初升高数学暑假衔接（人教版）高一预习5.2 三角函数的概念（教师版）

5.2三角函数的概念【知识梳理】知识点一任意角的三角函数设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．知识点二正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号1．图示：2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．知识点三公式一sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，tan(α＋2kπ)＝tanα，其中k∈Z.终边相同的角的同一三角函数的值相等．知识点四同角三角函数的基本关系1．平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α＋cos2α＝1.2．商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即eq\f(sinα,cosα)＝tanα，其中α≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．【基础自测】1．已知点P(sinα，cosα)在第三象限，则角α的终边在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C2．已知tanα＝2，则eq\f(3sinα－cosα,sinα＋2cosα)等于()A.eq\f(5,4)B．－eq\f(5,4)C.eq\f(5,3)D．－eq\f(5,3)【答案】A【详解】原式＝eq\f(3tanα－1,tanα＋2)＝eq\f(3×2－1,2＋2)＝eq\f(5,4).3．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是()A．tanα＝－eq\f(sinα,cosα) B．cosα＝－eq\r(1－sin2α)C．sinα＝－eq\r(1－cos2α) D．tanα＝eq\f(cosα,sinα)【答案】B【详解】由商数关系可知A，D均不正确．当α为第二象限角时，cosα<0，sinα>0，故B正确．4．taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,3)))＝.【答案】eq\r(3)【详解】taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,3)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6π＋\f(π,3)))＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3).5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上的一点，且sinθ＝－eq\f(3\r(10),10)，则y＝________.【答案】－3【详解】因为sinθ＝－eq\f(3\r(10),10)<0，A(－1，y)是角θ终边上一点，所以y<0，由三角函数的定义，得eq\f(y,\r(y2＋1))＝－eq\f(3\r(10),10).解得y＝－3.【例题详解】一、任意角三角函数的定义及应用例1已知角的终边经过点，（），且，求的值.【答案】或【分析】根据三角函数的定义以及可解得,再根据三角函数的定义求出正弦值,代入可得.【详解】∵（），∴点到坐标原点的距离.又，∴，∵，,∴.当时，点的坐标为，由三角函数的定义，得，∴；当时，同理，可求得.综上，的值为或.【点睛】本题考查了三角函数的定义,属于基础题.跟踪训练1已知角的终边上有一点的坐标是，其中，求.【分析】直接利用三角函数的坐标定义求解.【详解】r＝＝5|a|.当a＞0时，r＝5a，∴sinα＝＝＝，cosα＝＝＝，tanα＝＝＝；当a＜0时，r＝－5a，∴sinα＝－，cosα＝－，tanα＝.综上可知，sinα＝，cosα＝，tanα＝或sinα＝－，cosα＝－，tanα＝.【点睛】(1)本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)点p(x,y)是角终边上的任意的一点（原点除外）,r代表点到原点的距离，则sin=

cos=,tan=.三角函数值符号的运用例2(1)已知点P(tanα，cosα)在第四象限，则角α的终边在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【详解】(1)因为点P在第四象限，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα>0，,cosα<0，))由此可判断角α的终边在第三象限．(2)设角属于第二象限，且，则角属于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根据为第二象限角可求得为第一或第三象限角，由可得结果.【详解】∵为第二象限角，，；当时，为第一象限角；当时，为第三象限角；为第一或第三象限角；，，为第三象限角.故选：C.跟踪训练2已知，则点在第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四【答案】D【分析】首先判断位于第四象限，再根据各象限三角函数的符号特征判断即可.【详解】解：因为，所以为第四象限角，所以，，所以点位于第四象限；故选：D三、公式一的应用例3计算下列各式的值：(1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°；(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,6)))＋coseq\f(12π,5)tan4π.【详解】(1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(6),4)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1＋\r(6),4).(2)原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,6)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(2π,5)))tan(4π＋0)＝sineq\f(π,6)＋coseq\f(2π,5)×0＝eq\f(1,2).跟踪训练3(1)已知（Q为有理数集），则（

）A． B．1 C．-1 D．0【答案】D【分析】根据给定函数，判断自变量值所属集合，再分段代入计算作答.【详解】因，则，所以.故选：D(2)已知角的终边经过点．（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）；(2)【分析】(1)根据三角函数的定义以及诱导公式一可得,(2)根据三角函数的定义以及诱导公式一可得.【详解】（1）设，所以，所以;（2）由（1）可知，，则，故原式【点睛】本题考查了三角函数的定义以及诱导公式一,属于基础题.四、已知一个三角函数值求另两个三角函数值例4已知sinα＋3cosα＝0，求sinα，cosα的值．【详解】∵sinα＋3cosα＝0，∴sinα＝－3cosα.又sin2α＋cos2α＝1，∴(－3cosα)2＋cos2α＝1，即10cos2α＝1，∴cosα＝±eq\f(\r(10),10).又由sinα＝－3cosα，可知sinα与cosα异号，∴角α的终边在第二或第四象限．当角α的终边在第二象限时，cosα＝－eq\f(\r(10),10)，sinα＝eq\f(3\r(10),10)；当角α的终边在第四象限时，cosα＝eq\f(\r(10),10)，sinα＝－eq\f(3\r(10),10).跟踪训练4求解下列各题.(1)已知,且为第一象限角,求,;(2)已知,且为第三象限角,求,;(3)已知,且为第四象限角,求,;(4)已知,且为第二象限角,求,.【答案】(1),.(2),.(3),.(4),.【解析】（1）由，为第一象限角，利用平方关系求得，再利用商数关系求.（2）由，为第三象限角，利用平方关系求得，再利用商数关系求.（3）把和看成两个未知数，列出关于和的两个独立的关系式，通过解方程组，就可以求出和.（4）由，为第一象限角，利用平方关系求得，再利用商数关系求.【详解】（1）因为，为第一象限角，所以，.（2）因为，为第三象限角，所以，.（3）由题意有，由②得，③将③代入①整理得，即.因为是第四象限角，所以，.（4）因为，为第二象限角，所以，.【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.题型五、正、余弦齐次式的计算例5(1)已知，求下列各式的值.=1\*GB3①；=2\*GB3②.【答案】=1\*GB3①；=2\*GB3②【分析】=1\*GB3①利用和将原式化简计算即可，=2\*GB3②通分化简后，再利用和化简计算【详解】=1\*GB3①因为，所以原式=2\*GB3②因为，所以.(2)若，则的值为（

）A． B．4 C． D．【答案】C【分析】根据，将原式齐次化后再弦化切即可得答案.【详解】解：原式．故选：C．跟踪训练5已知，.(1)求的值；(2)求的值；(3)求.的值【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）根据可得，解方程并结合角的范围求得；（2）利用弦化切，将化为，可得答案；（3）利用，将化为，继而化为，求得答案.【详解】（1）由得，解得或，因为，故，则；（2）；（3）.题型六、sinθ±cosθ型求值问题例6已知,且,（1）求的值.（2）求的值（3）求的值【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，把条件平方，即可求得的值（2）先求得为钝角，由，求得和的值，从而求得（3）由（2）可得的值．【详解】（1）已知，，求得．（2）当时，，为钝角，由，求得，，（3）．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于中档题．跟踪训练6已知为三角形的内角，且，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据同角三角函数的基本关系，运用“弦化切”求解即可.【详解】计算得，所以，，从而可计算的，，,选项A正确，选项BCD错误.故选：A.题型七、化简求值与恒等式的证明例7已知，其中是第四象限角．(1)化简；(2)若，求，．【答案】(1)；(2)，【分析】（1）因为是第四象限角，即可得到，，再根据平方关系化简可得；（2）依题意可得，再根据同角三角函数的基本关系求出；【详解】（1）解：∵是第四象限角，∴，，所以、，∴．即；（2）解：∵，∴，∴．跟踪训练7（1）已知α是第三象限角，化简：－；（2）化简：【答案】（1）－2tanα；（2）cos2θ.【分析】（1）将原式等价变形为－，又，且，从而即可化简；（2）将配凑为，因式分解为，最后借助平方关系即可化简.【详解】解：（1）因为α是第三象限角，所以－＝－＝－＝－＝－2tanα；（2）＝＝＝cos2θ.例8求证：【答案】详见解析【证明】方法一左边右边，原式成立．方法二∵，，∴，原式成立．【分析】方法一：从等式左边推出右边,通分化简,再有，整理化简即可得到等式右边,得证.方法二：由恒等式，得，然后运用等比定理即可证明.【详解】证明：方法一左边右边，原式成立.方法二∵，，∴，原式成立.【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系进行恒等式的证明;其中法一是证明的关键,法二恒等式的合理利用是证明的关键;本题属于难题.跟踪训练8求证：．【答案】证明见解析【分析】方法一：式子左边分子分母同乘以，再利用平方关系，变形分子即可得证.【详解】[方法一]：【最优解】左边＝＝＝＝＝右边，等式成立.[方法二]：右边＝＝＝＝＝左边，等式成立.[方法三]：左边＝，右边＝＝＝，∴左边＝右边，∴等式成立.[方法四]：∵－＝＝＝0.∴等式成立.[方法五]：左边＝＝＝＝＝右边.[方法六]：∵(1－sinα)(1＋sinα)＝1－sin2α＝cos2α，∴＝.[方法七]：若证＝成立，只需证cosα·cosα＝(1－sinα)(1＋sinα)，即证cos2α＝1－sin2α，此式成立，∴原等式＝成立.【整体点评】方法一：利用平方关系，从左边证到右边，是证明题的通性通法；方法二：利用平方关系，从右边证到左边；方法三：利用左边=中间，右边=中间证出；方法四：利用作差法证出；方法五：利用平方关系，从左边证到右边；方法六：根据平方关系变形证出；方法七：根据分析法证出.【课堂巩固】1．（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根据诱导公式即可求解.【详解】，故选：D2．若且，则的终边在A．第一象限 B．第二象限 C．第一象限或第三象限 D．第三象限或第四象限【答案】C【详解】由且，知为二象限角，即.则，当为偶数时，的终边在第一象限；当为奇数时，的终边在第三象限.故选C.3．已知，那么角是（）A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角【答案】C【详解】∵，∴当cosθ<0，tanθ>0时，θ∈第三象限；当cosθ>0，tanθ<0时，θ∈第四象限，故选C．4．已知，且，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将已知等式两边平方，利用三角函数的基本关系求得的值，结合的范围确定与的正负，再利用完全平方公式及三角函数的基本关系可求得的值.【详解】因为，两边平方得，故，所以与导号，又因为，所以，，所以.故选：C.5．已知角的终边在直线上，则的值为________.【答案】或.【解析】在直线上任取一点.则，然后分两种情况讨论即可【详解】在直线上任取一点.则.（1）当时，，故，，所以；（2）当时，，故，，所以.故等于或.故答案为：或.【点睛】本题考查的是三角函数的定义，较简单.6．比较大小：______．【答案】【分析】化简可得，，即可得答案.【详解】，，所以.故答案为：7．已知，，则__________，_________.【答案】

【解析】利用同角三角函数平方关系可构造方程求得；利用商数关系可得到关于正余弦的齐次式，进而构造关于的方程求得结果.【详解】由得：，解得：；由得：，解得：或.时，，若，则且，即，.故答案为：；.【点睛】本题考查利用同角三角函数平方关系和商数关系求值的问题，易错点是忽略正余弦的大小关系，造成求解正切值时出现增根.8．已知，（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）当时，，；当时，，.【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系式求得的值，进而求得的值.（2）根据所在的象限，先求得的值，进而求得的值.【详解】（1）由于且，所以.所以，所以.（2）由于且，所以或.当时，由（1）知，所以.当时，，.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.9．已知，求下列各式的值(1)；(2)；(3).【答案】(1)5；(2)；(3).【分析】（1）化简原式为即得解；（2）化简原式为即得解；（3）化简原式为即得解.【详解】（(1)解：由题得；(2)解：由题得；(3)解：由题得.10．（1）化简：.（2）求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【分析】（1）切化弦，利用化简可得结果；（2）根据变形可证结论.【详解】（1）原式.（2）证明：因为，所以.【点睛】本题考查了利用同角公式进行化简、证明恒等式，属于基础题.【课时作业】1．若，且为第四象限角，则的值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】∵sina=,且a为第四象限角,∴，则，故选D.2．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】将等式两边平方可求得的值，利用切化弦可求得的值.【详解】由，可得，得，因此，.故选：C.【点睛】方法点睛：应用公式时注意方程思想的应用，对于、、这三个式子，利用可以知一求二．3．已知角的终边过点，且，则的值为()A． B． C． D．【答案】B【详解】因为角的终边过点，所以，，解得，故选B.4．已知函数（且）的图像经过定点，且点在角的终边上，则（

）A． B．0 C．7 D．【答案】D【分析】由题知,进而根据三角函数定义结合齐次式求解即可.【详解】解:令得,故定点为,所以由三角函数定义得，所以故选：D5．若且，则终边在A．第一象限 B．第二象限 C．第一或第三象限 D．第三或第四象限【答案】C【解析】分别写出满足与的角的集合，进一步得到的范围，取交集得答案．【详解】解：．，，即，．，，即的解集为，则可得终边在第一或第三象限．故选：．【点睛】本题考查象限角与等分角，考查交集及其运算，属于基础题．6．已知，且，则角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】D【分析】由以及绝对值的定义可得,再结合已知得,根据三角函数的符号法则可得.【详解】由，可知，结合，得，所以角是第四象限角，故选:D【点睛】本题考查了三角函数的符号法则,属于基础题.7．（多选）已知，是关于的方程的两根，则实数的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根据及根与系数的关系求解即可.【详解】，是关于的方程的两根，，，．,,，即.经检验满足.故选:BC8．（多选）的值可能为（

）．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】BD【分析】根据给定条件结合同角公式化简函数式，再借助正余弦值的正负计算作答.【详解】令，当x为第一象限角时，，则，当x为第二象限角时，，则，当x为第三象限角时，，则，当x为第四象限角时，，则.故选：BD9．已知角的终边上一点，且，则______，______【答案】

【分析】根据任意角的三角函数的定义求出后,与已知正弦