八年级数学上册 第5章 二次根式知识点 湘教版

二次根式的知识点汇总

知识点一：二次根式的概念

形如石（a>0）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须

注意：因为负数没有平方根，所以。是指为二次根式的前提条件，如石，4+1,

石二I（xNl）等是二次根式，而JH,等都不是二次根式。

知识点二：取值范围

1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a叁0时，忑有意义，是二次

根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a<0时，而没有意义。

知识点三：二次根式正20）的非负性

几（a20）表示a的算术平方根，也就是说，&（。20）是一个非负数，即五之o

注：因为二次根式而（。之0）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，。的

算术平方根是0,所以非负数之0）的算术平方根是非负数，即指之0,这

个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时

应用较多，如假设血+指=°,那么a=O,b=O；假设点+W=°,那么a=O,b=O；假设

石+/=0,那么a=o,b=O。

知识点四：二次根式（忑）2的性质

（&y=a（a>0）

文字语言表达为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

知识点五：二次根式的性质

M=<

一以(Y0)

知识点六：（能y与G的异同点

1、不同点：(/>与屈表示的意义是不同的，(疝2表示一个正数a的算术平方根的平

方，而正表示一个实数a的平方的算术平方根；在(向2中a20,而后'中a可以

是正实数，0,负实数。但(向2与屈都是非负数，即(JI)?之。，值之0。因而

厂2存山=1叱

它的运算的结果是有差异的，(心)=履。之0),而

2、相同点：当被开方数都是非负数，即。之0时，(、加>=厢；a<0时，(向2无意义,

而4^=~a.

知识点七：二次根式的运算

(1)因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它

的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积

的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.

(2)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.

(3)二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商)

仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.

>[ab-y/a,\Jb(a20,b.0)；呼(b>0,a>0).

(4)有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及

多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.

【例题精选】

二次根式有意义的条件：

例1：求以下各式有意义的所有x的取值范围。

(1)J3-2x；(2)V高工(3)口包;

*2

解：(1)要使有意义，必须，由得，

当时，式子在实数范围内有意义。

(2)要使有意义，为任意实数均可，

当x取任意实数时均有意义。

(3)要使有意义，必须

的范围内。

当时，式子在实数范围内有意义。

小练习：(1)当x是多少时，J3x-1在实数范围内有意义?

(2)当x是多少时，J2X+3+」一在实数范围内有意义？②

九+1

(3)当x是多少时，叵亘+(在实数范围内有意义？

X

(4)当时,Jx+2+yjl-2x有意义。

2.使式子J—(x-有意义的未知数x有()个.

A.0B.1C.2D.无数

3.y=J2-x二2+5,求上的值.

y

4.假设有1+J口有意义，那么户二.

5.假设＞/=+」一有意义，那么加的取值范围是

最简二次根式

例2：把以下各根式化为最简二次根式：

分析：依据最简二次根式的概念进行化简，

(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；

(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

解:

⑵得符僵

25a泞\15a2b2-b

⑶消•扬(aNO,b>0)

121c4121c4

同类根式:

例3：判断以下各组根式是否是同类根式:

(D-V175;-

分析：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式

就叫做同类二次根式，所以判断几个二次根式是否为同类二次根式，首先要将其化为最简二

次根式。

639x73

T6~[6~4

2343249x77

3丁33

85。是同类二次根式

分母有理化：

例4：把以下各式的分母有理化:

分析：把分母中的根号化去，叫做分母有理化，两个含有二次根式的代数式相乘，如果

它们的积不含有二次根式，我们说，这两个代数式互为有理化因子，如与，均为有理化因式。

解：

求值：例5：计算:

(2)7154-

分析：迅速、准确地进行二次根式的加减乘除运算是本章的重点内容，必须掌握，要特

别注意运算顺序和有意识的使用运算律，寻求合理的运算步骤，得到正确的运算结果。

解：(1)原式

(2)原式=屈/华省=屈+叵注

IV2-V3JV6

/77V6_345(百-行)

X=

V3W2(V3+V2p-^)

=3730-675

化简：

例6：化简:

(1)—=~~4bL+，+4y[ab+4Z?)

4a-14b'7

分析：应注意(1)式，[2),所以，可看作可利用乘法公式来进行化简，使运算变得

简单。

解：

=(Va+2屁)+(Vo+2的j

1—2A/^

4a+2y[ha-4b

例7：化简练习：

(1)7-st3(>v>o)

(2)|V6——J(V6—3)

解:

化简求值：

.oV3+V2.V3—V241Vl/士

例8：：a=----------,b=--------求：的值。

22

分析：如果把a,6的值直接代入计算的计算都较为繁琐，应另辟蹊径，考虑到互为有

理化因子可计算，然后将求值式子化为的形式。

解：

小结：显然上面的解法非常简捷，在运算过程中我们必须注意寻求合理的运算途径，提

高运算能力。类似的解法在许多问题中有广泛的应用，大家应有意识的总结和积累。

例9：在实数范围内因式分解:

21-4；【提示】先提取2,再用平方差公式.【答案】2(x+V2)(x-V2)..

【提示】先将步看成整体，利用x+px+q=(x+a)(x+6)其中a-\-b=p,ab=q

分解.再用平方差公式分解3.【答案】(x2+l)(x+6)㈠一6).

例10、综合应用：

如下图的RtAABC中，NB=90°,点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A

移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动.问：几秒后△PBQ

的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？(结果用最简二次根式表示)

【专项训练】：

一、选择题：在以下所给出的四个选择中，只有一个是正确的。

1、成立的条件是：

A.B.C,D.

2、把化成最简二次根式，结果为：

A.B.C.D.

3、以下根式中，最简二次根式为：

A.B.C.D.

4、41,化简得:

A.B.C.2D.0

5、以下各式中，正确的选项是：

A.B.

C.D.

6、以下命题中假命题是：

A.设B.设

C.设D.设

7、与是同类根式的是：

A.B.C.D.

8、以下各式中正确的选项是：

A.B.

C.I).

1、化简

2、：求：

拓展训练

一、分式，平方根，绝对值；

1.必=(正尸成立的条件是

2.当a时，之一二1；当a时,9二-1。

aa

3.假设=那么a；假设必=—a,那么

4.把根号外的因式移入根号内，结果为o

5.把-34根号外的因式移到根号内，结果为o

6.x<y,那么化简_为

10.假设的川布与班a+b是同类二次根式，那么a=_,b=

11.求使J-(a+l)2为实数的实数a的值为——o

二、根式，绝对值的和为0；

1.假设小-？+J(2Z?+3)2=。,那么J/=。

2.如果J/+2"+从+|。+3|=0求2a的算术平方根。

6.在AABC中，a,b,c为三角形的三边，那么J(〃_〃+c)2_2卜_〃一4二

)，=1，求代数式J,+q+2-Jj+十一2的值。

8.如果丁=J2x_3+j3_2x+2,那么2x+y=.

三、分式的有理化

A/3

—V2Vs+V2求以下各式的值;

V3+V2V3V2

-x2-3xy+2y2

①------1~—；

x-2y

3

②x+/;

y+*

③炉产；

四、整数局部与小数局部

1.而的整数局部是，小数局部是o

4.x=—^,x的整数局部为。，小数局部为6,求的值。

2-V3a+b

五、根式，分式的倒数；

1.x+--4,求X--的值。

xx

3,假设X2-零x+l=O,求x，+；的值;

六、转换完全平方公式；

1.42+力2—4。-2/7+5=0,求无+b-的值

,30+14a

3.x,y是实数，十一十y-+"—U,假设axy-3x二y,求a的值；

5^0VxVl,化简：f+4—J（x+一尸—4

6^化简：

1、75+275•V2+2；2、77+473；

七、技巧性运算

1111

不/忑4+京启…+京忑

2、计算一^+-=1一厂+./L+……+I_____]__=的结果是_________

1+V3V3+V5V5+V7，2"l+j2〃/+l

4、ci—h=2+A/3,h—c=2.—y/3,那么Q~+/?~+c~—次?一Z?c—QC的值是

5、x+y=’9石-夜,。一y=）9后一石那么孙的值是

6、x-y=V5,孙=；,求/一孙+V的值

附：中考类型

1、在实数范围内，石有意义，那么X的取值范围是（）;

A.才20B・x<0C.x>0D.x<0

2、使二次根式有意义的x的取值范围是（）；

A.x*2B.x>2C.xW2D.xN2；

3一个自然数的算术平方根为a,那么和这个自然数相邻的下一个自然数是（）：

A.+1B.ci+1C.cT+1D.\fci+1

U2

4、在电路中，一个电阻的阻值汇和它消耗的电功率2由电功率计算公式P=—可得它

R

两端的电压少为（）:

A.U=耳B.UC.U=y[PRD.U^+/PR

5、使代数式近三3有意义的x的取值范围是〔）

x-4

A、x>3；xN3；C>x>4；D、xN3且"4；

6函数y=-j工的自变量x的取值范围是（）

Jx+2

A.x>0B.x2-2

C.x>-2D.xw—2

函数y=万工+」一中自变量x的取值范围是（）

x—3

A.xW2；B.x=3；C.x<2且xw3；D.x<2且xw3；

二、二次根式的运算问题

7、109武汉市）二次根式J（—3）2的值是（）；

A.-3B.3或一3C.9D.3

8、（衡阳市2021年）下面计算正确的选项是（）；

A.3+V3=3AB.J27十V3—3C.y/~2-V3=V5D.V4=+2

9、（09年安顺市）以下计算正确的选项是（）；

A.a-叵=近B.6-叵=1C.G+夜=&D.2百=#

10、（09太原市）计算（75了的结果等于

11、（黔东南州2021年）4r=；

12、（09山西省）计算：氏-6=

13、（09年襄樊市）计算:

备用题、（09绥化市）计算：V12-V27=.

三、二次根式与绝对值、0指数幕等的混合运算

14、（09黔东南州）方程14x—81+Jx—y—6=0,当y>0时，m的取值范围是（）；

A、0<m<1；m^2；C、m<2；D、mW2；

15、（09嘉兴市）当x=-2时，代数式-3x-l的值是.

16、（09嘉兴市）计算：V8+（-l）2009-|->/2|.

17、（09台州市）计算：卜3|+（6-1）°-（几六

四、二次根式与整式的化简求值问题：

18、（09广州市）先化简，再求值：（。一6）,其中。=石+，

2

19、（09孝感市）：x=G+l,y=G-l,求以下各式的值.

（1）x"+2,xy+y"；[2）厂—y~.

20、（09威海市）

先化简，再求值：（。++（。一〃）（2。+Z?）—3〃2,其中。=-2—b=yfi—2.

2-73

22

1、x-----广，y----j=-，求：x-3孙+y的值;

2+V32-V3

2、：=；+计算：⑴-+12盯一3y2；⑵-7x2-32xy-ly2

五、二次根式与分式的化简求值问题：

vv~I2y-I1v~1

21、（09黔东南州）先化简，再求值：——一其中x=g-2；

x+2x+2x-1

22、（09恩施）求代数式的值：—■—■x-2-^—L其中x=2+&.

x-41x+2）

23、（09泰安市）先化简、再求值：-^-4-（———a-2）,其中。=有—3。

2a-4a-2

vYj|2vI1v~1

24、（09黔东南州）先化简，再求值：———其中X=6一2；

x+2x+2x-\

六、二次根式的探究规律问题:

25、我们看几个等式：71x2x3x4+1=1X4+1=5;72x3x4x5+1=2X5+1=11;

73x4x5x6+1=3X6+1=19；仔细观察上面几道题及其结果，你能发现什么规律？能解释

这一规律吗？并用你发现的规律猜测下面的结果：

①J4x5x6>7+1=.

②J2006x2007x2008x2009+1=（）X（）+（）；

③“x（〃+1）x（4+2）x（〃+3）+1=.

2021安徽，4,4分）设土标一1,a在两个相邻整数之间，那么这两个整数是（）

A.1和2B.2和3C.3和4D.4和5

12021山东烟台，5,4分）如果"（2a-=1—2”,那么（）

A.a<-B.aW」C.a>-.D.a”

2222

2021安徽芜湖，14,5分）a、6为两个连续的整数，且a<>/就<匕，那么a+b=.

2021四川内江，加试1,6分）假设/”=•/20”,那么机5一2〃/—20U机3的值

V2012-1

是.

l2-1

12021山东德州12,4分）当尤=J2时，-%-----1=

X"-X

2021四川内江，加试3,6分）|6-3z7i|+（77-5）2=3m-6-yl（m-3）n2,那么

m-n—.

2021四川凉山州，25,5分）外。为有理数，"入〃分别表示5-J7的整数局部和小数局

部，且amn+bn2=1,那么勿+6=

2021湖北黄冈，3,3分）要使式子业匚有意义，那么a的取值范围为

a

以下运算