八年级数学下册提升 第16章 二次根式

八年级数学下册提升第十六章

二次根式

专题1二次根式的概念、性质与乘除

知识要点

1.定义：一般地，式子夜（a20）叫做二次根式.其中“J~”称为二次根号，二次

根号下的。叫做被开方数.

2.性质：8（a》0）是一个非负数，即620.（双重非负性）

3.乘法运算法则：\[a--Jb=x[ab(a^O,l>20).反过来，\[ab=\[a'\[b(a^O,。，0).

除法运算法则：号="（心o,b>o）.反过来，$=坐（心0,b>0）.

4.

5.最简二次根式：我们把满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：

（1）被开方数不含分母；

（2）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式.

6.概念性问题的解决关键在于从概念角度去思考问题解决的方法，这样，复杂的问题

也可以找到解决的突破口.

7.乘除运算的正确与否取决于运算方式的选择是否正确，有时可以先化简，有时可以

先合并.

典例精析

例1要使正互+（-x）°有意义，则x的取值范围是—.

【分析】这里求X的取值范围要考虑三个要点，第一个要点是被开方数1-2x20,第

二个要点是分母x+3W0,第三个要点是0次幕的底数一工¥0,这三个条件只有同时成立该

式子才有意义.

dI

【解】依题意，得《无+3工0,即彳工工一3,解得xW-且犬W—3且xWO.

八2

一%。0尤w0

Ax的取值范围是xW1且xW—3且x#0.

2

【点评】取值范围类型的问题需要我们牢牢抓住对分母、被开方数以及0次基的底数的

本质理解才能解决.

拓展与变式1式子、三的取值范围是______________.答：X>1。

Vx-\

拓展与变式2式子后|的取值范围是---------------答或、＜一2。

拓展与变式3如果〃是任意实数，下列各式中一定是二次根式的是（）.答：C。

例2若丫=6石+而二方+7^二T,求（》+丫尸）的值.

【分析】本题看似无法入手，其实最基本的入手方法在于这个式子的被开方数，1一2x

与2x-l互为相反数，又都是被开方数，因此可以得到《一2：：’,从而得到了=工.后面

[2x-l与02

的问题就迎刃而解了.

【解】H二…丽=七严"

【点评】从被开方数的取值范围入手，是化简复杂根式的一种策略.

拓展与变式4已知y=x/2x-3+\/3-2x,求y的取值范围.

12x-3N0

解:Ay=Oo

[3-2x^02

拓展与变式5已知x=（3-姮亘苴王1）2。”，求X的个位数字.

4+。3-a

\a|-320

解：；3-|a|20,-3,，x=62叫二》的个位数字为6。

3—aw0

拓展与变式6已知实数a满足12017-a|+L-2018=a,则代数式«-20172的值是多

少？

解：；。一201820,|2017—。|=。一2017,。―2017+&一2018=

/.7^2018=2017,“一2018=2017、二。一20172=2018

【反思】所有二次根式的相关运算都是建立在二次根式有意义的基础上进行的，所以当

我们束手无策时，可以考虑其中变量的取值范围，它可能就是一个非常重要的突破口.

例3计算：Sj(-16)(-36)

【解】法1：原式=-6•J(-16)・J(-36)法2：原式=-6•标记

=_#1-4-6=-24下)

=-246

【点评】两种算法的优劣十分明显，第一种算法逆向地使用了二次根式运算法则，极大

地减少了运算量和失误的可能性，正确选择运算方式是运算的关键.

拓展与变式7计算：旧+居x旧.

拓展与变式8).答：Co

A.C.—\[abD.byfab

b

拓展与变式9化简：华R2b

A/3〃,x[b,s/h

^b\[a

2

4

【反思】无论是字母型的化简运算还是数字型的计算，在计算之前都需要我们先选择好

策略，这些计算成立的前提都建立在对运算法则的正确运用的基础之上.

专题突破

1.若J16—a?=y/4—a•《4+a，则。的取值范围是().答：

A.-4WaW4B.心一4C.D.-4<«<4

2.若衣?是整数，则正整数”的最小值是().答：Co

A.4B.5C.6D.7

3.计算：

⑴述+岛岛⑵历'+后.

解：(1)原式==x]x]⑵原式=历式事

3y/6l3a2x2x2a

~~-VIx9〃xl2

=叵一

V93

4.把根号外的因式移入根号内，并写出运算结果.

解：原式=-(1-4)J---

Y1-4

=-7(1-a)2'Jp-

V1-a

=_J]—a

5.已知：x,y,z适合关系式

，3x+y-z-2+J2x+y-z=Jx+y-2002+J2002-%-y,试求x,yfz的值.

.1x+y-2002,0,、八“G----------------r--------八

解n：,・《，/.x+y=2002,Ay]3x+y-z-2+J2x+y-z=0

[2002—x—y20

x+y=2002x=2

3x+y-z-2=0,.1y=2000o

2x+y—z=0z=2004

专题2二次根式的混合运算

知识要点

1.一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相

同的二次根式进行合并.

2.两个常用的二次根式化简公式：77=|。|,（&）?=0（心0）.

3.二次根式的运算需要我们按照算理进行计算.

4.较为复杂的二次根式计算需要我们学会下面的化简技巧：

“单项式型”的二次根式的分母化简法则：3=巫（”＞。）；

“多项式型”的二次根式的分母化简法则（利用平方差公式）：

—!—=___________=&-显例如.[=____=72-1

&+血（&+而（&一aa-b."叫0+1（72+1）（72-1）7

5.化简带有二次根式的式子时，注意判断被开方数的情况.

典例精析

1

例1计算:V104-72+710x>/2-

【分析】本题是非常基础的二次根式运算，只要了解二次根式的基本运算法即可解决问

题.

【解】原式=石+26一半

=3石-9

14后

=----

5°

【点评】简单基础的计算只要我们对运算法则和算理理解到位即可.

拓展与变式1计算：V18---^21H——(^2—1).

25/2

解：原式=30-1+旦0+1

2

572

2

拓展与变式2化简：:历+6g-2x5.

解：原式=26+36-26

=3\fx

拓展与变式3计算：回-（^~^+|0+J（&-3）2.

解：原式=5\/5-(A/5+1+^^/^)+3-

=5夜_及_]_：夜+3一夜

=--j2+2

5

【反思】无论是数字型还是字母型的运算，都需要我们熟悉运算法则与算理，才不会被

任何复杂运算所困惑.

例2下列根式中，与g可以合并的二次根式是（）.

A.424B.V12C，4

D.M

【分析】找到可以合并二次根式的关键是对二次根式进行化简，看化简之后的二次根式

中被开方数的情况.

【解】V724=276,/=2g,/=乎，718=372,

•••答案为B.

【点评】概念性问题要回到对基本概念的理解上，以此解决问题.

拓展与变式4下列各组二次根式中，可以合并的二次根式是（）.答：a

A.6与阮B.6与MC.夜与历

D.6与亚

拓展与变式5下列各组中的两个根式可以合并的是（）.答：8。

A.5y/2x和3y/xB.712^和IT

N3abc.G7和7^

拓展与变式6若最简根式。■与Ja+2%可以合并,则"的值为多少？

〃+。=2

解:由题意可得,：.ab=l

3a=a+2b

【反思】能后合并的问题本质上就是化成最简二次根式之后被开方数是否相等的问题.

例3已知化简："（a7）2+&_2）2.

【分析】在化简77时，依然要注意病=|“|的使用，注意。的取值范围对结果的影

响.

【解】v7（a-l）2+7（«-2）2=^a-l\+\a-2\,而l<a<2,

；・原式=\a-l|+\a—2\=〃-1+2—。=1.

【点评】化简含根号的问题是二次根式中的常见题型,注意被开方的代数式的取值情况.

拓展与变式7若、口1/=2-4,则实数4的取值范围是_答：后2。

V333

拓展与变式8如果a+J/-2a+l=l,求”的取值范围.

解：V7（«-1）2=1-«^0-

拓展与变式9已知。=2-8，化简求值：心+"-'a「2”+—

a-\or-aa

解：Va-l=l-^<0,；.原式=。«-匕」="1+!--

a-\a(a-1)aac

a=2—^3

・二原式=a-\=l->/3

【反思】在处理化简问题时，既要注意正负性的讨论，也要理解已化简好的式子所隐含

的正负性.

专题突破

1.已知6+3/=-xx/Td,则x的取值范围是().答：Do

A.xWOB.xW—3C.工2—3D.—3W

xWO

2.若化简|l-x|-Jd-8x+16的结果是2x-5,则x的取值范围是().答：8。

A.x为任意实数B.1WXW4C.D.x<4

3.化简：(x^y>且x，y均不为

y/x+y/y

甲的解法：爷*辛辛!f4-6；

乙的解法：r二2产=正坐卓二回=五一方.

■Jx+y/y+

下列判断中，正确的是().答：C。

A.甲正确，乙不正确B.甲不正确，乙正确

C.甲、乙都正确D.甲、乙都不正确

4.计算：(1)(7-5夜产8(-7-5夜)如，；(2)(-4-3夜了.

解：(1)原式=一(7-50)(7—5&严17+5应严，(2)原式=(4+301

=-(7-5扬(49-50严7=16+24应+18

=7-5A/2=34+24&

5.若x,y为实数，且y=VTF+屈=I+L求,,+2+2—J2-2+上的值.

2yyxyyx

l-4x201.1

解：，、,••x=-»••y=一

4x-l204-2

•.•原式叶*口-

《+2|一|92|

=4

专题3强化提高

知识要点

典例精析

例1已知x=-^—，求％2—2x+4的值.

V5-1

【分析】类似于之前的求值问题，直接代入数据会造成运算量的激增，所以将数据和式

子进行一些处理是必要的.

【解】•••x=Y—，”5?)=(J+1)(分母化简的思路已在专题2中呈

6-1(V5-1)(75+1)

现过)

x—2x+4=(x—1/+3,当x=J^+l时，原式=5+3=8.

【点评】化简数据是我们比较容易想到的，但在化简数据之后进一步化简式子就需要我

们对式子结构特征有正确的认识.

拓展与变式1已知x=3+l,求(X+%-2。+3+1的值.

XX

解：金-1)2=2,Ax2-2x-l=0,Ax--=2,A(X+-)2=(X--)2+4=8,

XXX

x+-=2V2(舍负)

x

原式=8—4>/2+1=9—4^2

拓展与变式2已知&其中。〈―2,化简：、/元+2〃.

2

解：由题意得，x=Jz")?=1一。+,：•原式=J1+〃+=J(1+=|1+I

•・・〃V-2,A1+-«<0,，原式=-1-L

22

【反思】二次根式的代入求值问题往往需要我们队数字本身或者式子本身进行一定的变

形，这样才能减少运算量.

例2已知。+1=6,求：（1）a--；（2）4a--^=.

aay/a

22

【分析】要想利用。+'=这个条件，必须借助|。+上|与

6之间的联系，这是

a

a+h型代数式与a-h型代数式联系的基本策略.

【解】⑴

•.,”=6〃=36.

a

iVii

aH—=ci"+2H——=36,.*•a2——=34.

a)a~a

->1

从而2H—-=32.•=32,/.a—=±4\/2；

a

(2)・・•(&-=<7—2+—=4,，\[a—=土"=±2.

ayja

【点评】熟悉乘法公式的结构特征，能够巧妙地将能够变成这种结构的代数式关系建立

拓展与变式4已知工=百一&,y=G+&,求上一二的值.

xy

y+x=2\fi

解：由题意得，y-x=2&,.•.原式=匕二=0一”）（¥+初=2&♦2百,彳#。

…1xyw1

拓展与变式5已知z/-1=5〃+5加，其中相＞1,求〃?+,的值.

m

解：由题意得，（W—1）（M+l）=5"?（"广+1）,，"一l=5"z,/n--=5

m

10191/

（m-\—）~=（m--厂+4=29,/.m-\—=<29

mmm

【反思】这样的问题一般来说都不能将数据直接代入，“暴力”求解，而应该在将式子

利用乘法公式或者运算法则做出去恰当变形之后再代入.

…，请你猜想:

（2）计算（写出推导过程）:

（3）请你将才想到的规律用含有自然数〃（〃》1）的代数式表达出来并证明.

【分析】规律型问题需要在计算中找到每个式子的共同特征.

/+2〃+1昌•

〃+2

【点评】一般的规律探究时，利用等式的双向性，可以考虑从简单的方向入手解决问题.

现了什么规律？请用含有〃的式子将规律表示出来，并说明理由和指出n