苏教版（2019）必修第二册过关斩将期中学业水平检测（含答案解析）

苏教版（2019）必修第二册过关斩将期中学业水平检测

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.在AABC中，若NA=60,NB=45",BC=3®,则4c=()

A.473B.2百C.GD.空

2

2.已知向量G,B满足同=1,W=G,且1与5的夹角为2，则（1+孙（2&-5）=

()

B.二

A.12

2

D.3

c.--

22

3.若复数面-3a+2）+（a-2）i是纯虚数，则实数”的值为（)

A.1B.2C.1或2D.-1

jr]4

4.已知0<2<一<尸<兀，目.tana=—,tan/7=——,则。+4=()

273

.27r生

A.—D.

3B-7C-T4

5.已知QER,i是虚数单位.若z=V^+ai,z・z=4,则。的值为()

A.-百或&5B.1C.-1D.1或一1

6.已知sin(a-3

--=7J且a为锐角，则cosa=()

4J5

A.一逑B一也C,正D.述

10101010

7.如图，有一位于A处的观测站，某时刻发现其北偏东45,且与A相距206海里的

8处有一货船，正以40海里〃J、时的速度，向南偏西15匀速直线行驶，30分钟后到达

C处，则此时该船与观测站A的距离AC为（）海里.

A.20石B.2072C.20D.15A/2

8.古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割

率，黄金分割率的值也可以用2sinl8°表示.若实数〃满足4sin」8°+〃2=4,则

l-sinl8°

8/sin?18°

二、多选题

9.已知复数z=l+i（i为虚数单位），则（

A.|z|=V2z对应的点在第一象限

C.z的虚部为iD.z的共轨复数为-1+i

10.如图，4x6的方格纸中有一个向量方（以图中的格点。为起点，格点A为终

点），则（）

A.分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与丽是相反向量的共有11个

B.满足|。4-。叫=质的格点8共有3个

C.满足丽.丽=1的格点8共有4个

D.存在格点B,C,使得况=而+反

11.下列各式中，值为g的是（）

12.在AABC中，下列结论中，正确的是（）

A.若cos2A=cos2B,则AABC是等腰三角形

B.若sin4>sin8,则A>B

C.^AB2^AC2<BC\则△ABC为钝角三角形

D.若A=60。，AC=4f且结合3c的长解三角形，有两解，则8C长的取值范围是

(25/3,+oo)

三、双空题

123

13.在△ABC中，若cosA=—,cosC=-,AC=63,贝！|sinB=____，AB=______.

135

四、填空题

14.sin50°(l+^tanl0°)的值________.

15.在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=b=2,c=3,则

a+b+c_

sinA+sin8+sinC

16.欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为*=cosx+isin犬，

i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这

个公式也被誉为“数学中的天桥”根据此公式，上一4的最大值为.

五、解答题

17.在平面直角坐标系xOy中，已知平面向量2=(2,3),5=(-2,4),c=(l,-l).

(1)求证：与白一乙垂直；

(2)若z?+"与"是共线向量，求实数4的值.

18.在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且从+“c=/+c2,请在①

c=\,^ABC的面积为3，②b=&,③A=f这三个条件中任选一个，完成下列

44

问题：

(1)求角B的大小；

(2)求sinC的值.

19.如图，已知正三角形ABC的边长为1,设丽=a，AC=h.

(1)若。是AB的中点，用弟5分别表示向量迎，CD；

(2)求怩+年

(3)求2&+5与-3a+2b的夹角.

20.如图，扇形钢板P。。的半径为1m,圆心角为60。.现要从中截取一块四边形钢板

ABCO.其中顶点B在扇形PO。的弧PQ上，A,C分别在半径。尸，。。上，且

ABVOP,BCA.OQ.

(1)设试用。表示截取的四边形钢板ABC。的面积5(。)，并指出夕的取

值范围；

(2)求当e为何值时，截取的四边形钢板ABCO的面积最大.

21.如图，在复平面中，平行四边形OABC的顶点A(3,2),C(-2,4).

(1)求点B对应的复数;

(2)记点A,B,C对应的复数分别为Z-z，z3.

①若27=4乌,求复数z；

②若复数Z满足Iz-zJTz-zJ,求|z-zj的最小值.

cosA+cosC_cosB

22.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且

a+cb

(1)求角8的大小；

(2)若a=2,b=布,求AABC的面积.

参考答案：

1.B

【分析】利用正弦定理即可求解.

【详解】由正弦定理得，AC="I：=—_2-=273,

smAV3

T

故选：B.

2.A

【分析】根据向量的数量积运算以及运算法则，直接计算，即可得出结果.

【详解】因为同=1，呵=百，且G与5的夹角为看，

所以必5=同忖卜0$(=(,

因此(1+4Q万-5)=2同?+万万一问=2+|-3=^.

故选：A.

3.A

【分析】根据复数的分类求解.

2

【详解】由题意可知，a—3a+2=0f且〃-2和，则解得。=1,

故选：A.

4.B

【分析】先由两角和的正切公式求出tan(a+£)的值，再结合0<a<]</〈兀，求出a+夕

的范围，从而可求出a+£的值

1(-4)

【详解】由题意可知，tan(a+〃)=W+~=7，

「7«3)

因为0<a<]</?<兀，所以5<</+£<弓~,

3H

所以。+4=:，

4

故选：B.

5.D

【分析】先求得〉根据复数的乘法运算法则，代入计算，即可得答案.

答案第1页，共10页

【详解】由题意可知，;=导山,

所以zi=(6+ai)(石一ai)=3+“2=4,

解得a=±l,

故选：D.

6.C

【分析】先由a为锐角，得到a-£的范围，求得cos(。一£)，再由a=(a-f)+£,

4444

运用两角和的余弦公式求解.

【详解】因为sin(a-?)=|,且a为锐角，

贝!]cosa=cos[(a——)+一]

44

,冗、冗/冗、.n

=cos(a----)cos-----sin(a-----)sin—

4444

_忘44&

-------(--------)---------.

25510

故选：C.

7.C

【分析】先求得NABC,然后利用余弦定理求得AC.

【详解】由题意可知，AB=206,BC=40x0.5=20,NA8C=45。-15。=30。，则在“BC

中，由余弦定理可得，AC2=AB2+BC2-2ABBCcraZABC=1200+400-2x2073

x20xcos30°=400,所以AC=20.

故选：C

8.A

【解析】利用二倍角公式可求三角函数的值.

【详解】根据题中的条件可得

1-sin18°_1-sin18°_1—sin18°_1-sin18°

8/sin2180-8sin218°(4-4sin218°)-8sin218°x4cos2180-8sin236°

答案第2页，共10页

l-sinl801-sinl8°_1

-g/-cos72°-4(1-cos72°)-4.

2

故选：A.

9.AB

【分析】由复数的相关概念依次判断各选项即可得出结果.

【详解】由题意，因为z=l+i,所以|z|=g=应，其对应的为(1,1)在第一象限，且

其虚部为1，其共辗复数为1—i，

所以选项A,B正确，选项C,D错误，

故选：AB.

10.BCD

【分析】根据所给图示，结合向量的坐标运算法则、求模公式、数量积公式等知识，逐一

分析选项，即可得答案.

【详解】对于选项A,满足题意的向量共有18个，则选项A错误；

对于选项B,以点。为原点，建立平面直角坐标系，A(l,2),设2(胆，")，

因为10A-08|=,所以J(1-/n)2+(2--2<n<2,且〃?ez,

〃£Z),

则可得到B(0,-1),(2,-1),(-2,1)共3个点，所以选项B正确；

对于选项C,当丽•丽=1时，m-\-2n—l(—3<m<3,—29W2,且"?eZ,〃GZ),

则得到8(1,0),(3,-1),(-1,1),(-3,2)共4个点，所以选项C正确；

对于选项D,当8(1,0),C(0,2),可满足次=诙+反，所以选项D正确；

答案第3页，共10页

【分析】由二倍角公式计算可得.

tan22.5。

【详解】=-xtan45°=-

1-tan222.5°22

sin]5。I：

tan15°cos215°=--------xcos215°=sinl5°cos15°=—sin30°=—；

cos15024

G271J5.2乃百/2万.?兀、百Ry/35/31

——cos-----------sin~—=——(cos-------sin"——)=——cos—=——x——=—

3123123121236322

]+、=cos50°+6sin53°=；c°s50°+fsin50°_痴800_.

16sin500+16cos50°一16sin50°cos50°-4sin100°一4sin80°-4

故选：AC.

12.ABC

【分析】根据cos2A=cos2B及角A、B的范围，可判断A的正误；根据大边对大角原则，

可判断B的正误；根据条件及余弦定理，可判断C的正误；根据正弦定理，可判断D的正

误，即可得答案.

【详解】对于选项A,因为cos2A=cos28,且A,BG(0,兀),所以A=8,所以AASC是

等腰三角形，所以选项A正确；

对于选项B,由sinA>sinB,则且A,BC(0,%)，可得A>B,所以选项B正确；

对于选项C,由A^+AC^BC?,以及余弦定理可得cosA<0,即AABC为钝角三角形，

所以选项C正确；

对于选项D,由A=60。，AC=4,以及正弦定理可得sinB=4WsinA=2@<l,解得8c

BCBC

>273,

且由大边对大角8>A,可得AOBC,即BCV4,所以BC长的取值范围是(26,4),所

以选项D错误；

故选：ABC.

13.—52

65

【分析】由同角关系求得sinAsinB,由诱导公式，两角和的正弦公式求得sin8,然后由

正弦定理可得48

123

【详解】由题意可知，在△ABC中，因为COSA=K，COSC=-,且A,C^(0,兀)，

54

所以sinA=—,sinC=—,

135

53]2463

所以sinB=sin(兀-A—C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=-x-+—x—=—,

答案第4页，共10页

63x-

AC-sinC

在AABC中，由正弦定理可得4B=廿52.

sinB

65

故答案为：52.

65

14.1

【分析】由皿。。=需，结合辅助角公式可知原式为2包鬻斗，结合诱导公式以

及二倍角公式可求值.

V3sin10°+cosl00

【详解】解：sin50°^1+A/3tan10°)=sin50°x

cos10°

_2sin50°(cos30°sin100+sin30°cos10°)_2sin50°sin40°_2sin50°cos50°

cos10°cos10°cos10°

2sin50。cos50。_sin100。_sin(10、+90。)_cos10。

cos10°cos10°cos10°cos10°

故答案为:1.

【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式，考查了辅助角公式,

考查了诱导公式.本题的难点是熟练运用公式对所求式子进行变形整理.

5孥

【分析】由余弦定理求得COSA再得sinA,然后由正弦定理计算.

b2+c2-a24+9-7_\_

【详解】由题意可知，在△48C中，由余弦定理可得cosA=

2bc2x2x3=5'

因为4G(0,浦，所以sin4=且，所以由正弦定理可得

2

abc币272?

sinAsinBsinC5/33

2

所以a=2gsinA,,2yf2\•D2历.「

b=------sinn,c=-------smc,

33

a-\-b+c2y(sinA+sin3+sinC)2后

所以

sinA+sinB+sinC3

sinA+sinB+sinC

故答案为：岑

16.3

【分析】由已知得2-2|=j5-4cosx,再利用余弦函数的值域即可求解.

【详解】Q*=cosx+zsinx,

答案第5页，共10页

二.卜"-2卜|cosx-2+isin=J(cosx-2)24-sin2x=V5-4cosx

又8sx,/.V5-4cosxG[1,3]

即当cosx=—l时，＞”-4取得最大值为3,

故答案为：3

17.(1)2—万与5一二垂直；(2)2=--1

【解析】(1)利用平面向量坐标运算法则求出z-万=(4,7),£4=(1,4),再由

(£一"(。一。)=0,能证明1万与;一】垂直.

(2)利用平面向量坐标运算法则求出£+4=(2-243+4㈤，再由£+焉与"是共线向量，

根据平面向量共线定理的坐标表示得到方程，即可求出实数4的值.

【详解】解：(1)证明：•・・平面向量£=(2,3),石=(-2,4),c=(l,-l)

.•.力=(4「1),1"=(1,4),

.•.(4-q(a-c)=4xl+(-I)x4=0,

••ci-b与ci—c垂•

(2)解：・・・£=(2,3),6=(-2,4)，

£+4=(2-24,3+44),

・・・£+万与I是共线向量,c=(l,-l).

(2-2Z)x(-l)-(3+42)xl=0,

解得2=-|.

【点睛】本题考查向量垂直的证明，考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向

量与向量垂直、向量与向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.

18.(1)1;(2)答案见解析.

【分析】(1)由余弦定理可得8有大小；

(2)选①，由面积公式求得。，得AABC为等边三角形，易得sinC；

选②，由正弦定理可得sinC；

答案第6页，共10页

选③，由两角和的正弦公式求值.

【详解】（1）选择条件①②③

因为〃+的=储+。2,

由余弦定理可得cosB=----------=----------=-

又因为BeQO,所以8='TT.

（2）选择条件①：因为5凶死—acsinB=—ax—=—,所以a=l.

2224

ir7T

又因为a=c=l,B=q,所以AABC是等边三角形，所以C=§,

所以sinC=^-.

2

卜r

选择条件②：由正弦定理—=及b=^c得

smBsinC

.-csinB

sinC=-----

b

选择条件③：由A=?得C=》-A-3=.，

所以sinC=sin—=sin(—+—)=sin—cos—+cos—sin—='^+y^>

126464644

19.(1)CB=a-b,CD=^a-b.；(2)币;(3)1201.

【分析】（1）运用向量的三角形法则以及运用中点的向量表示，即可得到所求向量;

（2）运用向量的模的平方和向量的平方是相等的，结合向量数量积的运算性质求得结果;

⑶结合第二问的结合和解题思路，求得忸+同=近，卜3a+2同=近，应用向量的夹角

余弦公式，结合向量数量积的运算性质求得结果.

【详解】⑴CB=AB-AC=a-b,

一一一1——1_

CD=AD-AC=-AB-AC=-a-b.

22

(2)由题意知，同=|司=1,且他与=60°,

则忸+61=4,『+4a-b+b2=4同2+4同问8$((7,5)+|5.=4+2+1=7,

所以忸+司=a

(3)与(2)解法相同，可得上31+2同=万.

答案第7页，共10页

设2。+5与-34+25的夹角为凡

__7

则cos8=（2。+e（-3。+4）=-6/+无5+赤=F'，

忸+5/3&+2同恒+5.34+2司\/1xy/12

因为。e[0,180]

所以21+方与-31+2万的夹角为120°.

【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有平面向量的分解，三角形法

则，向量的模的平方和向量的平方是相等的，向量所成角的余弦值，属于简单题目.

20.（1）S（6）=；a26+对学一2回，其中6的取值范围为（。引；⑵0=^.

【分析】（1）由题意可知NBOC=。-。，0A=cos。，AB=sin。，进而表达出的面

积，再根据OC=cos（，e）,战^加仁-仍表达出力蛇的面积，从而得到四边形钢板

ABCO的面积义。）的表达式和9的取值范围.

（2）利用三角函数公式可得S（0）=£sin（2e+g）,再由6的范围，结合三角函数的性质即可

46

求出s（e）的最大值.

【详解】解：（1）因为NAOB=e,扇形钢板尸。。的圆心角为60。，

所以NBOC=1-e,

因为扇形钢板P。。的半径为Im,ABLOP,BC1OQ,

所以OA=cos6,AB=sin0,

所以工叩

=—sin0cos0=—sin20,

24

OC=cos（q-〃），BC=sin（q_0）,

所以弘如-goaBC

所以四边形钢板ABC。的面积为:

S（6）=S&OAB+S&OBC

答案第8页，共10页

—sin26+siny-20

4

其中e的取值范围为

(2)S(6)=；sin2^+sin

y-2^

£/□i

sin2。+cos2,+—sin20

4

=——sin20H———cos23

4(22

弓净n26+；8s2。

=-^-sinf2^+—\

4I6)

因为。e(0,5，

所以26+枭住,出，

6166J

所以当2。+?=拳即时，四边形钢板A5C0的面积S⑻最大，最大值为日mL

21.(1)l+6i；⑵①z=^-2i；②拽.

1055

【分析】(1)根据四边形0A3C是平行四边形，结合向量加法法则运算即可；(2)①根据

题意结合复数四则运算法则直接带入计算即可；②根据已知条件将待求式转化为求二次函

数最小值即可.

【详解】(1)在复平面火力中，由43,2),C(-2,4)得丽=(3,2),诙=(-2,4),

因为四边形QWC为平行四边形，所以而=砺+元=(3,2)+(-2,4)=(1,6),

所以B的坐标为(1，6),所以点B对应的复数为1+6.

(2)由已知及(1)