2024-2025学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.2 函数的极值与导数教案 文 新人教A版选修1-1

2024-2025学年高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.2函数的极值与导数教案文新人教A版选修1-1课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教学内容本节课的教学内容来自2024-2025学年高中数学第三章导数及其应用3.3节导数在研究函数中的应用3.3.2小节，即“函数的极值与导数”。本节课的主要内容有：

1.理解极值的概念，掌握极值与导数的关系；

2.学会利用导数研究函数的单调性；

3.学会利用导数求函数的最值。

教学重点为利用导数研究函数的单调性和求函数的最值，教学难点为理解极值的概念和掌握极值与导数的关系。二、核心素养目标本节课的核心素养目标为：

1.逻辑推理：通过学习函数的极值与导数的关系，培养学生的逻辑推理能力，使其能够运用导数性质合理推理得出函数的单调性和最值。

2.数学建模：通过实际例子，让学生学会利用导数建立数学模型研究函数的单调性和最值问题，提高学生的数学建模能力。

3.直观想象：通过图形演示和实际例子，帮助学生建立直观的函数极值与导数关系图像，提升学生的直观想象能力。

4.数学运算：引导学生运用导数运算法则，计算函数的单调区间和最值，提高学生的数学运算能力。三、重点难点及解决办法重点：1.函数的极值与导数的关系；2.利用导数研究函数的单调性；3.利用导数求函数的最值。

难点：1.理解极值的概念和判断极值点；2.掌握导数在研究函数单调性中的应用；3.求函数最值时的分类讨论。

解决办法：1.通过举例和图形演示，让学生直观理解极值的概念和判断极值点；2.引导学生运用导数性质和单调性定义，突破利用导数研究函数单调性的难关；3.通过典型例题，让学生学会在不同情况下求函数最值的方法和技巧，提高分类讨论能力。四、教学资源1.软硬件资源：多媒体投影仪、白板、教学卡片、计算器、计算机等。

2.课程平台：学校教学平台，用于上传教学资料和布置作业。

3.信息化资源：网络教学资源，包括教学视频、动画、图形演示等。

4.教学手段：讲练结合、小组讨论、问题引导、案例分析等。五、教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：提供函数极值与导数的预习PPT、视频讲解和相关的数学文章，要求学生提前熟悉相关概念。

-设计预习问题：提出问题如“如何判断函数的极值点？”、“如何运用导数研究函数的单调性？”引导学生深入思考。

-监控预习进度：通过在线平台收集学生的预习笔记和疑问，及时了解学生的预习情况。

学生活动：

-自主阅读预习资料：学生独立阅读教材和提供的资源，理解函数极值与导数的基本概念。

-思考预习问题：学生针对问题进行思考，尝试用自己的语言解释极值和导数之间的关系。

-提交预习成果：学生将通过思维导图、概念图或简要笔记形式提交自己的预习成果。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：鼓励学生独立探索，提高自主学习能力。

-信息技术手段：利用在线平台促进资源共享和互动。

作用与目的：

-帮助学生建立对函数极值与导数基础知识的理解。

-培养学生的自主学习能力和问题解决能力。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过展示实际问题，如物体的运动轨迹，引入函数极值的概念。

-讲解知识点：详细讲解如何通过导数来确定函数的极值点，并通过例题演示。

-组织课堂活动：分组讨论，让学生尝试解决不同类型的极值问题，并分享解题思路。

-解答疑问：针对学生在实践中遇到的问题，进行个别辅导或集体讲解。

学生活动：

-听讲并思考：学生跟随教师的讲解，积极思考极值问题的解决方法。

-参与课堂活动：学生在小组中合作解决问题，分享自己的解题过程。

-提问与讨论：学生针对不解之处提出问题，并在小组内展开讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：通过讲解使学生掌握极值点的判断方法。

-实践活动法：通过解决实际问题，培养学生的动手能力。

-合作学习法：通过小组合作，增强学生的团队协作能力。

作用与目的：

-加深学生对函数极值与导数关系的理解。

-提升学生解决实际问题的能力。

-培养学生的团队合作和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：设计具有梯度的练习题，巩固学生对极值概念的理解。

-提供拓展资源：推荐一些高级数学文章或视频，供对数学有深入学习兴趣的学生进一步探索。

-反馈作业情况：批改作业，并提供个性化的反馈意见。

学生活动：

-完成作业：学生独立完成作业，巩固新学的知识。

-拓展学习：学生根据个人兴趣选择拓展资源进行深入学习。

-反思总结：学生总结自己在本次课程中学到的知识和技能，思考如何更好地应用。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：鼓励学生自主学习和自我探索。

-反思总结法：引导学生通过反思提高自我认知。

作用与目的：

-通过作业巩固学习成果，确保学生能够独立解决问题。

-拓展学生的知识视野，激发深入学习的兴趣。

-通过反思总结，帮助学生发现自身不足，促进自我提升。六、学生学习效果此外，学生们在自主学习能力和团队合作方面也取得了显著的进步。他们能够独立地阅读和理解预习资料，主动思考并提出问题。在小组讨论中，学生们能够积极地参与讨论，并与团队成员共同解决问题，从而提高了沟通和协作能力。

此外，学生们在数学思维和逻辑推理方面也得到了锻炼。他们能够通过导数性质进行合理的推理，得出函数的单调性和极值点。在解决实际问题时，学生们能够运用数学建模的方法，将实际问题转化为数学问题，并通过导数来求解。七、重点题型整理1.题型一：判断函数的极值点

题目：已知函数f(x)=x^3-3x^2-9x+5，求函数的极值点。

解答：首先求导数f'(x)=3x^2-6x-9。令f'(x)=0，解得x=-1和x=3。根据导数的符号变化，可以得出函数在x=-1处取得极大值，在x=3处取得极小值。因此，函数的极值点为(-1,f(-1))和(3,f(3))。

2.题型二：利用导数研究函数的单调性

题目：已知函数g(x)=2x^3-3x^2+1，求证函数在区间(-∞,1)上单调递减，在区间(1,+∞)上单调递增。

解答：求导数g'(x)=6x^2-6x。令g'(x)<0，解得x<1或x>1。因此，函数在区间(-∞,1)上单调递减，在区间(1,+∞)上单调递增。

3.题型三：求函数的最值

题目：已知函数h(x)=x^2-4x+5，求函数的最小值。

解答：首先将函数写成完全平方的形式，即h(x)=(x-2)^2+1。由于(x-2)^2≥0，所以h(x)的最小值为当(x-2)^2=0时的值，即h(2)=1。因此，函数h(x)的最小值为1。

4.题型四：利用导数求解实际问题

题目：一辆汽车从静止开始做直线运动，其加速度a(t)=4t-3（m/s^2），求汽车速度达到10m/s所需的最短时间。

解答：设汽车速度为v(t)，则v(t)=at=(4t-3)t=4t^2-3t。求导数v'(t)=8t-3。令v'(t)=0，解得t=3/8。将t=3/8代入v(t)中，得v(3/8)=(4*3/8-3*3/8)=3/2*3/8=9/16。因此，汽车速度达到10m/s所需的最短时间为3/8秒。

5.题型五：利用导数研究函数的极值问题

题目：已知函数φ(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1，求函数的极值。

解答：求导数φ'(x)=4x^3-12x^2+12x-4。令φ'(x)=0，解得x=1和x=-1。通过二阶导数检验，可以得出x=1是极大值点，x=-1是极小值点。因此，函数的极值为φ(1)和φ(-1)。八、教学反思与改进这节课结束后，我让学生填写了教学反馈表，以了解他们对本节课的内容和教学方法的满意程度。根据学生的反馈，大多数学生认为本节课的内容难度适中，但有些学生觉得在理解函数极值的概念上还有些困难。此外，学生普遍认为课堂上的小组讨论和例题分析对他们掌握知识很有帮助。

在反思这节课的教学过程中，我发现学生在理解函数极值问题时，往往难以把握极值点的判断方法。因此，在未来的教学中，我计划加强与学生的互动，通过更多具体的例子和练习题，帮助他们更好地理解和