江苏省淮安市协作体联盟2023-2024学年高二下学期期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省淮安市协作体联盟2023-2024学年高二下学期期中数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分.1.已知向量则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故选：D2.A同学准备五一假期从淮安到南京旅游，目前有两种方案可供选择，淮安东站到南京南站有8列高铁可供选择，淮安汽车站到南京汽车站有6辆大巴可供选择，请问该生有多少种方法去南京（）A.14种 B.48种 C.196种 D.2304种〖答案〗A〖解析〗根据分类加法计数原理可得，该生有种方法.故选：A3.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于，则直线l与平面α所成的角等于（）A. B. C. D.或〖答案〗C〖解析〗设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，所以，所以.故选：C4.可以表示为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，故选：D5.的展开式中的系数为（）A.12 B.16 C.20 D.24〖答案〗B〖解析〗由二项式的展开式的通项为，则展开式中项为，所以展开式中的系数为.故选：B.6.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，其中一个场馆去1人，一个场馆去2人，一个场馆去3人，则不同的安排方法共有（）A.360种 B.120种 C.60种 D.30种〖答案〗A〖解析〗依题意从6同学中选出1人安排到一个场馆有，再从剩余5人安排2人到一个场馆是，最后剩余3人安排到一个馆，根据分步乘法原理，不同的安排方法共有种．故选：A．7.平行六面体中，，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为六面体是平行六面体，所以，所以，所以.故选：B8.已知四面体，其中，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗将四面体放在如图所示的长方体中，因为，，设长方体的长，宽，高分别为，，，则，可得，，以为坐标原点，以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以的中点，所以，，所以，，，所以．设直线，所成的角为，,，所以,．故选：A．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.在的展开式中，下列说法正确的是（）A.各项系数和为2187B.第4项与第5项的系数相等C.二项式系数最大为35D.的项的系数为21〖答案〗AC〖解析〗对于A中，令，可得，即展开式各项系数和为，所以A正确；对于B中，二项式展开式的通项为，可得展开式的第4项的系数为，第5项的系数为，所以展开式第4项和第5项的系数不相等，所以B不正确；对于C中，由展开式的二项式系数的性质，可得展开式的第4和5项的二项式系数最大，二项式系数的最大值为，所以C正确；对于D中，由二项式展开式的通项为，可得的项的系数为，所以D错误.故选：AC.10.下列说法正确的是（）A.在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事B.从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是35C.能被100整除D.已知，则，〖答案〗ACD〖解析〗对于A中，由分类计数原理的概念知，在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事，所以A正确；对于B中，从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，可得分为两类：①当1男2女时，有种；②当2男1女时，有种，由分类计数原理得，共有种不同的选法，所以B错误；对于C中，由，所以能被整除，所以C正确；对于D中，由，可得，所以D正确.故选：ACD.11.在正方体中，点分别是面和面的中心，则下列结论正确的是（）A.与共面B.与夹角为C.平面与平面夹角的正弦值为D.若正方体棱长为2，则到直线的距离〖答案〗ACD〖解析〗对于A，由于，而与显然是共面向量，所以与共面，故A正确；对于B，因为，所以异面直线与所成的角就是，而在三角形中，由正方体和各面对角线长相等，可知它是等边三角形，所以，即与夹角为，故B错误；对于C，如图建系：设正方体的边长为，可知：，，，则设平面的法向量为则，令，则，即而平面的法向量可以取轴方向上的单位向量则，即，所以平面与平面夹角的正弦值为，故C正确；对于D，过点作的垂线，垂足为，由点为中心，可知为的中点，由正方体可知平面，因为平面，所以，因为正方体棱长为，所以，，则由勾股定理得：，解等腰三角形得：底边边上的高为，所以三角形面积为，即点到直线的距离等于，故D正确；故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，则向量与的夹角为_____〖答案〗〖解析〗设向量与的夹角为，则，故.故〖答案〗为：13.已知随机事件A.B满足，则_____〖答案〗〖解析〗因为，所以，所以，故〖答案〗为：14.某校甲、乙等6位同学五一计划到涟水战役烈士纪念馆、周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园研学，每个地方至少去1人．（用数字表示）（1）有________种不同的安排方法；（2）由于特殊情况五一节时甲取消研学且乙不去涟水战役烈士纪念馆，有________种不同的安排方法．〖答案〗①540②100〖解析〗（1）6位同学分为3组可以分三类.第一类：1人，1人，4人分组，有种；第二类：1人，2人，3人分组，有种；第三类：2人，2人，2人分组，有种.根据分类加法计数原理，共种.再将3组按照全排列的方式分到涟水战役烈士纪念馆、周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种.根据分步乘法计数原理，共种.（2）由题意可知，还有乙与4位同学，其中乙不去涟水战役烈士纪念馆.按照去涟水战役烈士纪念馆的人数可以分为3类.第一类：恰有1人去涟水战役烈士纪念馆.第一步，除去乙同学外的4人选取1人去涟水战役烈士纪念馆，有种；第二步，含乙在内的4位同学分两组，有种；第三步，两组同学分到周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种.第一类共种.第二类：恰有2人去涟水战役烈士纪念馆.第一步，除去乙同学外的4人选取2人去涟水战役烈士纪念馆，有种；第二步，含乙在内的3位同学分两组，有种；第三步，两组同学分到周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种.第二类共种.第三类：恰有3人去涟水战役烈士纪念馆.第一步，除去乙同学外的4人选取3人去涟水战役烈士纪念馆，有种；第二步，含乙在内的2位同学分到周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种.第三类共种.根据分类加法计数原理，共种.故〖答案〗为：540；100.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.求值（用数字表示）（1）（2）（3）解：（1）；（2）；（3）依题意可得，又，解得或，当时；当时.16.已知点（1）表示出，并求（2）证明：与四点共面解：（1）,所以，故，（2）设，解的，，则共面，又因为为公共点，所以这四个点共面17.4月21号，激情澎湃的2024淮安西游乐园淮安马拉松暨大运河马拉松系列赛（淮安站）盛大开跑，淮安市协作体6所联盟学校每校安排一男一女两位同学共12人参加此次盛事，主办方安排这12位同学中的四位与冠亚季军合影.根据下列条件解答问题：（用数字表示）（1）.4人均来之不同学校有多少种安排；（2）.4人中有男有女有多少种安排；（3）.若4人已经选出请分别解答下列两个问题①4名同学不相邻；②冠军在中间，亚军季军不在冠军同侧.解：（1）根据题意，在6个学校中选出4个，再在每个学校的2人中再选出1人即可，有种安排方法；（2）根据题意，在12人中选出4人，有种排法，其中只有男生的选法有种，只有女生的选法有种,则4人中有男有女有种，（3）根据题意，先排好冠亚季军，再将4名学生安排在空位中，则有种安排方法；②根据题意，6人任意排列，排除其中亚军季军在冠军同侧情况即可，有种排法.18.已知三棱锥中和所在平面互相垂直，，求（1）与所成角的余弦值；（2）与平面所成角的正弦值；（3）直线上是否存在点使得二面角为，若存在求出BP的长，不存在说明理由.解：（1）在平面ABC内过B作垂直于BC的直线BE，因为平面ABC与平面BDC垂直，且平面平面，所以平面，因为平面，所以，又，所以BE，BD，BC两两垂直，建立如图空间直角坐标系则，，所以异面直线与所成角的余弦值为;（2）平面BCD的法向量，所以，则与平面所成角的正弦值为；（3）假设存，设，设平面CDP的法向量，，取，则，，则，所以或，则