专题07 一次函数的应用（铅锤法求面积）（解析版）-2024年常考压轴题攻略（9年级上册人教版）

专题07一次函数的应用（铅锤法求面积）【方法说明】常规图形中：平面直角坐标系中：例1．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在直角坐标系中，已知直线与x轴相交于点A与y轴交于点B．(1)A、B两点坐标分别为________，________；(2)点在x轴上，若点P是直线上的一个动点，当时，求点P的坐标．【答案】(1)，；(2)或【分析】（1）根据直线，令求出的值，令求出的值，即可得点、的坐标；（2）分类讨论：点在轴的上方和下方，两种情况，利用三角形的面积公式和已知条件，列出方程，利用方程求得点的坐标即可．【详解】（1）解：对于直线，当时，．∴，当时，，∴，∴．故答案为：，；（2）解：∵，∴，∴．∵，∴；①当点P在x轴下方时，，∴，∵点P在x轴下方，∴，当时，代入得，，解得．∴；②当点P在x轴上方时，，∴，∵点P在x轴上方，∴．当时，代入得，，解得．∴，综上所述，满足条件的点P的坐标为或．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积等知识，题中运用点的坐标与图形的知识求出相关线段的长度，注意分类讨论和“数形结合”数学思想的应用是解决问题的关键．例2．（2022秋·四川成都·八年级统考期中）如图1，已知直线与y轴、x轴分别交于两点，以B为直角顶点在第一象限内作等腰，所在直线为．(1)求两点的坐标；(2)求C点坐标及b的值；(3)如图2，直线交y轴于点D，在直线上取一点E，使与x轴相交于点F．①求证：；②在直线上是否存在一点P，使的面积等于的面积？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)，(2)点；(3)①见解析；②点P的坐标为或【分析】（1）中求出时y的值和时x的值即可得；（2）作轴，证明得，，据此可得，再根据待定系数法求解可得；（3）①过点C作轴于点G，作轴于点M，轴于点N，证明、，即可求解；②当点P在点A的下方时，由的面积，即可求解；当点在点A的上方时，则点A是点的中点，即可求解．【详解】（1）解：中，当时，，则，当时，，解得，则；（2）如图①，过点C作轴于点D，则，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，则点，∵直线所在直线解析式为，将点代入，得：，解得．（3）①过点C作轴于点G，作轴于点M，轴于点N，则，∵，∴是的中垂线，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；②如图③，作轴于点H，由知，即，则，∴，由①知，根据、得直线解析式为，当时，，解得，∴，设，当P在点A的下方时则故当在点A的上方时则点A是点的中点，由中点坐标公式得：点P的坐标为∴点P的坐标为或．【点睛】本题是一次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及割补法求三角形的面积等知识点．例3.（2022春·河南南阳·八年级统考期中）如图，一次函数与两坐标轴分别相交于点A．B，一次函数的图象过点B，并与轴交于点C，AC=10．(1)求一次函数的关系式；(2)点P是一次函数图象上的动点，设点P横坐标为n，△PBC的面积是S，求S关于n的函数关系式．【答案】(1)(2)当时，；当时，【分析】（1）用待定系数法求解析式即可；（2）画出示意图分三种情况当时，当时以及当时分别求解即可．（1）∵直线经过点A、B∴A(-2，0)、B(0，4)∵AC=10∴C(8，0)∵一次函数经过点B、C，∴解得∴．（2）①当时，②当时，③当时，∴当时，；当时，．【点睛】本题考查了待定系数法确定一次函数解析式，直线的交点坐标等知识点，熟练掌握待定系数法，画出示意图是解题的关键．例4．（2022春·重庆·七年级重庆十八中校考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B两点分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=OB=3．(1)求点A、B的坐标；(2)如图1，若点C(−2，2)，求三角形ABC的面积；(3)若点P是第一、三象限角平分线上一点，且三角形ABP的面积为，求点P坐标．【答案】(1)A（3，0），B（0，3）；(2)三角形ABC的面积为；(3)点P坐标为（8，8）或（-5，-5）．【分析】（1）由OA=OB=3即可得出答案；（2）找出三角形的底和高，根据三角形面积公式即可得解；（3）根据点在象限平分线上的特点和三角形面积即可求出点P坐标．【详解】（1）解：由OA=OB=3，可知：A（3，0），B（0，3）；（2）解：设AC交y轴于点D，如图．设直线AC的解析式为y=kx+b，代入点A、C坐标，得：，解得：，则直线AC解析式为y=-x+．令x=0，则y=，BD=BO-DO=3-=，∴S△ABC=S△CBD+S△ABD=BD•2+BD•3=×=；（3）解：由（2）可知：S△AOB=<，∴点P不在三角形ABO内部．∵点P在第一、三象限角平分线上，∴设点P（a，a）．如图.①当P在第一象限时，S△ABP=S△PAO+S△PBO-S△AOB=OA•yp+OB•xp-OA•OB=•3a+•3a-×3×3=．∴a=8，故P（8，8）；②当P在第三象限时，S△ABP'=S△P'AO+S△P'BO+S△AOB=•(−3a)+•(−3a)+×3×3=．∴a=-5，故P'（-5，-5），综上，点P坐标为（8，8）或（-5，-5）．【点睛】本题考查了一次函数的应用，正比例函数的性质，点的坐标以及三角形面积等知识，熟练掌握这些是解题的关键．例5．（2021春·湖北黄冈·八年级统考期末）已知：如图，直线：分别交，轴于、两点．以线段为直角边在第一象限内作等腰直角，；直线经过点与点，且与直线在轴下方相交于点．（1）请求出直线的函数关系式；（2）求出的面积；（3）在直线上不同于点，是否存在一点，使得与面积相等，如若存在，请求出点的坐标；如若不存在，请说明理由；（4）在坐标轴上是否存在点，使的面积与四边形的面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，点坐标为；（4）存在，坐标为或或．【分析】（1）先求得A、B两点坐标，然后过点C作CM⊥x轴于点M，利用AAS可证明△BOA≌△AMC，确定点C的坐标，再用待定系数法求函数解析式；（2）联立方程组求得点E的坐标，利用三角形面积公式即可求得面积；（3）结合两个三角形的面积相等的特点，当两个三角形等高时面积相等，从而求得结果；（4）易求得四边形ABCD的面积，分点F在x轴或y轴上两种情况，在x轴上又分三种情况，设点F的坐标，结合三角形和四边形面积相等列方程求解．【详解】（1）∵直线分别交轴，轴于，两点，令，则，∴．令，则，∴．过点作轴于点M，则∠AOB=∠CMA=90°，∴∠CAM+∠ACM=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAO+∠CAM=90°，∴∠BAO=∠ACM∵△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC=90°∴AB=AC在△BOA与△AMC中，

∴，∴，，∴OM=OA+AM=3+4=7，∴，又∵，设直线的解析式为，则有解得：∴直线的解析式为：．（2）联立方程组，解得：，∴．∴．（3）存在．∵与面积相等，且底AD相等，∴底边AD上的高相等，∴P点的纵坐标为，∴在中，令，则，∴，∴点坐标为．（4）存在．在Rt△AOB中，由勾股定理得：，，=14．①当点F在y轴上时，设F点坐标为(0，y)，如图，∵的面积与四边形的面积相等，∴，解得：y=8或y=0，∴坐标为或；②当点F在x轴上时，设F点坐标为(m，0)，若F点在O点左侧，则m<0，如图，则，∴，解得：m=0(不合题意，舍去)若点F在线段OM上（包括两个端点），即0≤m≤7，如图，则，∴，解得：m=0∴点坐标为；若点F位于点M的右侧，则m>7，如图，则，∴，解得：m=6（不合题意），此时点F不存在；或，∴，解得：m=56∴点坐标为；综上所述，满足条件的点坐标为或或．【点睛】本题是一次函数的应用问题，考查了待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，图形面积的计算，理解一次函数的性质，利用数形结合和分类讨论思想解题是关键．课后训练1．（2023春·四川成都·八年级校考期中）已知一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点为轴负半轴上一点，且．

(1)求直线的函数表达式；(2)点是直线上的一动点，在轴上是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，找出点的坐标，若不存在，请说明理由；(3)如图2，点是直线上的一动点，连接，使得将四边形的面积分成的两部分，请求出满足条件的点的坐标．【答案】(1)(2)的坐标为或(3)或【分析】（1）先求得的坐标，根据已知条件得出，待定系数法求直线解析式，即可求解；（2）分两种情况讨论，①当为边时，②当为对角线时，分别画出图形，根据平行四边形的性质，即可求解；（3）根据题意可得或，进而得出点的坐标，求得直线的解析式，联立，即可求解．【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，当时，；当时，∴,，∴∵，∴即设直线的解析式为，∴解得：∴直线解析式为；（2）解：当为边时，∵∴轴，∴点的横坐标为,将代入，得∴；

当为对角线时，的中点为，则∴

综上所述，的坐标为或；（3）解：如图所示，设交轴于点，

∵将四边形的面积分成的两部分，则或∵∴则或当时，设直线的解析式为∴，解得：∴直线的解析式为联立，解得：∴当时，设直线的解析式为∴，解得：，∴直线的解析式为联立，解得：，∴综上所述或．【点睛】本题考查了一次函数与几何图形综合，平行四边形的性质，待定系数法求直线解析式，求两直线交点坐标，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．2．（2023秋·山东泰安·七年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，直线经过原点和点，经过点A的另一条直线交轴于点，交轴于点，点坐标为

(1)求直线的表达式；(2)求直线的表达式；(3)求的面积；(4)点是第三象限在直线上一点，满足，求点坐标．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）根据待定系数法求解即可；（3）过点A作于点，通过点A、B的坐标可求，即可求解；（4）设，根据，求解即可．【详解】（1）解：设直线的解析式为：，其中点在直线上．直线的解析式为．（2）解：设直线的解析式为：．点在直线上，代入可得：，解得：直线的表达式为．（3）解：点在轴上，设点坐标，∴，解得：，∴点坐标为，过点A作于点，如图，

；（4）解：如图，

设，∵，∴，由（3）得：，∴，∵点是第三象限在直线上一点，∴，∴点坐标为；【点睛】本题考查了一次函数的应用，涉及到待定系数法求解析式、求面积等，灵活运用所学知识是关键．3．（2023春·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，过点的直线与坐标轴相交于、两点，已知点是第二象限的点，设的面积为．

(1)写出与之间的函数关系，并写出的取值范围；(2)当的面积为时，求出点的坐标；(3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点，使得与、、中任意两点形成的三角形面积也为，若存在，请直接写出点的坐标．【答案】(1)(2)(3)存在，，，，，，．【分析】（1）先求出点A坐标，由可求函数关系式，（2）将代入函数解析式可求得点；（3）根据三角形三个顶点不同分类讨论求出点M．【详解】（1）解：点在第二象限，则因为当时，x，则（)（2）由（1）可知当则此时：所以（3）存在点M满足条件，I．当M点在y轴时，若，即，∴，∴，∴当点M在原点上方时，点M坐标为，∴当点M在原点下方时，点M坐标为，II．当M点在y轴时，若，即，∴，∴，∴当点M在原点上方时，点M坐标为，∴当点M在原点下方时，点M坐标为；III．当M点在y轴时，若，即，

，∴，∴当点M在点B上方时，点M坐标为，∴当点M在点B下方时，点M点M与点O重合，不合题意舍去；；IV．当M点在x轴时，若，即，∴，∴，∴当点M在原点右侧时，点M坐标为，∴当点M在原点左侧时，点M坐标为，与点A重合，不合题意舍去；V．当M点在x轴时，若，即，∴，∴，∵点A坐标为，∴当点M在点A左侧时，点M坐标为，∴当点M在点A右侧时，点M与点O重合，不合题意舍去；综上所述：点M坐标为，，，，，．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程，解题的关键是分类讨论的数学思想．4．（2022秋·山东济南·八年级校联考期中）如图，在直角坐标系中，已知直线与x轴相交于点A与y轴交于点B．(1)A点和B点坐标分别为，；(2)点C在x轴上，若是以为腰的等腰三角形，求点C的坐标；(3)点在x轴上，若点P是直线上的一个动点，当时，求点P的坐标．【答案】(1)(2)C的坐标是或或(3)点P的坐标为或【分析】（1）根据直线，令求出x的值，令求出y的值，即可得点A、B的坐标；（2）根据等腰三角形的性质和两点间的距离公式解答；（3）分类讨论：点P在x轴的上方和下方，两种情况，利用三角形的面积公式和已知条件，列出方程，利用方程求得点P的坐标即可．【详解】（1）对于直线，当时，．∴，当时，，∴，∴．故答案为：；（2）如图，①当时，点C与点关于y轴对称，故符合题意；②当时，∵∴，∵∴综上所述，符合条件的点C的坐标是或或；（3）∵∴∴∵∴；①当点P在x轴下方时，∴∵点P在x轴下方，∴当时，代入得，，解得∴；②当点P在x轴上方时，∴∵点P在x轴上方，∴当时，代入得，，解得∴综上所述，满足条件的点P的坐标为或．【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，题中运用点的坐标与图形的知识求出相关线段的长度是解题的关键．另外，注意分类讨论和“数形结合”数学思想的应用．5.（2023春·海南省直辖县级单位·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D（0，﹣6）在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，直线CD交AB于点E．(1)求点A、B、C的坐标；(2)求△ADE的面积；(3)y轴上是否存在一点P，使得＝，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），点C的坐标为（8，0）(2)9(3)y轴上存在一点P（0，﹣3）或（0，﹣9），使得＝【分析】(1)直线y＝x+4中，分别令x=0、y=0，确定B、A坐标，运用勾股定理计算AB，根据折叠性质，AC=AB，确定OC的长即可确定点C的坐标．（2）证明Rt△AOD≌Rt△AED，根据计算即可．（3）设点P的坐标为（0，m），则DP＝|m+6|．根据，计算m的值即可．【详解】（1）当x＝0时，y＝x+4＝4，∴点B的坐标为（0，4）；当y＝0时，x+4＝0，解得：x＝3，∴点A的坐标为（3，0）．在Rt△AOB中，OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝5．由折叠的性质，可知：∠BDA＝∠CDA，∠D＝∠C，AC＝AB＝5，∴OC＝OA+AC＝8，∴点C的坐标为（8，0）．（2）∵∠B＝∠C，∠OAB＝∠EAC，∠B+∠AOB+∠OAB＝180°，∠C+∠AEC+∠EAC＝180°，∴∠AEC＝∠AOB＝90°=∠AED＝∠AOD．又∵∠BDA＝∠CDA，在Rt△AOD和Rt△AED中，∴Rt△AOD≌Rt△AED，∴．（3）存在点P，且坐标为（0，-3）或（0，-9），理由如下：设点P的坐标为（0，m），则DP＝|m+6|．∵＝，∴，∴|m+6|＝3，解得：m＝﹣3或m＝﹣9，∴y轴上存在点P（0，﹣3）或（0，﹣9），使得＝．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，解析式的确定，折叠的性质，一次函数与几何图形的综合，熟练掌握待定系数法，折叠性质，一次函数与几何图形的综合是解题的关键．6.（2022春·湖南岳阳·八年级统考期末）如图，一次函数y＝2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点B、A，以AB为边在第一象限内作等腰直角△ABC，且∠ABC＝90°，过C作CD⊥x轴于点D，OB的垂直平分线l交AB于点E，交x轴于点G，连接CE．(1)求点A、B、C的坐标；(2)判定四边形EGDC的形状，并说明理由；(3)点M在直线l上，使得S△ABM＝S△ABC，求点M的坐标．【答案】(1)A（0，4），B（2，0），C（6，2）；(2)四边形EGDC是矩形，理由见解析；(3)M（1，7）或（1，−3）．【分析】（1）令x＝0求出y，令y＝0求出x，即可得到点A、B的坐标，然后证明△AOB≌△BDC（AAS）即可求出点C的坐标；（2）证明CE＝GD＝5，CEGD，推出四边形EGDC是平行四边形，再根据∠EGD＝90°即可得出四边形EGDC是矩形；（3）设M（1，m），求出AB＝BC＝，根据S△ABM＝S△ABC构建方程即可解决问题．【详解】（1）解：在一次函数y＝−2x＋4中，当x＝0时，y＝4；当y＝0时，x＝2，∴A（0，4），B（2，0），∴OA＝4，OB＝2，∵CD⊥BD，∴∠CDB＝∠AOB＝∠ABC＝90°，∴∠ABO＋∠CBD＝90°，∠CBD＋∠BCD＝90°，∴∠ABO＝∠BCD，∵AB＝BC，∴△AOB≌△BDC（AAS），∴BD＝OA＝4，CD＝OB＝2，∴OD＝6，∴C（6，2）；（2）四边形EGDC是矩形．理由：∵EG垂直平分线段OB，∴OG＝GB＝1，当x＝1时，y＝−2x＋4＝2，∴E（1，2），∵C（6，2），∴CE＝5，∵G（1，0），D