高中数学空间向量的向量积

空间向量的数量积

C

本次课课堂教学内容

要点一：空间向量的数量积

1.两个向量的数量积.

已知两个非零向量a、b，则卜他|cos{a,b）叫做向量a与b的数量积,记作a-b，

iii

即a•b=|aHb|cos(a,b).

要点诠释：

由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取

值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相

同.

口两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的

乘积，其符号由夹角的余弦值决定.

口两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书

写时一定要将它们区别开来，不可混淆.

2.空间向量数量积的性质

设。力是非零向量，e是单位向量，则

Ua-e=e-a^a\cos<a.e>；

□aA-ba-h=0；

|a。&或Ia1=yla-a；

,a-b

□cos<a,b>-------

lol-l^l

\j\a-h\<\a\-\h\

3.空间向量的数量积满足如下运算律

(Aa)b=A(〃•/?)；

ab=ba(交换律);

□a-(/?+c)=ab+a-c(分配律).

要点诠释:

□对于三个不为0的向量。、b、c,若ab=ac,则〃=c；对于三个不为0的向量，

若。乃=小，不能得出。=c,即向量不能约分.

□若夕b=k,不能得出(或b=t),就是说，向量不能进行除法运算.

ba

□对于三个不为0的实数，ab、c,有(.ab)c=a(be),对于三个不为0的向量

a、b、c,有(ab)-c手a(b-c),向量的数量积不满足结合律.

要点二：空间两个向量的夹角

1.定义：已知两个非零向量。、b,在空间任取一点D,作OA=a,OB=b,则一AOB

叫做向量。与b的夹角，记作〈。，b),如下图。

根据空间两个向量数量积的定义：a-b=\a\-\b\-cos<a,b),

ci-h

那么空间两个向量a、b的夹角的余弦cos〈a,b〉=；———,

\a\-\b\

要点诠释：

1.规定：0<<a,b><7r

――--*―-»——

2.特别地，如果<",%>=(),那么a与％同向；如果<。/>=万，那么a与b反向；

如果<蔡>=90。,那么1与1垂直,记作

2.利用空间向量求异面直线所成的角

异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。

在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹

角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面

直线所成的角为两向量的夹角的补角。

要点三、空间向量的长度

1.定义：

在空间两个向量的数量积中，特别地所以向量a的模：

Ia|=<,

将其推广：|。±|=J(a±/?)2=y]a2±2a-b+b2；

|a+h+c\-^(a+b+c')2-y!a2+b2+c2+2a-b+2b-c+2c-a。

2.利用向量求线段的长度。

将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表

示所求向量，然后利用2来求解。

要点四、空间向量的垂直

若〈a,。〉=,,则称。与方互相垂直，并记作a□人

根据数量积的定义：aQba-b^O

要点诠释：

万口分口五%=0是数形结合的纽带之一，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联

系来解决垂直的论证问题.

救学重通点

1.掌握空间向量的数量积的运算法则、运算律和性质。

2.能用向量的数量积计算向量的夹角、长度。

学习目标3.能用向量的数量积判断向量的垂直.

1.能用向量的数量积计算向量的夹角、长度。

2.能用向量的数量积判断向量的垂直.

重点难点

特色摒解

【典型例题】

类型一：空间向量的数量积

例1.已知向量向量c与a,B的夹角都是6(),且|4|=1,|〃|=2,|<?|=3,

试求：(1)(a+b)2；(2)(3a--3c).

举一反三：

【变式1】已知向量a和匕的夹角为120。，且|a|=2,|8|=5,则(2a—力)a=.

例2、如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a,点E、F、G分别是AB、

AD、DC的中点，求下列向量的数量积.

(1)ABAC；(2)ADBD；(3)GF-AC；(4)EF-BC.

举一反三:

【变式】已知在长方体A3CD—A'B'C'O'中，AB=AA'=2,AD=4,E为侧面

的中心，F为A'。'的中点.求下列向量的数量积：(1)BCED'；(2)EF-FC'.

类型二：利用空间向量的数量积求两向量的夹角.

例3.在棱长为a的正方体481GA中，求异面直线84与/C所成的角.

举一反三：

【变式1】如图所示，在空间四边形OABC中，OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,DOAC=45°,

□OAB=60°,求异面直线0A与BC所成角的余弦值。

B

【变式2】如图，在棱长为1的正方体ABC£>—A4GQ中，M、N分别是44和8月

的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值是（）

Vlo23

A.——B.——c.一D.-

21055

类型三：利用空间向量的数量积求线段的长度。

例4、已知|。|=2,网=3,<«,*）=60°,求|2。一36|的值。

举一反三：

【变式】已知向量a、b、C两两之间的夹角都为60。，其模都为1,则|。-6+2cl等

于（）

A.V5B.5C.6D.76

例5、在直二面角的棱上有两点A、B,AC和BD各在这个二面角的一个面内，并且都垂直

于棱AB,设AB=8cm,AC=6cm,BD=24cm,求CD的长。

举一反三：

【变式1】已知PA□平面ABC,DABC=120°,PA=AB=BC=6,求线段PC的长。

AC

B

【变式2】已知在平行六面体ABCD-A'B'C'D'^,ABM,AD=3,AA'=5,□BAD=90°,

□BAA'=DDAAZ=60°,则AC'等于（）

A.85B.V85C.5A/2D.50

类型四：利用空间向量的数量积证垂直.

例6.已知空间四边形ABCD中，AB1CD,AC1BD,求证：ADLBC.

举一反三:

【变式1】已知在四棱锥P-ABC。中，底面ABC。为正方形_L平面ABC。,

且Q4=AB=2,点尸分别是PO的中点.

求证：PCA.AF；

【变式2】如图，己知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点M、N

分别是边AB、CD的中点。

(1)求证：MN为AB和CD的公垂线；

(2)求MN的长；

(3)求异面直线AN与MC所成角的余弦值。

家庭件亚

本次课课后练习

一、选择题：

1.对于向量mh,c和实数人下列命题中真命题是()

A.若“力=0,则a=0或方=0B.若&1=0,贝!]2=0或a=0

C.若a2=护,则4=6或缄=一〃D.若irb=(rc,则分=c

2.已知向量小。是平面a的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线I的一个方向向量,

则cz=0且c4=0是/Da的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知a,〃均为单位向量，它们的夹角为60。，那么|a+34=()

A.V7B.710

C.V13D.4

4.若A(x,5—x,2x—l),B(l,x+2,2—x),当网取最小值时，x的值等于()

A.19B.C.§D.更

7714

5.已知向量a,%满足忖=1,忖=4,且a"=2,则a与加的夹角为()

71n…7171

A.—B.—C・—D.—

6432

6.若平面向量B与向量1=(2,1)平行，且|以=2不，则各=()

A.(4⑵B.(-4,-2)C.(6,-3)D.(4,2)或(-4,-2)

7.已知在平行六面体ABCD—AIBIGDI中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1,且彼此

的夹角都是60。，则此平行六面体的对角线AG的长为().

A.6B.V6C.3D.V3

二、填空题：

8.已知单位向量ei，e2的夹角为60。，则|2ei—e2|=.

9.已知a,b是空间两个向量，若|a|=2,|b|=2,\a-b\=y/1,则cos〈a,b)=.

10.已知线段AB的长度为60,AB与直线/的正方向的夹角为120。，则A8在/上的射

影的长度为。

11.已知|a|=30,|Z>|=4,m=a+b,n-a+A,b,〈a,）〉=135°