数学-四川省内江市2025届高三上学期入学零模考试试题和答案

内江市高中2025届零模试题的展开式中的常数项为()A.15B.16C.20D.22A.eB.-2C.-D.03.有4名学生和2名老师站成一排拍照，若2名老师不站两端，则不同排列方式共有()A.72种B.144种C.288种D.576种4.已知离散型随机变量X服从二项分布A.B.C.D.5.已知f(x)=x2+2sin2|((-),|+f,(1),f,(x)为f(x)的导函数，则f,(x)的大致图像是()A.B.CD.6.若过点(m,n)(m>0)可以作两条直线与曲线lnx相切，则下列选项正确的是()27.某物理量的测量结果服从正态分布N(11,σ)，下列选项中正确的是()2A.σ越大，该物理量在一次测量中在(10.8,11.2)的概率越大B.该物理量在一次测量中小于11的概率为小于0.5C.该物理量在一次测量中小于10.98与大于11.02的概率不相等D.该物理量在一次测量中落在(10.8,11.2)与落在(10.9,11.3)的概率不相等8.设a=0.1e0.2,b=,c=0.2e09.为调研加工零件效率，调研员通过试验获得加工零件个数x与所用时间y（单位：min）的5组数据为：B.回归直线=3.4x+必过点(2,9)C.加工6个零件的时间大约为22.2minD.若去掉(3,12)，剩下4组数据的经验回归方程不会有变化10.定义：f,,(x)是函数f,(x)的导数，若方程f,,(x)=0有实数解，则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数=ax3-bx2+的对称中心为(-1,-1).则下列选项正确的有()A.,b=-1+…+f的值是-21C.函数f(x)有一个零点可以作三条直线与y=f(x)图象相切11.甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学相互做传接球训练，球从甲手中开始，等可能地随机传向另外5人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外5人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住.记第n次传球之后球在乙手中的概率为an.则下列正确的有()A.B.为等比数列C.设第n次传球后球在甲手中的概率为bn,b10<a10D.12.两批同种规格的产品，第一批占20%，次品率5%；第二批占80%，次品率为4%，现将两批产品混合，从混合的产品中任取一件，则这件产品是次品的概率为.13.一副扑克共54张牌，无放回地抽取两次，已知第一次抽到的是A，则第二次抽到A的概率为.14.方程x2-2x=0的根个数为.，若方程x2-ax=0(a>1)恰有两个根，则a=.15.已知函数ax3-x2.（1）若f,(1)=1，求函数f(x)在区间[0,2]上的最值；（2）讨论函数y=f(x)的单调性.16.健身运动可以提高心肺功能，增强肌肉力量，改善体态和姿势，降低患病风险.这些好处吸引着人们利用空闲的时间投入到健身运动中，以改善自己的身体状况，增强一下体质.某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取200人进行调查，得到如下列联表：年龄周平均锻炼时长合计周平均锻炼时间少于4小时周平均锻炼时间不少于4小时50岁以下40602575合计65200（1）试根据小概率值α=0.05的x2独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？(x2精确到0.001)；（2）现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取10人做进一步访谈，再从这10人中随机抽取5人填写调查问卷.记抽取5人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为X，求X的分布列和数学期望.参考公式及数据：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.82817.当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响生活的方方面面，人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段.某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计表.x（百万）12345y（千件）0.513.（1）若该公司科研团队计划用方案①=x+作为年销售量y关于年投资额x的回归分析模型，请根据统计表的数据及参考公式，确定该经验回归方程；（2）若该公司科研团队计划用方案②=e0.59x-1.27作为年销售量y关于年投资额x的回归分析模型，0.59x1.27的残差平方和2=0.1122，请根据统计表的数据及参考公式，比较两种模型的拟合效果哪种更好？并选择拟合精度更高的模型，预测年投入额为6百万元时，产品的销售量约为多少计算结果保留到小数点后两位）参考公式及数据18.杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式（1）求图2中第10行的各数之和；（2）从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第15行的第3个数，求取出的所有数之和；（3）在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由.（1）讨论函数f(x)的导函数f,(x)的零点个数；（2）若f(x)有两个极值点x1,x2，求证：内江市高中2025届零模试题的展开式中的常数项为()A.15B.16C.20D.22【答案】A【解析】【分析】利用组合的运算求解即可.令=0→r=2，故常数项为Cx0=15.故选：AA.eB.-2C.-D.0【答案】D【解析】【分析】求出导数，由导数的定义知求f,(1)即可得解.因为f,=-x+所以f,(1)=-1+1=0，所以故选：D3.有4名学生和2名老师站成一排拍照，若2名老师不站两端，则不同排列方式共有()A.72种B.144种C.288种D.576种【答案】C【解析】【分析】首先将2名老师排在中间4个位置中的2个位置，再将其余4名学生全排列，按照分步乘法计数原理计算可得.【详解】首先将2名老师排在中间4个位置中的2个位置，再将其余4名学生全排列，故不同排列方式共有AA=288（种）.故选：C4.已知离散型随机变量X服从二项分布A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据二项分布的概率公式计算可得.因为X~B，所以P故选：A5.已知fx2+2sin2为f的导函数，则f,(x)的大致图像是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据导函数的奇偶性排除BD，再由导函数的单调性排除A，即可得解.所以x-sinx，x∈R所以f,(x)为奇函数，故排除BD，令g(x)=f,(x)，则g,(x)=-cosx，当0<x<时，-cosx<0，所以在上单调递减，排除A.故选：C6.若过点(m,n)(m>0)可以作两条直线与曲线lnx相切，则下列选项正确的是()【答案】B【解析】【分析】设切点根据切线经过点，得到2n+1=lnx0+令=lnx+转化为y=2n+1与f=lnx+0)有两个不同的交点求解.【详解】设切点，因为lnx，所以所以点P处的切线方程为lnx0=又因为切线经过点(m,n)，所以lnx0=，即2n+1=lnx0+则y=2n+1与f=lnx+有两个不同的交点，当m≤0时，f¢(x)>0恒成立，所以f(x)单调递增，不合题意；当m>0时，当0<x<m时，f,(x)<0，当x>m时，f¢(x)>0，故选：B7.某物理量的测量结果服从正态分布N(11,σ2)，下列选项中正确的是()A.σ越大，该物理量在一次测量中在(10.8,11.2)的概率越大B.该物理量在一次测量中小于11的概率为小于0.5C.该物理量在一次测量中小于10.98与大于11.02的概率不相等D.该物理量在一次测量中落在(10.8,11.2)与落在(10.9,11.3)的概率不相等【答案】D【解析】【分析】σ越大，正态密度曲线越“胖矮”，可知选项A错误；根据正态密度曲线的对称性，可判断BCD.【详解】σ2为数据的方差，所以σ越大，数据在均值附近越分散，所以测量结果落在(10.8,11.2)内的概率越小，故A错误;由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量小于11的概率为0.5，故B错误；由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量中小于10.98与大于11.02的概率概率相等，故C错误；由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量在一次测量中落在(10.8,11.2)与落在(10.9,11.3)的概率不相等，故D正确.故选：D8.设a=0.1e0.2,b=,c=0.2e0【答案】B【解析】【分析】先由指数函数的单调性比较a,c与b的大小，再作商比较a,c的大小即可得解.故选：B9.为调研加工零件效率，调研员通过试验获得加工零件个数x与所用时间y（单位：min）的5组数据为：B.回归直线=3.4x+必过点(2,9)C.加工6个零件的时间大约为22.2minD.若去掉(3,12)，剩下4组数据的经验回归方程不会有变化【答案】ACD【解析】【分析】求得数据的样本中心点可求出=1.8可判断A；令x=2代入回归直线方程可判断B；将x=6代入回归方程求得预测值可判断C；根据=3.4x+1.8恒过(3,12)，可判断D.当x=2时，=3.4×2+1.8故加工6个零件的时间大约为22.2min，故C正确；因为=3.4x+1.8恒过(3,12)，所以剩下4组数据的经验回归方程不会有变化，故D正确.故选：ACD.10.定义：f,,(x)是函数f,(x)的导数，若方程f,,(x)=0有实数解，则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数=ax3-bx2+(ab≠0)的对称中心为(-1,-1).则下列选项正确的有()B.f(0)+…+f的值是-21C.函数f(x)有一个零点D.过(|(-3,),|可以作三条直线与y=f(x)图象相切【答案】BD【解析】【分析】求出函数的一阶导数f,(x)，二阶导数f,,(x)，令f,,(x)=0，依题意可得=-1且f=-1，即可求出a、b的值，从而判断A，根据对称性得到f(x)+f(-2-x)=-2，利用倒序相加法判断B，利用导数说明函数的单调性，求出函数的极值，结合零点存在性定理判断C，设切点为T(x0,y0)，利用导数的几何意义求出切线方程，判断关于x0的方程的根的个数即可判断D.【详解】由f(x)=ax3-bx2+，所以f,(x)=3ax2-2bx，f,,(x)=6ax-2b，令f,,(x)=0，得x=，由函数f(x)=ax3-bx2+的对称中心为(-1,-1)， 所以=-1且f(-1)=-a-b+=-1，解得a=-,b=2，故A错误；因为f(x)=ax3-bx2+的对称中心为(-1,-1)，即f(x)+f(-2-x)=-2，f(-2)+f(0)=-2×21=-42，所以因为f(x)=-x3-2x2+，则f,(x)=-2x2-4x=-2x(x+2)，所以当-2<x<0时，f,(x)>0，当x<-2或x>0时，f,(x)<0，所以函数f(x)在(-∞,-2)，(0,+∞)上单调递减，在(-2,0)上单调递增，因此函数f(x)的极大值为f(0)=，极小值为f(-2)=-；所以f(x)在(-3,-2),(-2,0)和(0,1)上存在零点，所以函数f(x)有三个零点，故C错误；设切点为T(x0,y0)，则切线方程为又切线过，则当x<-3或x>-1时，g,(x)>0，g(x)单调递增，当-3<x<-1时，g,(x)<0，以g(x)有3个零点，即方程8x+48x+72x0+1=0有3个不等实根，所以过可以作三条直线与y=f(x)图象相切，故D正确.故选：BD11.甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学相互做传接球训练，球从甲手中开始，等可能地随机传向另外5人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外5人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住.记第n次传球之后球在乙手中的概率为an.则下列正确的有()B.为等比数列C.设第n次传球后球在甲手中的概率为bn,b10<a10【答案】ABD【解析】等比数列的定义求出{an-}的通项公式，即可得到an的通项公式，即可判断A、B、D，同理求出bn，再利用作差法判断C.第n次传球之后球在乙手中，则当n≥2时，第n-1次传球之后球不在乙手中，其概率为1-an-1，第n次传球有的可能传给乙，因此an=于是an-=-an-1-,)|(n≥2)，而a1-=n-1所以{bn-}是以-为首项，公比为-的等比数列，66(5,66(5,66(5,66(5,630(5,630(5,1066(5,66(5,99630(5,630(5,1066(5,66(5,故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出利用构造法求出an、bn的通项公式.12.两批同种规格的产品，第一批占20%，次品率5%；第二批占80%，次品率为4%，现将两批产品混合，从混合的产品中任取一件，则这件产品是次品的概率为.0.042##【解析】【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得.【详解】依题意，由全概率公式得这件产品是次品的概率p=20%×5%+80%×4%=0.042.故答案为：0.04213.一副扑克共54张牌，无放回地抽取两次，已知第一次抽到的是A，则第二次抽到A的概率为. 根据古典概型的概率公式计算可得.一副扑克共54张牌，无放回地抽取两次，已知第一次抽到的是A，则还剩下53张牌，其中有3张A，所以第二次抽到A的概率. 14.方程x2-2x=0的根个数为.，若方程x2-ax=0(a>1)恰有两个根，则a=.【答案】①.3②.e【解析】【分析】由指数函数与二次函数图象易知方程有一个负根，转化为研究x>0时方程根的个数，利用导数研27究函数的大致图象，即可得解.【详解】由x2-2x=0可得x2=2x，由指数函数y=2x与二次函数y=x2图象可知，当x≤0时，图象有一个交点，当x>0时，两边取自然对数，可得2lnx=xln2，即令，则f’，当0<x<e时，f’>0，f单调递增当e<x时，f’(x)<0，f(x)单调递减，所以f又x→0,f(x)→-∞,x→+∞,f(x)→0，所以f(x)=,y=有2个不同交点，即有2个正根，综上可知，方程x2-2x=0的根个数为3个.方程x2-ax=0(a>1)恰有两个根，由上述分析可知必有一个负根，所以当x>0时，方程只有一个正根，即x2=ax有一个正根，取对数，可得2lnx=xlna，即由上述分析可知，当时，即a=e时，方程x2=ax只有一个正根.故答案为：3；e【点睛】关键点点睛：本题的解决关键是，将问题转化为f(x)=与另一常函数的交点问题，从而得解.（1）若f’(1)=1，求函数f(x)在区间[0,2]上的最值；（2）讨论函数y=f(x)的单调性.【答案】（1）最小值为-4，最大值为4（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，由f,(1)=1求出a的值，再求出函数的单调性，求出区间端点函数值与极值，即可得解；（2）求出函数的定义域与导函数，分a=0、a>0、a<0三种情况讨论，分别求出函数的单调区间.【小问1详解】因为f(x)=ax3-x2，所以f,(x)=2ax2-2x，所以f(x)=x3-x2，则f,(x)=3x2-2x=x(3x-2)，所以当0<x<时f,(x)<0，当<x<2时f¢(x)>0，又=0，f=4，f所以函数f(x)在区间[0,2]上的最小值为最大值为f(2)=4；【小问2详解】函数ax3-x2的定义域为R且f,(x)=2ax2-2x=2x(ax-1)，若a=0时，当x<0时f¢(x)>0，当x>0时f,(x)<0，所以f(x)在(-∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减；所以在上单调递增，在上单调递减；若a<0时，则当x<或x>0时f,(x)<0，当<x<0时f¢(x)>0，综上可得：当a=0时f(x)在(-∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减；当a>0时f在上单调递增，在上单调递减；当a<0时f在上单调递减，在上单调递增.16.健身运动可以提高心肺功能，增强肌肉力量，改善体态和姿势，降低患病风险.这些好处吸引着人们利用空闲的时间投入到健身运动中，以改善自己的身体状况，增强一下体质.某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取200人进行调查，得到如下列联表：年龄周平均锻炼时长合计周平均锻炼时间少于4小时周平均锻炼时间不少于4小时50岁以下40602575合计65200（1）试根据小概率值α=0.05的x2独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？(x2精确到0.001)；（2）现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取10人做进一步访谈，再从这10人中随机抽取5人填写调查问卷.记抽取5人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为X，求X的分布列和数学期望.参考公式及数据：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416635.7.87910.828【答案】（1）周平均锻炼时长与年龄有关联（2）分布列见解析，E(X)=3【解析】【分析】（1）计算出卡方，即可判断；（2）首先求出周平均锻炼时长少于4小时、不少于4小时的人数，依题意X所有可能的取值为1,2,3,4,5，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.【小问1详解】零假设H0：周平均锻炼时长与年龄无关联.由2×2列联表中的数据，可得x2=≈5.128，:x2≈5.128>x0.05=3.841.根据小概率值σ=0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为周平均锻炼时长与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.由2×2列联表中的数据计算，50岁以下周平均锻炼时长少于4小时和不少于4小时的频率分别为=0.4由2×2列联表中的数据计算，50岁以上（含50）周平均锻炼时长少于4小时和不少于4小时的频率分别为因为0.75-0.6=0.15，所以50岁以上（含50）周平均锻炼时长不少于4小时的比率比50岁以下高出15个百分点，所以50岁以下和50岁以上（含50）周平均锻炼时长有差异.【小问2详解】抽取的10人中，周平均锻炼时长少于4小时的有=4人，不少于4小时的有=6人，所以X所有可能的取值为1,2,3,4,5，所以随机变量X的分布列为：X12345P142 2121 21142随机变量X的数学期望17.当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响生活的方方面面，人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段.某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计表.x（百万）12345y（千件）0.5135.5（1）若该公司科研团队计划用方案①=x+作为年销售量y关于年投资额x的回归分析模型，请根据统计表的数据及参考公式，确定该经验回归方程；（2）若该公司科研团队计划用方案②=e0.59x-1.27作为年销售量y关于年投资额x的回归分析模型，=e0.59x-1.27的残差平方和2=0.1122，请根据统计表的数据及参考公式，比较两种模型的拟合效果哪种更好？并选择拟合精度更高的模型，预测年投入额为6百万元时，产品的销售量约为多少计算结果保留到小数点后两位）参考公式及数据（2）方案②非线性回归方程拟合效果更好，9.68千件.【解析】【分析】（1）根据所给数据，利用公式求出，可得解；（2）计算方案①残差和与方案②比较可得出方案②更好，再由所给方程求出预测值即可.【小问1详解】【小问2详解】根据题意可得如下数据：x12345y0.5135.5y^y2.33.54.7由于1.9>0.1122，故方案②非线性回归方程拟合效果更好.故当年投入额为6百万元时，产品的销售量约为9.68千件.18.杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式（1）求图2中第10行的各数之和；（2）从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第15行的第3个数，求取出的所有数之和；（3）在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由.（2）560（3）存在，45,120,210【解析】【分析】（1）根据二项式系数的性质求和即可；（2）根据组合数的性质化简求值即可；（3）假设存