A．3 B．5C．6 D．7答案D解析函数f(x)＝sinx＋x3＋eq\f(1,x)＋3，f(－x)＋f(x)＝sin(－x)＋(－x)3－eq\f(1,x)＋3＋sinx＋x3＋eq\f(1,x)＋3＝－sinx－x3－eq\f(1,x)＋sinx＋x3＋eq\f(1,x)＋6＝6，若f(a)＝－1，则f(－a)＝6－f(a)＝6－(－1)＝7.故选D.4．已知函数f(x)＝x(x－a)＋b，若函数y＝f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝0，则b的值为()A．－2 B．－1C．1 D．2答案C解析解法一：由f(x＋1)＝(x＋1)(x＋1－a)＋b＝x2＋(2－a)x＋1－a＋b为偶函数，得a＝2.又f(1)＝－1＋b＝0，所以b＝1.故选C.解法二：由y＝f(x＋1)为偶函数，知y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝0对称，而y＝f(x＋1)的图象是由y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的，因而y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，故f(x)＝x(x－a)＋b图象的对称轴方程为x＝eq\f(a,2)＝1，得a＝2.又f(1)＝－1＋b＝0，故b＝1.故选C.5．(2023·晋中二模)已知函数f(x)＝2x－eq\f(16,2x)(x∈R)，则f(x)的图象()A．关于直线x＝2对称 B．关于点(2，0)对称C．关于直线x＝0对称 D．关于原点对称答案B解析f(x)＝2x－24－x，则f(4－x)＝24－x－24－(4－x)＝24－x－2x，所以f(x)＋f(4－x)＝0，则函数f(x)的图象关于点(2，0)对称．故选B.6．(2024·安庆、池州、铜陵三市开学联考)已知函数f(x)＝ln(2x＋eq\r(4x2＋a))为奇函数，则f(eq\r(2))＝()A．ln(eq\r(2)－1) B．ln(eq\r(2)＋1)C．2ln(eq\r(2)－1) D．2ln(eq\r(2)＋1)答案D解析由已知f(－x)＝ln(－2x＋eq\r(4x2＋a))＝lneq\f(（－2x＋\r(4x2＋a)）（2x＋\r(4x2＋a)）,2x＋\r(4x2＋a))＝lneq\f(a,2x＋\r(4x2＋a))，因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＋f(－x)＝ln(2x＋eq\r(4x2＋a))＋lneq\f(a,2x＋\r(4x2＋a))＝lna＝0，所以a＝1，故f(x)＝ln(2x＋eq\r(4x2＋1))，所以f(eq\r(2))＝ln(2eq\r(2)＋3)＝2ln(eq\r(2)＋1)．7．(2023·张家口一模)下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是()A．f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1) B．f(x)＝－x2＋xC．f(x)＝|sinx| D．f(x)＝xeq\f(1,3)＋x－eq\f(1,3)答案A解析对于A，f(－x)＝eq\f(2－x－1,2－x＋1)＝eq\f(1－2x,1＋2x)＝－f(x)，则f(x)是奇函数，f(x)＝eq\f(2x＋1－2,2x＋1)＝1－eq\f(2,2x＋1)<1，故A正确；对于B，f(－x)＝－x2－x≠－f(x)，f(x)不是奇函数，不满足条件，故B错误；对于C，f(－x)＝|sin(－x)|＝|sinx|＝f(x)，f(x)是偶函数，不满足条件，故C错误；对于D，f(x)＝eq\r(3,x)＋eq\f(1,\r(3,x))，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(8)＝eq\r(3,8)＋eq\f(1,\r(3,8))＝2＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2)>1，不满足条件，故D错误．故选A.8．(2023·南通二模)已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)＋ex是偶函数，y＝f(x)－3ex是奇函数，则函数f(x)的最小值为()A．e B．2eq\r(2)C．2eq\r(3) D．2e答案B解析因为函数y＝f(x)＋ex是偶函数，则f(－x)＋e－x＝f(x)＋ex，即f(x)－f(－x)＝e－x－ex①，又因为函数y＝f(x)－3ex是奇函数，则f(－x)－3e－x＝－f(x)＋3ex，即f(x)＋f(－x)＝3ex＋3e－x②，联立①②可得f(x)＝ex＋2e－x，由基本不等式可得f(x)＝ex＋2e－x≥2eq\r(ex·2e－x)＝2eq\r(2)，当且仅当ex＝2e－x，即x＝eq\f(1,2)ln2时，等号成立，故函数f(x)的最小值为2eq\r(2).故选B.二、多项选择题9．(2023·临沂一模)已知f(x)＝x3g(x)为定义在R上的偶函数，则函数g(x)的解析式可以是()A．g(x)＝lgeq\f(1＋x,1－x) B．g(x)＝3x－3－xC．g(x)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2x＋1) D．g(x)＝ln(eq\r(x2＋1)＋x)答案BD解析因为f(x)＝x3g(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即g(－x)＝－g(x)，所以g(x)是奇函数．对于A，函数定义域为(－1，1)，A不符合题意；对于B，函数定义域为R，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，B符合题意；对于C，函数定义域为R，g(－x)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2－x＋1)＝eq\f(1,2)＋eq\f(2x,1＋2x)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,1＋2x)≠－g(x)，C不符合题意；对于D，函数定义域为R，g(－x)＝ln(eq\r(x2＋1)－x)，而g(－x)＋g(x)＝ln(eq\r(x2＋1)－x)＋ln(eq\r(x2＋1)＋x)＝0，D符合题意．故选BD.10．(2024·衡水模拟)已知函数f(x)图象的对称轴方程为x＝3，则函数f(x)的解析式可以是()A．f(x)＝x＋eq\f(1,x＋3) B．f(x)＝ex－3＋e3－xC．f(x)＝x4－18x2 D．f(x)＝|x2－6x|答案BD解析若函数f(x)图象的对称轴方程为x＝3，则f(6－x)＝f(x)．对于A，f(6－x)＝6－x＋eq\f(1,9－x)≠f(x)，A不符合题意；对于B，f(6－x)＝e3－x＋ex－3＝f(x)，B符合题意；对于C，∵f(0)＝0，f(6)＝64－18×62＝648，∴f(0)≠f(6)，即f(6－x)＝f(x)不恒成立，C不符合题意；对于D，f(6－x)＝|(6－x)2－6(6－x)|＝|x2－6x|＝f(x)，D符合题意．故选BD.11．(2023·襄阳二模)定义在R上的函数f(x)满足：x为整数时，f(x)＝2024；x不为整数时，f(x)＝0，则()A．f(x)是奇函数 B．f(x)是偶函数C．∀x∈R，f(f(x))＝2024 D．f(x)的最小正周期为1答案BCD解析对于A，f(1)＝2024，f(－1)＝2024，f(－x)＝－f(x)不恒成立，则f(x)不是奇函数，A错误；对于B，若x为整数，则－x也是整数，则有f(x)＝f(－x)＝2024，若x不为整数，则－x也不为整数，则有f(x)＝f(－x)＝0，综上可得f(x)＝f(－x)，f(x)是偶函数，B正确；对于C，若x为整数，f(x)＝2024，x不为整数时，f(x)＝0，总之f(x)是整数，则f(f(x))＝2024，C正确；对于D，若x为整数，则x＋1也为整数，若x不为整数，则x＋1也不为整数，总之有f(x＋1)＝f(x)，f(x)的周期为1，若t(0＜t＜1)也是f(x)的周期，而x和x＋t可能一个是整数，另一个不是整数，则有f(x)≠f(x＋t)，故f(x)的最小正周期为1，D正确．故选BCD.三、填空题12．(2024·湖北部分名校模拟)已知函数y＝f(x)，对任意x∈R，都有f(x＋3)f(x)＝k(k为常数)，且当x∈[0，3]时，f(x)＝x2＋1，则f(2023)＝________．答案2解析因为对任意x∈R，都有f(x＋3)f(x)＝k，k为常数，所以f(x＋6)f(x＋3)＝k，从而f(x＋6)＝f(x)，即f(x)的周期为6，所以f(2023)＝f(1)＝2.13．(2024·金华一中质检)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈(－1，1]时，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x＋m，－1<x<0，,\r(x)，0≤x≤1，))其中m∈R.若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，则m的值是________．答案1解析由题意得，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋m＝－eq\f(3,4)＋m，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))＝eq\r(\f(1,16))＝eq\f(1,4)，所以eq\f(1,4)＝－eq\f(3,4)＋m，解得m＝1.14．(2024·上海市七宝中学模拟)设函数y＝f(x)的定义域为R，给出下列命题：①若对任意x∈R，均有|f(x)|＝1，则f(x)一定不是奇函数；②若对任意x∈R，均有|f(－x)|＝|f(x)|，则f(x)为奇函数或偶函数；③若对任意x∈R，均有f(－x)＝|f(x)|，则f(x)必为偶函数；④若对任意x∈R，均有|f(－x)|＝|f(x)|，且f(x)为R上的增函数，则f(x)必为奇函数．其中为真命题的是________(请写出所有真命题的序号)．答案①③解析对于①，对任意x∈R，均有|f(x)|＝1，则|f(0)|＝1，但奇函数中f(0)＝0，矛盾，所以f(x)一定不是奇函数，①为真命题；对于②，|f(－x)|＝|f(x)|等价于[f(x)－f(－x)][f(x)＋f(－x)]＝0，若x∈[－1，1]时满足f(x)－f(－x)＝0，x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时满足f(x)＋f(－x)＝0，则函数f(x)在x∈R上为非奇非偶函数，②为假命题；对于③，对任意x∈R，均有f(－x)＝|f(x)|，则f(x)＝|f(－x)|＝|f(x)|，所以f(－x)＝|f(x)|＝f(x)，所以函数f(x)必为偶函数，③为真命题；对于④，函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x>0，,\f(1,2)，x＝0，,x－1，x<0))符合题意，但f(x)不是奇函数，④为假命题．四、解答题15．已知函数y＝f(x)的定义域为R，并且满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝1，且当x>0时，f(x)>0.(1)求f(0)的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性并证明；(3)判断函数f(x)的单调性，并解不等式f(x)＋f(2＋x)<2.解(1)令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.(2)函数f(x)是R上的奇函数．证明如下：令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)是R上的奇函数．(3)函数f(x)是R上的增函数．证明如下：任取x1，x2∈R，x1<x2，则x2－x1>0，∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1＋x1)－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－f(x1)＝f(x2－x1)>0，∴f(x1)<f(x2)，故函数f(x)是R上的增函数．∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝1，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝2，∴f(x)＋f(2＋x)＝f(x＋(2＋x))＝f(2x＋2)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))，又由y＝f(x)是定义在R上的增函数，得2x＋2<eq\f(2,3)，解得x<－eq\f(2,3)，故不等式f(x)＋f(2＋x)<2的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,3))).16．设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．解(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，又f(x)为奇函数，所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，得f((x－1)＋2)＝－f(x－1)＝f(－(x－1))，即f(1＋x)＝f(1－x)．故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．当－4≤x≤4时，设f(x)的图象与x轴围成图形的面积为S，则S＝4S△OAB＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×1))＝4.考情分析：函数的单调性、奇偶性、周期性、函数图象的对称性是必考点，通常会综合考查，出现在选填题中．考点难度2023Ⅰ卷T4单调性易Ⅱ卷T4奇偶性易2022Ⅰ卷T12奇偶性、对称性难Ⅱ卷T8奇偶性、周期性难2021Ⅰ卷T13奇偶性易Ⅱ卷T8奇偶性、周期性难考向一函数的奇偶性与单调性例1(1)(2023·菏泽模拟)已知函数f(x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b在[－2c－1，c＋3]上为奇函数，则不等式f(2x＋1)＋f(a＋b＋c)>0的解集为()A．(－2，4] B．(－3，5]C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，2)) D．(－2，2]答案C解析因为函数f(x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b在[－2c－1，c＋3]上为奇函数，所以－2c－1＋c＋3＝0，解得c＝2，又f(－x)＝－f(x)，即－x3＋(a－2)x2－2x＋b＝－x3－(a－2)x2－2x－b，所以2(a－2)x2＋2b＝0，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（a－2）＝0，,2b＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝0，))所以f(x)＝x3＋2x，x∈[－5，5]，因为y＝x3与y＝2x在定义域[－5，5]上单调递增，所以f(x)在定义域[－5，5]上单调递增，则不等式f(2x＋1)＋f(a＋b＋c)>0，即f(2x＋1)＋f(4)>0，等价于f(2x＋1)>f(－4)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋1>－4，,－5≤2x＋1≤5，))解得－eq\f(5,2)<x≤2，即不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，2)).故选C.(2)(2024·珠海二中阶段考试)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有eq\f(x2f（x1）－x1f（x2）,x1－x2)>0，记a＝f(1)，b＝eq\f(f（－2）,2)，c＝eq\f(f（3）,3)，则()A．c＜a＜b B．a＜b＜cC．c＜b＜a D．b＜c＜a答案B解析对任意两个不相等的正数x1，x2，不妨设x1＞x2，因为eq\f(x2f（x1）－x1f（x2）,x1－x2)＞0，则x2f(x1)－x1f(x2)＞0，所以eq\f(x2f（x1）－x1f（x2）,x1x2)＝eq\f(f（x1）,x1)－eq\f(f（x2）,x2)>0，即eq\f(f（x1）,x1)>eq\f(f（x2）,x2)，令g(x)＝eq\f(f（x）,x)，则函数g(x)＝eq\f(f（x）,x)是(0，＋∞)上的增函数，则g(1)＜g(2)＜g(3)，所以f(1)<eq\f(f（2）,2)<eq\f(f（3）,3)，因为f(x)为偶函数，则f(1)<eq\f(f（－2）,2)<eq\f(f（3）,3)，即a＜b＜c.故选B.(1)利用偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反、奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，实现不等式的等价转化．(2)注意偶函数的性质f(x)＝f(|x|)的应用．1.(2020·新高考Ⅰ卷)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是()A．[－1，1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0，1]C．[－1，0]∪[1，＋∞) D．[－1，0]∪[1，3]答案D解析因为定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上也单调递减，且f(－2)＝0，f(0)＝0，所以当x∈(－∞，－2)∪(0，2)时，f(x)>0；当x∈(－2，0)∪(2，＋∞)时，f(x)<0，所以由xf(x－1)≥0可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<0，,－2≤x－1≤0或x－1≥2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,0≤x－1≤2或x－1≤－2))或x＝0，解得－1≤x≤0或1≤x≤3，所以满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3]．故选D.2．(2023·开封模拟)f(x)为定义在R上的偶函数，对任意的x2>x1≥0，都有eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)>2，且f(2)＝4，则不等式f(x)>2|x|的解集为()A．(－∞，2) B．(2，＋∞)C．(0，2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案D解析对任意的x2>x1≥0，都有eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)>2，则eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)－2＝eq\f([f（x2）－2x2]－[f（x1）－2x1],x2－x1)>0，令g(x)＝f(x)－2|x|，则g(x)＝f(x)－2|x|在[0，＋∞)上单调递增，因为f(x)为定义在R上的偶函数，所以g(－x)＝f(－x)－2|－x|＝f(x)－2|x|＝g(x)，即g(x)＝f(x)－2|x|为偶函数，又g(2)＝f(2)－2×|2|＝0，由f(x)>2|x|，可得g(x)＝f(x)－2|x|>0，即g(|x|)>g(2)，所以|x|>2，所以f(x)>2|x|的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．故选D.考向二函数的奇偶性与周期性例2(1)(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0 B．f(－1)＝0C．f(2)＝0 D．f(4)＝0答案B解析因为函数f(x＋2)为偶函数，则f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x＋3)＝f(1－x)，因为函数f(2x＋1)为奇函数，则f(1－2x)＝－f(2x＋1)，所以f(1－x)＝－f(x＋1)，所以f(x＋3)＝－f(x＋1)，所以f(x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x＋3)＝f(x－1)，即f(x)＝f(x＋4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，因为f(2x＋1)为奇函数，所以f(1)＝0，故f(－1)＝－f(1)＝0，其他三个选项未知．故选B.(2)(2024·浙江名校联盟第一次联考)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2，f(x＋2)为偶函数，若f(0)＝0，eq\o(∑,\s\up7(n),\s\do7(k＝1))f(k)＝111，则n的值为()A．107 B．118C．109 D．110答案D解析对任意的x∈R，由f(x＋1)＋f(x－1)＝2可得f(x＋3)＋f(x＋1)＝2，所以f(x＋3)＝f(x－1)，则f(x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)为周期函数，且周期为4，因为f(x＋2)为偶函数，所以f(2－x)＝f(2＋x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(1)＝f(3)，因为f(1)＋f(3)＝2，则f(1)＝f(3)＝1，因为f(0)＋f(2)＝2且f(0)＝0，则f(2)＝2，所以f(1)＋f(2)＝3，因为f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4，且111＝4×27＋3，因为eq\o(∑,\s\up7(n),\s\do7(k＝1))f(k)＝27×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝111，故n＝4×27＋2＝110.故选D.利用函数的奇偶性和周期性把所求的函数值转化为已知函数解析式的区间上的函数值，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质．(2024·湖南名校联盟入学摸底考试)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)是奇函数，f(x＋3)＝f(1－x)，f(0)＝－2，则eq\o(∑,\s\up7(2023),\s\do7(k＝1))f(k)＝________．答案2解析因为f(x＋1)是奇函数，所以f(x＋1)＝－f(1－x)，又f(x＋3)＝f(1－x)，可得f(x＋3)＝－f(x＋1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(2)＋f(4)＝0，f(1)＋f(3)＝0，所以eq\o(∑,\s\up7(2023),\s\do7(k＝1))f(k)＝506×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]－f(2024)＝－f(0)＝2.考向三函数的周期性与对称性例3(多选)(2024·东莞第四高级中学检测)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))恒成立．当x∈[2，3]时，f(x)＝x.则下列四个命题中正确的是()A．f(x)的周期是2k(k≠0，k∈Z)B．f(x)的图象关于点(1，0)对称C．当x∈[－3，－2]时，f(x)＝－xD．当x∈[－2，0]时，f(x)＝3－|x＋1|答案ACD解析由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))得f(x)＝f(x＋2)，即f(x)是周期为2的周期函数，则f(x)的周期是2k(k≠0，k∈Z)，故A正确；∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(x＋2)＝f(－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故B错误；当x∈[－3，－2]时，－x∈[2，3]，则f(－x)＝－x＝f(x)，即此时f(x)＝－x，x∈[－3，－2]，故C正确；当x∈[0，1]时，x＋2∈[2，3]，f(x)＝f(x＋2)＝x＋2，x∈[0，1]．∵函数f(x)是偶函数，∴当x∈[－1，0]时，f(x)＝f(－x)＝－x＋2，当x∈[－2，－1]时，x＋2∈[0，1]，此时f(x)＝f(x＋2)＝x＋2＋2＝x＋4，当x∈[－2，0]时，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋2，x∈[－1，0]，,x＋4，x∈[－2，－1），))当x∈[－2，－1)时，f(x)＝3－|x＋1|＝3＋x＋1＝x＋4，当x∈[－1，0]时，f(x)＝3－|x＋1|＝3－x－1＝2－x，故D正确．故选ACD.函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆．(多选)(2024·长沙模拟)已知函数f(x)的定义域为R，函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，且满足f(x＋3)＝f(1－x)，则下列结论正确的是()A．函数f(x＋1)是奇函数B．函数f(x)的图象关于y轴对称C．函数f(x)是最小正周期为2的周期函数D．若函数g(x)满足g(x)＋f(x＋3)＝2，则eq\o(∑,\s\up7(2024),\s\do7(k＝1))g(k)＝4048答案ABD解析因为函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，所以f(x＋1)＝－f(1－x)，所以函数f(x＋1)是奇函数，故A正确；因为f(x＋1)＝－f(1－x)，所以f(x＋2)＝－f(－x)，又f(x＋3)＝f(1－x)，所以f(x＋3)＝－f(x＋1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故B正确；因为f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故C错误；因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(1)＋f(3)＝0，f(0)＋f(2)＝0，因为g(x)＋f(x＋3)＝2，所以g(0)＋g(1)＋g(2)＋g(3)＝2－f(3)＋2－f(4)＋2－f(5)＋2－f(6)＝8－[f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＝8－[f(3)＋f(0)＋f(1)＋f(2)]＝8，所以eq\o(∑,\s\up7(2024),\s\do7(k＝1))g(k)＝506×[g(0)＋g(1)＋g(2)＋g(3)]＝4048，故D正确．故选ABD.考向四与函数性质有关的新定义问题例4(多选)德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet，1805～1859)在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”y＝f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x∈Q，,0，x∈∁RQ，))其中R为实数集，Q为有理数集．关于函数f(x)有如下四个命题，其中正确的是()A．函数f(x)是偶函数B．∀x1，x2∈∁RQ，f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)恒成立C．任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意的x∈R恒成立D．不存在三个点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))，使得△ABC为等腰直角三角形答案ACD解析对于A，若x∈Q，则－x∈Q，满足f(x)＝f(－x)；若x∈∁RQ，则－x∈∁RQ，满足f(x)＝f(－x)，故函数f(x)为偶函数，A正确．对于B，取x1＝π∈∁RQ，x2＝－π∈∁RQ，则f(x1＋x2)＝f(0)＝1，f(x1)＋f(x2)＝0，故B错误．对于C，若x∈Q，则x＋T∈Q，满足f(x)＝f(x＋T)；若eq\a\vs4\al(x∈∁RQ)，则x＋T∈∁RQ，满足f(x)＝f(x＋T)，故C正确．对于D，△ABC要为等腰直角三角形，只可能有如下四种情况：①如图1，直角顶点A在直线y＝1上，斜边在x轴上，此时点B，点C的横坐标为无理数，由等腰直角三角形的性质可知|x1－x2|＝1，那么点A的横坐标也为无理数，这与点A的纵坐标为1矛盾，故不成立；②如图2，直角顶点A在直线y＝1上，斜边不在x轴上，此时点B的横坐标为无理数，则点A的横坐标也应为无理数，这与点A的纵坐标为1矛盾，故不成立；③如图3，直角顶点A在x轴上，斜边在直线y＝1上，此时点B，点C的横坐标为有理数，则BC中点的横坐标仍然为有理数，那么点A的横坐标也应为有理数，这与点A的纵坐标为0矛盾，故不成立；④如图4，直角顶点A在x轴上，斜边不在直线y＝1上，此时点A的横坐标为无理数，则点B的横坐标也应为无理数，这与点B的纵坐标为1矛盾，故不成立．综上，不存在三个点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))，使得△ABC为等腰直角三角形，故D正确．故选ACD.解决与函数有关的新定义问题的策略(1)联想背景：有些题目给出的新函数是以熟知的初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等)为背景定义的，可以通过阅读材料，联想和类比、拆分或构造，将新函数转化为我们熟知的基本初等函数进行求解．(2)紧扣定义：对于题目定义的新函数，通过仔细阅读，分析定义以及新函数所满足的条件，围绕定义与条件来确定解题的方向，然后准确作答．(3)巧妙赋值：如果题目所定义的新函数满足的条件是函数方程，可采用赋值法，求得特殊函数值或函数解析式，再结合掌握的数学知识与方程思想来解决问题．(4)构造函数：有些新定义型函数可看成是由两个已知函数构造而成的．(多选)对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[－1.08]＝－2.定义函数f(x)＝x－[x]，则()A．f(3)＝1B．函数f(x)是周期函数C．方程f(x)＝eq\f(1,2)在x∈[0，1)上仅有一个解D．函数f(x)是增函数答案BC解析由题意知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(…,x＋1，－1≤x<0，,x，0≤x<1，,x－1，1≤x<2，,…))画出分段函数的图象，如图所示．对于A，由定义可得f(3)＝3－[3]＝3－3＝0，故A不正确；对于B，由图象可知函数f(x)为周期函数，故B正确；对于C，函数y＝f(x)与y＝eq\f(1,2)的图象在x∈[0，1)上有一个交点，即方程f(x)＝eq\f(1,2)在x∈[0，1)上仅有一个解，故C正确；对于D，由图象可知f(0)＝f(1)，所以函数f(x)不是增函数，故D不正确．故选BC.第4讲二次函数与幂函数[课程标准]通过具体实例，结合y＝x，y＝x－1，y＝x2，y＝xeq\s\up7(\f(1,2))，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数．幂函数(1)定义：函数eq\x(\s\up1(01))y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象(3)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义．②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增．③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．1．幂函数图象的特征(1)在(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越接近x轴(简记为“指大图低”)．(2)在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．2．幂函数y＝xα(α∈R)在第一象限内图象的画法(1)当α<0时，其图象可类似y＝x－1画出．(2)当0<α<1时，其图象可类似y＝xeq\s\up7(\f(1,2))画出．(3)当α>1时，其图象可类似y＝x2画出．3．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．4．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，则二次函数在闭区间[m，n]上的最大、最小值的分布情况(1)若－eq\f(b,2a)∈[m，n]，则f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a))).(2)若－eq\f(b,2a)∉[m，n]，则f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝min{f(m)，f(n)}．1．(人教A必修第一册复习参考题3T5改编)已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2，4)，则f(－3)＝()A．－9 B．9C．3 D．－3答案B解析因为幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2，4)，所以2α＝4，α＝2，所以f(x)＝x2，所以f(－3)＝(－3)2＝9.故选B.2．若函数y＝ax与y＝－eq\f(b,x)在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上()A．是增函数 B．是减函数C．先减再增 D．先增再减答案B解析∵函数y＝ax与y＝－eq\f(b,x)在(0，＋∞)上都是减函数，∴a<0，b<0，则y＝ax2＋bx的图象开口向下，对称轴为直线x＝－eq\f(b,2a)<0，∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是减函数．3．函数g(x)＝x2－2x(x∈[0，3])的值域是________．答案[－1，3]解析∵g(x)＝(x－1)2－1，∴g(x)min＝g(1)＝－1，g(x)max＝g(3)＝3.∴所求值域为[－1，3]．4．已知α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1，－\f(1,2)，\f(1,2)，1，2，3)).若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则α＝________．答案－1解析∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴α可取－1，1，3，又f(x)＝xα在(0，＋∞)上单调递减，∴α<0，故α＝－1.5．(人教B必修第二册4.4例1改编)比较下列各题中两个值的大小．(1)1.70.9________1.80.9；(2)(|a|＋3)－eq\s\up7(\f(1,2))________3－eq\s\up7(\f(1,2)).答案(1)<(2)≤解析(1)因为幂函数y＝x0.9在[0，＋∞)上单调递增，且1.7<1.8，所以1.70.9<1.80.9.(2)因为幂函数y＝x－eq\s\up7(\f(1,2))在(0，＋∞)上单调递减，且|a|＋3≥3，所以(|a|＋3)－eq\s\up7(\f(1,2))≤3－eq\s\up7(\f(1,2)).考向一幂函数的图象与性质例1(1)(2024·成都模拟)幂函数f(x)＝(m2－3m－3)xm在区间(0，＋∞)上单调递减，则下列说法正确的是()A．m＝4 B．f(x)是减函数C．f(x)是奇函数 D．f(x)是偶函数答案C解析函数f(x)＝(m2－3m－3)xm为幂函数，则m2－3m－3＝1，解得m＝4或m＝－1.当m＝4时，f(x)＝x4在区间(0，＋∞)上单调递增，不满足题意，排除A；当m＝－1时，f(x)＝x－1在区间(0，＋∞)上单调递减，满足题意．函数f(x)＝x－1在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，但不是减函数，排除B；因为函数定义域关于原点对称，且f(－x)＝eq\f(1,－x)＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误．故选C.(2)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是()A．d>c>b>a B．a>b>c>dC．d>c>a>b D．a>b>d>c答案B解析由幂函数的图象可知在(0，1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a>b>c>d.故选B.(3)(2023·安阳三模)已知幂函数f(x)＝xα满足2f(2)＝f(16)，若a＝f(log42)，b＝f(ln2)，c＝f(5－eq\s\up7(\f(1,2)))，则a，b，c的大小关系是()A．a>c>b B．a>b>cC．b>a>c D．b>c>a答案C解析幂函数f(x)＝xα中，2f(2)＝f(16)，所以2×2α＝16α，即2α＋1＝24α，所以α＋1＝4α，解得α＝eq\f(1,3)，所以f(x)＝xeq\s\up7(\f(1,3))，所以f(x)是定义域为R的增函数，又a＝f(log42)，b＝f(ln2)，c＝f(5－eq\s\up7(\f(1,2)))，且log42＝eq\f(1,2)，ln2>lneq\r(e)＝eq\f(1,2)，5－eq\s\up7(\f(1,2))＝eq\f(1,\r(5))<eq\f(1,2)，所以ln2>log42>5－eq\s\up7(\f(1,2))，即f(ln2)>f(log42)>f(5－eq\s\up7(\f(1,2)))，所以b>a>c.故选C.幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)；在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．(3)当α＞0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α＜0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．1．幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为()A．－1 B．0C．1 D．2答案C解析从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限单调递减，故m2－2m－3<0，即－1<m<3；又从图象看，函数是偶函数，故m2－2m－3为负偶数，将m＝0，1，2分别代入，可知当m＝1时，m2－2m－3＝－4，满足要求．故选C.2．(2023·海口三模)设a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up7(\f(1,2))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up7(\f(1,4))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up7(\f(3,4))，则a，b，c的大小关系是()A．c＜a＜b B．c＜b＜aC．a＜c＜b D．b＜c＜a答案A解析a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up7(\f(1,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,16)))eq\s\up7(\f(1,4))＜1，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up7(\f(1,4))＞1，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up7(\f(3,4))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,27)))eq\s\up7(\f(1,4))＜1，且0＜eq\f(8,27)＜eq\f(9,16)＜1，函数y＝xeq\s\up7(\f(1,4))在(0，＋∞)上是增函数，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,27)))eq\s\up7(\f(1,4))＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,16)))eq\s\up7(\f(1,4))，所以c＜a.综上可知，c＜a＜b.故选A.考向二求二次函数的解析式例2若二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)的解析式为________．答案f(x)＝－4x2＋4x＋7解析解法一(利用一般式)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.解法二(利用顶点式)：设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的对称轴为直线x＝eq\f(2＋（－1）,2)＝eq\f(1,2).∴m＝eq\f(1,2).又根据题意函数有最大值8，∴n＝8.∴f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋8.∵f(2)＝－1，∴aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\u