2023-2024学年高一数学2019试题4.2对数

4.2对数一、单选题1．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（

）（）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6【答案】C【解析】由，当时，，则.故选：C.2．已知，，，则的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，，所以可知，故选：C3．若，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得且，∴，当且仅当，即时取等号.故选：A4．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W､信道内信号的平均功率S､信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（

）（附：）A．20% B．23% C．28% D．50%【答案】B【解析】将信噪比从1000提升至5000时，C大约增加了.故选：B.5．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，．故选：B．6．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（

）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．69【答案】C【解析】，所以，则，所以，，解得.故选：C.7．设，，则A． B． C． D．【答案】D【解析】，，则.故选D8．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足,令,.故选A.二、多选题9．方程的解为（

）A．10 B． C．1000 D．【答案】BC【解析】对两边取以10为底的对数，得，即，解得或，所以或．故选：BC．10．（多选）已知，，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由，得．，故B正确；由，，且得，故A正确；，故C错误；，故D正确．故选ABD．11．设，则（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】解：∵a＝log0.20.3，b＝log20.3<0，∴,，，∵，，∴ab＜a+b＜0．故选BCD12．（多选）音乐是由不同频率的声音组成的，若音1(do)的频率为f，则简谱中七个音1(do)，2(re)，3(mi)，4(fa)，5(so)，6(la)，7(si)组成的音阶频率分别是f，，，，，，，其中相邻两个音的频率比是一个音到另一个音的音阶，上述音阶只有两个不同的值，记为，，称为全音，称为半音，则下列关系式成立的是（参考数据：，）（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】由题意可知，相邻两个音的频率比分别为，，，，，，所以，，对于A，，所以故A错误，对于B，，所以B错误，对于C，，故C正确．对于D，，故D正确．故选：CD．三、填空题13．若，，则用，表示等于________.【答案】【解析】因为，所以，得到..故答案为：14．若，则________．【答案】64【解析】.15．如果，那么__________．【答案】32【解析】因为，故，故故答案为：3216．解指数方程：__________.【答案】或【解析】由得，即，当即时，显然成立；当时，，解得；故方程的解为：或.故答案为：或.四、解答题17．计算下列各式的值：（1）；（2）.【解析】（1）原式=；（2）原式=.18．计算下列各式：（1）；

（2）；（3）．【解析】解：（1）（2）（3）19．设实数a，b，c为正数，且满足，，，求实数a，b，c的值．【解析】由得，即，由得，又，∴.20．（1）证明对数换底公式：（其中且，且，）（2）已知，试用表示.【解析】（1）设，写成指数式.两边取以为底的对数，得.因为，，，因此上式两边可除以，得.所以，.（2）.21．已知a>0且a≠1，M>0，N>0.(1)举出一个反例说明不成立；(2)证明：.【解析】（1）假设，则，，.因为，所以当时不成立.（反例不唯一，计算正确即可）（2）令，则，，所以.22．设，，均为正数，且.（1）试求，，之间的关系.（2）求使成立，且与最近的正整数（即求与的差的绝对值最小的整数）.（3）